關(guān)于多邊形數(shù)的幾個(gè)結(jié)論

甘志國(guó)

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

1 關(guān)于多邊形數(shù)的4道考題

題1 (2009年高考湖北卷文科、理科第10題)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù).比如：

他們研究過(guò)圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是( ).

圖1

圖2

A.289 B.1024 C.1225 D.1378

答案C.

注題1出自當(dāng)時(shí)的教材普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)5·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版)第28頁(yè)的相關(guān)敘述，及現(xiàn)在使用的教材普通高中教科書《數(shù)學(xué)·選擇性必修·第二冊(cè)·A版》(人民教育出版社，2020)第9頁(yè)第5題.

正方形數(shù):N(n,4)=n2;

六邊形數(shù):N(n,6)=2n2-n;…

可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)=____.

解析本題主要考查考生應(yīng)用觀察、猜想、驗(yàn)證等步驟進(jìn)行合情推理的解題能力.

由所給的四個(gè)等式可猜測(cè)

N(n,k)=akn2+bkn(k≥3)，

①

題3 (2012年高考湖北卷文科第17題)傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過(guò)如圖1所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}．可以推測(cè)：

(1)b2 012是數(shù)列{an}中的第____項(xiàng)；

(2)b2k-1=____.(用k表示)

題4(2001年上海交通大學(xué)聯(lián)讀班數(shù)學(xué)試題第6題)有一盒大小相同的小球，既可將它們排成正方形，又可將它們排成正三角形，已知正三角形每邊比正方形每邊多2個(gè)小球，則這盒小球的個(gè)數(shù)為____.

解析設(shè)正方形每邊是n個(gè)小球，得1+2+3+…+(n+2)=n2，進(jìn)而可得n=6,n2=36.

2 關(guān)于多邊形數(shù)的幾個(gè)結(jié)論

下面用N(n,k)表示第n(n∈N*)個(gè)k(k∈N,k≥3)邊形數(shù).

定理1 (1)三角形數(shù)的2倍的個(gè)位數(shù)字是0,2,或6；正方形數(shù)的個(gè)位數(shù)字不是2,3,7,8；

(2)連續(xù)求三角形數(shù)的各位數(shù)字之和的最后結(jié)果是0,1,3,或6.

證明(1)當(dāng)n=1,2,3,…,10時(shí)，可得三角形數(shù)的2倍，即n(n+1)的個(gè)位數(shù)字依次是2,6,2,0,0,2,6,2,0,0；

當(dāng)m=1,2,3,…,10時(shí)，可得正方形數(shù)m2的個(gè)位數(shù)字依次是1,4,9,6,5,6,9,4,1,0.從而可得欲證結(jié)論成立.

(2)8(k-2)·N(n,k)+(k-4)2

=[2(k-2)n-(k-4)]2,

證明(1)著作[4]第225頁(yè)的表75即下面的表1：

表1

由表1的各行，可得

第n個(gè)正方形數(shù)N(n,4)=1+3+5+…+(2n-1)=n2；

第n個(gè)六邊形數(shù)N(n,6)=1+5+9+…+(4n-3)=n(2n-1)；

進(jìn)而可得第n(n∈N*)個(gè)k(k∈N,k≥3)邊形數(shù)

(2)由結(jié)論(1)可得結(jié)論(2)的第一個(gè)等式成立；再由2(k-2)n-(k-4)=(2n-1)k+4-4n≥(2n-1)·3+4-4n=2n+1>0，可得結(jié)論(2)的第二個(gè)等式也成立.

注用定理1及定理2(2)可判斷一個(gè)數(shù)是否為k(k∈N,k≥3;k已知)邊形數(shù)：

①小學(xué)生即可用排除法給出題1的簡(jiǎn)解：

由定理1(1)的第一個(gè)結(jié)論可排除選項(xiàng)A,B；由第二個(gè)結(jié)論可排除選項(xiàng)D.故選C.

②我們用定理2(2)來(lái)判斷一個(gè)數(shù)是否為k(k∈N,k≥3，k已知)邊形數(shù)：

先看55是不是七邊形數(shù)？

再看46是不是七邊形數(shù)？

又看33是不是七邊形數(shù)？

因?yàn)?(7-2)×33+(7-4)2=1329=(36.4554…)2不是整數(shù)，所以33不是七邊形數(shù).

定理3 不是1的k+1(k∈N，k≥3)邊形數(shù)均可表示成一個(gè)三角形數(shù)與一個(gè)k邊形數(shù)之和：N(n+1,k+1)=N(n,3)+N(n+1,k)(n,k∈N*,k≥3).

推論1不是1的正方形數(shù)均可表示成兩個(gè)三角形數(shù)之和：N(n+1,4)=N(n,3)+N(n+1,3)(n∈N*).

定理4 (1)前n個(gè)正整數(shù)的立方和是從小到大的第n個(gè)三角形數(shù)的平方：13+23+…+n3=[N(n,3)]2(n∈N*)；

(2)八個(gè)相同的三角形數(shù)與1的和是一個(gè)正方形數(shù)：8·N(n,3)+1=[N(2n+1,4)]2(n∈N*).

推論2(1)所有從小到大的既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的數(shù)組成的數(shù)列是

該數(shù)列{an}可由a1=1,a2=36,an+2=34an+1-an+2(n∈N*)確定；

該數(shù)列{an}可由a1=1,a2=210,an+2=194an+1-an+16(n∈N*)確定；

該數(shù)列{an}可由a1=1,a2=9801,an+2=9602an+1-an+200(n∈N*)確定；

該數(shù)列{an}可由a1=1,a2=1225,an+2=1154an+1-an+72(n∈N*)確定；

(5)所有從小到大的既是五邊形數(shù)又是六邊形數(shù)的數(shù)組成的數(shù)列是

該數(shù)列{an}可由a1=1,a2=40755,an+2=37634an+1-an+3136(n∈N*)確定；

(6)所有從小到大的第n個(gè)六邊形數(shù)即所有從小到大的第2n-1個(gè)三角形數(shù)，所以既是三角形數(shù)又是六邊形數(shù)的數(shù)組成的數(shù)列是{n(2n-1)}，

該數(shù)列{an}可由a1=1,an+1=an+4n+1(n∈N*)確定.

證明用定理5來(lái)證.

可得(6y-1)2-3(2x+1)2=-2.

從而可得欲證結(jié)論成立.

進(jìn)而可得(6v-1)2-24u2=1.

因而A=u2

從而可得欲證結(jié)論成立.

(4)同(1)可證.

所以，當(dāng)n∈N*時(shí)，

從而可得欲證結(jié)論成立.

猜想若k,l,m∈N，3≤k