關于多邊形數的幾個結論

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

1 關于多邊形數的4道考題

題1 (2009年高考湖北卷文科、理科第10題)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數.比如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數為正方形數.下列數中既是三角形數又是正方形數的是( ).

圖1

圖2

A.289 B.1024 C.1225 D.1378

答案C.

注題1出自當時的教材普通高中課程標準實驗教科書《數學5·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版)第28頁的相關敘述，及現在使用的教材普通高中教科書《數學·選擇性必修·第二冊·A版》(人民教育出版社，2020)第9頁第5題.

正方形數:N(n,4)=n2;

六邊形數:N(n,6)=2n2-n;…

可以推測N(n,k)的表達式，由此計算N(10,24)=____.

解析本題主要考查考生應用觀察、猜想、驗證等步驟進行合情推理的解題能力.

由所給的四個等式可猜測

N(n,k)=akn2+bkn(k≥3)，

①

題3 (2012年高考湖北卷文科第17題)傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數．他們研究過如圖1所示的三角形數：

將三角形數1,3,6,10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}．可以推測：

(1)b2 012是數列{an}中的第____項；

(2)b2k-1=____.(用k表示)

題4(2001年上海交通大學聯讀班數學試題第6題)有一盒大小相同的小球，既可將它們排成正方形，又可將它們排成正三角形，已知正三角形每邊比正方形每邊多2個小球，則這盒小球的個數為____.

解析設正方形每邊是n個小球，得1+2+3+…+(n+2)=n2，進而可得n=6,n2=36.

2 關于多邊形數的幾個結論

下面用N(n,k)表示第n(n∈N*)個k(k∈N,k≥3)邊形數.

定理1 (1)三角形數的2倍的個位數字是0,2,或6；正方形數的個位數字不是2,3,7,8；

(2)連續求三角形數的各位數字之和的最后結果是0,1,3,或6.

證明(1)當n=1,2,3,…,10時，可得三角形數的2倍，即n(n+1)的個位數字依次是2,6,2,0,0,2,6,2,0,0；

當m=1,2,3,…,10時，可得正方形數m2的個位數字依次是1,4,9,6,5,6,9,4,1,0.從而可得欲證結論成立.

(2)8(k-2)·N(n,k)+(k-4)2

=[2(k-2)n-(k-4)]2,

證明(1)著作[4]第225頁的表75即下面的表1：

表1

由表1的各行，可得

第n個正方形數N(n,4)=1+3+5+…+(2n-1)=n2；

第n個六邊形數N(n,6)=1+5+9+…+(4n-3)=n(2n-1)；

進而可得第n(n∈N*)個k(k∈N,k≥3)邊形數

(2)由結論(1)可得結論(2)的第一個等式成立；再由2(k-2)n-(k-4)=(2n-1)k+4-4n≥(2n-1)·3+4-4n=2n+1>0，可得結論(2)的第二個等式也成立.

注用定理1及定理2(2)可判斷一個數是否為k(k∈N,k≥3;k已知)邊形數：

①小學生即可用排除法給出題1的簡解：

由定理1(1)的第一個結論可排除選項A,B；由第二個結論可排除選項D.故選C.

②我們用定理2(2)來判斷一個數是否為k(k∈N,k≥3，k已知)邊形數：

先看55是不是七邊形數？

再看46是不是七邊形數？

又看33是不是七邊形數？

因為8(7-2)×33+(7-4)2=1329=(36.4554…)2不是整數，所以33不是七邊形數.

定理3 不是1的k+1(k∈N，k≥3)邊形數均可表示成一個三角形數與一個k邊形數之和：N(n+1,k+1)=N(n,3)+N(n+1,k)(n,k∈N*,k≥3).

推論1不是1的正方形數均可表示成兩個三角形數之和：N(n+1,4)=N(n,3)+N(n+1,3)(n∈N*).

定理4 (1)前n個正整數的立方和是從小到大的第n個三角形數的平方：13+23+…+n3=[N(n,3)]2(n∈N*)；

(2)八個相同的三角形數與1的和是一個正方形數：8·N(n,3)+1=[N(2n+1,4)]2(n∈N*).

推論2(1)所有從小到大的既是三角形數又是正方形數的數組成的數列是

該數列{an}可由a1=1,a2=36,an+2=34an+1-an+2(n∈N*)確定；

該數列{an}可由a1=1,a2=210,an+2=194an+1-an+16(n∈N*)確定；

該數列{an}可由a1=1,a2=9801,an+2=9602an+1-an+200(n∈N*)確定；

該數列{an}可由a1=1,a2=1225,an+2=1154an+1-an+72(n∈N*)確定；

(5)所有從小到大的既是五邊形數又是六邊形數的數組成的數列是

該數列{an}可由a1=1,a2=40755,an+2=37634an+1-an+3136(n∈N*)確定；

(6)所有從小到大的第n個六邊形數即所有從小到大的第2n-1個三角形數，所以既是三角形數又是六邊形數的數組成的數列是{n(2n-1)}，

該數列{an}可由a1=1,an+1=an+4n+1(n∈N*)確定.

證明用定理5來證.

可得(6y-1)2-3(2x+1)2=-2.

從而可得欲證結論成立.

進而可得(6v-1)2-24u2=1.

因而A=u2

從而可得欲證結論成立.

(4)同(1)可證.

所以，當n∈N*時，

從而可得欲證結論成立.

猜想若k,l,m∈N，3≤k