基于TDOA/FDOA相位條紋的高精度GPS信號跟蹤方法

王 芮 王兆瑞 李建斌 金聲震

①(中國科學院國家天文臺 北京 100101)

②(中國科學院大學天文與空間科學學院 北京 100049)

1 引言

全球定位系統(Global Positing System, GPS)信號跟蹤的目的有兩個，一個是實現對衛星導航信號中偽碼分量的跟蹤，另一個是實現對載波分量的跟蹤。傳統接收機的碼跟蹤采用延時鎖定環(Delay Locked Loop, DLL)，在接收機的I, Q支路上，利用本地碼發生器產生相位超前和滯后的4路信號，與接收信號做相關，比較計算結果以獲得碼相位誤差來控制碼的數字控制振蕩器(Numerically Controlled Oscillator, NCO)產生與接收碼相位一致的本地信號[1]。這樣得到的偽距時延能精確到1%碼片內，偽距測量誤差大約3 m[2]。為得到更高精度的偽距測量值，國內外學者提出了諸多改善碼跟蹤環性能的方法。文獻[3]以相關峰值點為分界點對相關峰兩側分別做最小二乘擬合，以兩直線交點的橫坐標與零相偏參考值的差值作為碼相位的估值，以此提高精度但測量范圍有限，僅適合碼相位誤差在一個采樣點內的測量；文獻[4]改進了碼鑒別器，用歸一化超前減滯后的功率包絡型算法，有效提高了鑒相線性范圍和牽引范圍，但環路結構并沒有得到簡化；文獻[5]以計算互功率相位譜的條紋頻率來測量碼相位，環路所需相關器減少，但在噪聲較大時相位譜數據質量差，要以更長的信號時間為代價來提高鑒相精度；文獻[6]在低采樣率情況下，以增加熱噪聲為代價實現有限帶寬內的碼相位測量；文獻[7]提出了多徑干擾下的無失真碼跟蹤算法，不僅能抑制干擾，同時能實現碼相位的無偏估計。

載波跟蹤的關鍵技術是恢復出與載波同頻的相干載波，典型的載波跟蹤環由一個頻率或相位鑒別器、環路濾波器和載波NCO組成。無論是鎖頻環(Frequency Locked Loop, FLL)還是鎖相環(Phase Locked Loop, PLL)，它們的環路帶寬都是固定的。當多普勒動態變化較大時，無法實現頻率的穩定跟蹤[8]。為此，國內外學者對改進載波跟蹤技術提出了諸多方法，對環路結構中的鑒頻器和環路濾波器進行優化，以擴寬線性鑒頻范圍，減小鑒頻誤差[9]；文獻[10]設計了一種基于鎖頻環和鎖相環的混合載波跟蹤環路，環路可根據噪聲環境變化自動切換工作模式，改善了環路狀態轉換過渡中出現頻率階躍的問題；文獻[11]用平方法和差分法分別構造新的相干累加變量作為FFT運算的輸入，提升了在弱信號下的頻率牽引速率；將最大似然估計(Maximum Likelihood Estimation, MLE)、擴展卡爾曼濾波(Extend Kalman Filter, EKF)、無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)和叉積自動頻率控制(Cross-Product Automatic Frequency Control, CPAFC)等自適應技術引入到載波跟蹤算法，使載波跟蹤環的噪聲帶寬根據不同的動態環境自動調節，不同程度上提高了環路的動態跟蹤性能，但同時也增加了算法的復雜度[12-15]。以上方法本質上都是在I, Q支路上使用數學統計規律對狀態量進行一定條件下的最優估計，鮮有學者采用統一的算法實現載波多普勒與偽碼相位的測量。

本文為實現對GPS信號的精密跟蹤，提出了一種兼備碼相位和載波多普勒高精度測量的基帶信號處理方法。將跟蹤環路中解調后的偽碼信號與接收機本地碼發生器信號的相位差表征為TDOA，將混頻信號與本振信號的多普勒頻差表征為FDOA，再采用Hough變換結合一元線性回歸的計算方法，分別解析這兩路不同信號的時域和頻域相位譜的條紋斜率，由此得到準確的TDOA和FDOA參量。該方法在低載噪比環境下跟蹤精度有明顯提升，即使在高動態變化時也能實現穩定跟蹤。

2 相位條紋法的跟蹤實現

2.1 TDOA相位條紋測量原理

TDOA測量原理是利用頻域相位參數實現的。由維納-辛欽定理可知，信號的相關函數與其功率譜密度函數互為傅里葉變換。因此，由相關函數在時域所表示的TDOA信息，可以由信號功率譜在頻域的相移得到[16]。

GPS信號從衛星傳輸到接收機將產生一定的時延，本地碼NCO生成的偽碼會出現相位偏移，為實現偽碼解調，在信號跟蹤時通過準確測量碼相位差，并對碼NCO進行實時調整，達到復現出與接收信號相位一致的偽碼。根據上述TDOA的測量原理，本文以TDOA相位條紋為參量實現碼相位的跟蹤。

首先對接收機混頻解調后的基帶數字中頻信號進行TDOA相位條紋測量分析，可寫作

通過檢測TDOA頻域相位譜上的條紋斜率，再除以2π即可得到碼相位偏移量。因此基于TDOA相位的碼跟蹤環結構如圖1所示。

圖1 基于TDOA相位條紋的碼跟蹤環結構

2.2 FDOA相位條紋測量原理

FDOA的測量原理是利用時域相位參數估計實現的。與TDOA的區別在于，它需要對兩路頻移信號分別做希爾伯特變換，再計算時域互相關功率譜，通過分析時域相位條紋的斜率，測量出信號的頻偏。

由于衛星和接收機之前存在相對運動，為消除多普勒效應的影響，需要載波跟蹤環準確測量載波多普勒頻移，對載波NCO進行實時調整。因此根據上述FDOA的測量原理，本文以FDOA相位條紋為參量實現載波多普勒跟蹤。

接收機載波跟蹤環輸入信號為載波多普勒頻移調制下的中頻信號，可寫為

其中，v為衛星與接收機之間的相對速度，f0為中心頻率，c為光速， Ts為采樣間隔，θ為初始相位。

由于導航電文D是由±1的數據構成的，采用平方檢波的方法可剝離導航電文，得到載波平方信號為

通過分析計算FDOA時域相位，將條紋斜率除以4π即可得到載波多普勒頻偏，條紋截距除以2得到載波相位差。因此基于FDOA相位的載波跟蹤環結構如圖2所示。

圖2 基于FDOA相位條紋的載波跟蹤環結構

2.3 誤差分析

根據上述測量原理計算BPSK信號的TDOA，得到的互相關功率幅度譜和相位譜，如圖3所示。

圖3 BPSK信號的TDOA相位條紋

從相位譜中可以看出條紋分布并不是完全準確的直線，存在誤差波動。考慮到計算機處理的信號是有限長的，當計算兩路時延信號在[0,T]時間范圍內的互功率譜時會引入計算誤差，如圖4所示。

圖4 有限長信號的相關計算誤差

圖中xA(t)是由xB(t)延遲時間τ得到的信號，當對兩個信號在t∈[0,T]上做相關運算時，可以看出zA與zB是兩段多余的非相關信號；只有xA(t)在t∈[τ,T]時的信號，與xB(t)在t∈[0,T-τ]時的信號是完全相同的相關信號，故將其設為xAB。因此計算機得到的互相關功率譜結果為

由此得出結論1：TDOA/FDOA相位條紋測量算法，具有待測量越小計算結果越精確的特點。

除此之外，結合互功率幅度譜，還存在另一種計算噪聲，噪聲的大小與頻率有關。在互功率譜幅度很小的頻點處相位又明顯發散，這是由于計算機的量化誤差在做DFT時累積放大了。

由此得出結論2：相位譜數據的可靠性與對應頻點的互功率幅度值呈正比。設置幅度閾值舍去對應幅度值較小處的相位，可提取更加清晰的相位條紋。

3 相位條紋斜率檢測方法

將接收機產生的信號與接收的衛星導航信號之間的碼相位差和載波多普勒頻偏考慮為TDOA和FDOA，通過實時估算TDOA和FDOA的相位條紋斜率，可實現衛星導航信號跟蹤。由于相位譜具有多條紋周期性排列的特點，隨著TDOA和FDOA的改變，每條條紋的位置也在發生變化，因此采用一種自適應的方法識別出條紋中最清晰直線的位置，再對范圍中單根條紋進行一元線性回歸計算斜率，圖5為相位條紋斜率的估算過程。

圖5 相位條紋斜率估算過程

3.1 相位條紋的Hough變換

Hough變換是一種能有效識別多根直線的數據處理方法，其基本原理為將數據空間中以x, y為坐標軸的直線方程表達式，轉變為以斜率a，截距b為坐標軸的直線方程表達式。在直角坐標系xOy中，一條直線的方程表達式為y =a*x +b*，在直線上任取一點(x0, y0)，對于該點直線方程可寫成b=-x0a+ y0，此時a, b為變量，定義aOb坐標系為Hough空間。若選取直線上若干點(xi, yi)，即可在Hough空間中得到若干條直線方程b=-xi?a+yi，那么所有直線都將交于點(a*, b*)。

如圖6所示，數據空間中的一點，對應Hough空間中一條直線；數據空間中一條直線上的若干點，對應Hough空間中交于同一點的若干條直線，交點(a，b)就是數據空間直線的斜率和截距參數。

圖6 Hough變換的直線參數估計

為避免數據空間中a趨于無窮大，將直線參數方程寫成極坐標的形式其中，θ是數據空間中直線對應法線與x軸的夾角，直線斜率a=tan(θ+π/2)，再根據三角函數的性質有

根據以上相位條紋Hough變換的原理，在計算機上的算法實現過程如下：

(2) 定義一個全零矩陣HN×M作為離散Hough空間的存儲矩陣，矩陣的每個元素H(ρn，θm)對應離散Hough空間的一個格點。

(3) 將數據點(xi，yi)代入式(14)，對方程ρ=xicosθ+yisinθ 遍歷θ的M個離散取值，計算相應的ρ值，在Hough空間中尋找與其距離最近的離散點ρn，該點對應矩陣元素值H(ρn, θm)=H(ρn,θm)+1。

(4) 待相位譜中的所有數據按照步驟3執行完畢后，統計出矩陣H中的峰值H(ρ*，θ*)。

輸出：確定峰值對應元素(ρ*，θ*)，在相位條紋中找出以此為參數的直線

由此為接下來做直線擬合提供了相應的相位譜數據。

3.2 幅度譜加權的一元線性回歸法

在Hough變換檢測出條紋中有效數據范圍后，需要對數據進行直線擬合。根據前面誤差分析的結論，為提高相位譜數據的可靠性，采用一種基于幅度譜加權的一元線性回歸算法。

4 仿真實驗

首先利用MATLAB軟件仿真生成GPS的L1頻點基帶信號，為了驗證算法的靜態跟蹤精度，設置接收信號的中頻載波頻率為6.5 MHz，采樣率為28 MHz，環路更新率為10 ms，經過粗捕獲后進入跟蹤環路的多普勒頻差為200 Hz，碼相位偏差10 ns。通過軟件編程對相位條紋跟蹤方法進行仿真實驗，仿真結果如圖7-圖9所示。

圖7 GPS信號的時域相位譜

圖7(a)為接收信號與本地載波信號的時域相位譜，可以看出條紋淹沒在噪聲中，圖7(b)為依據幅度閾值去噪后的相位譜，相位條紋明顯清晰了。圖8為時域相位譜在分辨率為120×120 dpi的Hough空間下的數據表征，沿ρ軸看有5個峰值，表示了相位譜中有5條直線，沿θ軸可以看出ρ的5個峰值基本對應同一個θ，這表示相位條紋的5條直線都具有相似的斜率。再根據θ和ρ的最大值從相位條紋中提取出最可靠的一段數據，然后對這部分相位點做幅度譜加權的一元線性回歸，如圖9所示，回歸直線的斜率除以4π即為載波多普勒的鑒頻結果。

圖8 相位條紋的Hough變換

圖9 幅度加權的線性回歸結果

然后在不同載噪比情況下分別進行1000次蒙特卡羅仿真，載波跟蹤誤差與環路帶寬為30 Hz的2階鎖頻環進行對比，其熱噪聲誤差為[17]

仿真結果的鑒頻誤差均方差(RMSE)如圖10所示，相位條紋算法在低載噪比時鑒頻精度具有明顯優勢。當載噪比為32 dB-Hz時，載波多普勒頻偏的跟蹤誤差均方差為13.42 Hz，相對2階鎖頻環精度提高了約31%。隨著載噪比的提高，相位條紋算法的鑒頻精度與鎖頻環逐步接近。碼相位跟蹤誤差與延遲鎖定環進行對比，仿真結果的測量誤差均方差如圖11所示，相位條紋算法的鑒相精度也明顯優于延遲鎖定環。當載噪比為32 dB-Hz時，碼相位測量誤差均方差為2.92 m，相對延遲鎖定環精度提高了約60%。

圖10 載波多普勒測量誤差均方差對比

圖11 碼相位測量誤差均方差對比

為了驗證相位條紋算法的動態適應性，根據美國噴氣推進實驗室(JPL)的高動態模型，設置接收機與衛星的相對運動狀態。初始速度為100 m/s,0～0.5 s有-25 g(1 g≈9.8 m/s2，下同)的恒定加速度，然后在0.5～1 s引入100 g/s的加加速度，輸入信號載噪比設置為44 dB-Hz。此時高動態模型的載波跟蹤結果如圖12所示，可以看出相位條紋法能精確跟蹤載波多普勒，其跟蹤誤差如圖13所示，對比環路帶寬為60 Hz的傳統PLL-FLL算法，相位條紋算法的鑒頻誤差更小，尤其是在0.5～1 s即使有較大的加加速度它的誤差也不會有明顯增大。且相位條紋法的頻率跟蹤誤差在0～0.4 s逐漸減小，0.4～0.7 s又逐漸增大，可以看出相位條紋法的鑒頻誤差與多普勒偏移量呈正比關系。高動態模型的碼相位跟蹤誤差如圖14所示，其中相位條紋算法相較DLL算法有明顯優勢，表現出和多普勒測量相同的特性。

圖12 高動態信號的載波跟蹤結果

圖13 高動態信號載波跟蹤誤差對比

圖14 高動態信號碼相位跟蹤誤差對比

5 結束語

本文提出了一種基于TDOA和FDOA相位條紋檢測的GPS信號跟蹤方法，并采用該算法對GPS接收機在不同運動狀態下的信號跟蹤進行了分析，結果表明：

(1) 算法的跟蹤精度高，在32 dB-Hz的低載噪比環境下，對靜態信號的碼相位跟蹤誤差均方差為2.92 m，相對延遲鎖定環精度提高了約60%；載波多普勒頻偏的跟蹤誤差均方差為13.42 Hz，相對2階鎖頻環精度提高了約31%。

(2) 算法的動態適應性優良，在載噪比為44 dB-Hz的環境下，可實現對JPL高動態模型(初始速度100 m/s，加速度25 g(1 g≈9.8 m/s2，下同)，加加速度為100 g/s)的載波跟蹤。且應對加加速度時，跟蹤精度對比傳統PLL-FLL方法具有明顯優勢，誤差均方差減小了約50%。

(3) 算法具備同時測量碼相位和載波多普勒的能力，將碼跟蹤環和載波跟蹤環高度耦合起來，可簡化接收機跟蹤環路的設計。

綜上所述，在高動態或低載噪比環境下，基于TDOA和FDOA的頻域和時域相位條紋的GPS信號跟蹤方法相比傳統的碼跟蹤環和載波跟蹤環都更占優勢。同時該方法能夠兼并碼跟蹤環和載波跟蹤環，構造出一種較低成本的跟蹤結構，具有重要的GPS接收機應用價值。