空間距離問題的向量解法

廖永福

(福建省廈門第二中學 361009)

空間距離是立體幾何的重要內容，是高考熱點，也是教學難點，它包括兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、平行線間的距離、異面直線間的距離、直線到平面的距離、平行平面間的距離等.

1 兩點間的距離

即空間任意兩點間的距離等于從其中一點指向另一點的向量的長度.

例1 (2013年北京卷文8)如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P為對角線BD1的三等分點，點P到各頂點的距離的不同取值有( ).

圖1

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個

分析建立如圖2所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為3，可得各頂點的坐標，求出點P的坐標，再利用兩點間的距離公式即可得出結論.

解析以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖2所示的空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為3，則A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),B1(3,3,3),C1(0,3,3),D1(0,0,3).

圖2

所以P(2,2,1).

點評本題主要考查空間中兩點間的距離的求法，體現了數學運算和直觀想象等核心素養.選擇適當的位置建立空間直角坐標系并求出點P的坐標是解題的關鍵，屬于中檔題.

圖3

(1)求MN的長.

(2)當a為何值時，MN的長最小？

2 點到直線的距離

圖4

即直線外一點到直線的距離等于從直線上某定點指向該點的向量與其在直線上的投影向量的平方差的算術平方根.

求點到直線的距離的一般步驟是：

(1)選擇適當的位置建立空間直角坐標系；

(2)求直線上某定點指向該點的向量和直線的方向向量；

(3)代入公式計算.

平行線間的距離可轉化為點到直線的距離.

例2(2010年全國Ⅱ卷理11)與正方體ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB，CC1，A1D1所在直線的距離相等的點( ).

A.有且只有1個 B.有且只有2個

C.有且只有3個 D.有無數個

解析點D,B1顯然滿足條件，下面證明直線DB1上的點都滿足條件.

圖5

點P到AB的距離

同理可得點P到CC1的距離

點P到D1A1的距離

所以d1=d2=d3，故選D.

點評本題主要考查空間中點到直線的距離的求法，體現了數學運算和直觀想象等核心素養.解題關鍵是選擇適當的位置建立空間直角坐標系，正確運用點到直線的距離公式，屬于中檔題.

變式2(2009年湖南卷理7)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱上到異面直線AB，CC1的距離相等的點的個數為( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

3 點到平面的距離

圖6

即平面外一點到平面的距離等于從平面內某定點指向該點的向量在平面法向量方向的投影向量的長度.

求點到平面的距離的一般步驟是：

(1)選擇適當的位置建立空間直角坐標系；

(2)求平面內某定點指向該點的向量和平面的法向量；

(3)代入公式計算.

直線到平面的距離、兩平行平面間的距離均可轉化為點到平面的距離.

例3 (2019年上海卷17)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為BB1上一點，已知BM=2，CD=3，AD=4，AA1=5,求點A到平面A1MC的距離.

圖7

取z=2，得n=(2,1,2).

所以點A到平面A1MC的距離

點評本題主要考查點到平面的距離的求法，體現了數學運算和直觀想象等核心素養.解題關鍵是正確求出平面的法向量，準確運用點到平面的距離公式，屬于中檔題.

圖8

(1)求證：PO⊥平面ABCD；

分析(1)先證PO⊥AD，再利用面面垂直的性質定理，就能證明PO⊥平面ABCD.

解析(1)在△PAD中，因為PA=PD，O為AD的中點，所以PO⊥AD.

又側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.

因為底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，所以OC⊥AD.

又由(1)知OC,OD,OP共點且兩兩垂直.

以O為原點，OC,OD,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖9所示的空間直角坐標系，則C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).

圖9

設平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，

解得x=y=z.

取x=1，得n=(1,1,1).

設Q(0,y,0)(-1≤y≤1)，

點評本題主要考查直線與平面垂直的證明，考查與空間距離有關的探索性問題的解法等，體現了數學建模、邏輯推理、數學運算和直觀想象等核心素養.解題關鍵是選擇適當的位置建立空間直角坐標系，建立方程模型進行求解，屬于中檔題.

變式3(2013年上海卷理19)在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1.證明直線BC′平行于平面D′AC，并求直線BC′到平面D′AC的距離.

四、異面直線間的距離

圖10

即異面直線間的距離等于從其中一條直線上的某定點指向另一條直線上的某定點的向量在公垂線上的投影向量的長度.

求異面直線間的距離的一般步驟是：

(1)選擇適當的位置建立空間直角坐標系；

(2)求一條直線上的某定點指向另一條直線上的某定點的向量和公垂線的方向向量；

(3)代入公式計算.

例5(2013年北京卷理14)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC1的距離的最小值為____.

分析點P到直線CC1的距離的最小值就是異面直線D1E與CC1間的距離.

圖11

取x=2，則y=-1，所以n=(2,-1,0).

故點P到直線CC1的距離的最小值

點評本題主要考查異面直線間的距離的求法，體現了數學運算和直觀想象等核心素養.解題關鍵是把求點P到直線CC1的距離的最小值問題轉化為異面直線D1E與CC1間的距離問題，屬于中檔題.

變式4(1989年全國卷理18)已知圓柱的底面半徑是3，高是4，A,B兩點分別在兩底面的圓周上，并且AB=5，那么直線AB與軸OO′之間的距離等于____.