二維活塞泵空間凸輪的建模與實驗

豐章俊， 陳 勇， 阮 健

(1.浙江同濟科技職業學院機電工程學院， 浙江杭州 311231；2.浙江工業大學機械工程學院， 浙江杭州 310023)

引言

相較于其他傳動方式，液壓傳動在功率密度方面有無以倫比的優勢[1]。隨著電氣化時代的到來，液壓傳動技術中的電靜液作動器(Electro-hydrostatic Actuator，EHA)[2-3]成為研究熱點。一般來說，EHA是集成了無刷直流電機(BLDCM)、雙向電動泵、蓄能器、單項閥、安全閥、液壓缸的獨立液壓系統，如圖1所示。它可以完全省去復雜的液壓油管，比傳統的分布式液壓系統具有更高的集成程度；可以通過控制電動泵排出的流量來控制液壓缸活塞的動作，不僅節省了伺服閥昂貴的成本，也避免了閥配流帶來的節流損耗問題，大大提高了液壓系統的效率[4]。

圖1 EHA原理圖Fig.1 Principle diagram of EHA

早在上世紀末，美國軍方聯合航空指揮部組織多兵種專家啟動多電飛機計劃。美國洛克希德馬丁摒棄了傳統液壓系統，為F/A-18、F-16戰機安裝上新型的EHA[5-6]。實驗證明用EHA作為舵機可以提高有效性、可靠性、易維護性，且有效降低了起飛重量，節省了燃油消耗，減少了易受輕武器攻擊的面積。此外，EHA在車輛[7]、工程機械、潛水設備[8]、機器人[9]等領域也具有廣闊的發展前景。

未來液壓泵的發展需要更多地考慮EHA的工況特點，如為了達到更高的功率密度，需要高速化、高壓化；為了節能和減少發熱[10]，泵要有更高的效率；為了適應急停急起的工況，摩擦副需要有更長的可靠性和壽命。由此來看，浙江工業大學阮健教授團隊[11]設計的二維活塞泵利用空間凸輪和滾子機構使活塞具有往復運動和旋轉運動2個自由度，往復運動用于吸排油，旋轉運動用于配流。這種設計結構簡單、緊湊，摩擦副可靠性較高，十分適合作為EHA的液壓動力源。

空間凸輪是二維活塞泵的關鍵零件，在很大程度上影響著泵的振動、噪聲、壽命、可靠性等性能。金丁燦等[12]分析了圓錐滾子與空間凸輪的空間接觸關系，建立了接觸曲面的模型；張振炎等[13]分析了空間凸輪的工藝需求，設計了可行的加工工藝，得到了可靠的凸輪零件。為了設計和制造出性能更好的泵，完善凸輪的設計理論相當重要。

1 二維活塞泵原理

二維活塞泵的結構如圖2所示，為了顯示內部結構，缸體已被剖開。泵工作時，電機通過傳動軸帶動活塞軸作旋轉運動。滾子與活塞軸固連，在空間凸輪的支撐下，在旋轉的同時帶動活塞軸一起作軸向往復運動。活塞軸與缸體之間配合，形成2個密封容腔，其體積周期性變化，完成吸排油。配流是通過活塞軸上的配流槽與缸體上的配流窗口配合完成的，活塞軸的旋轉運動使兩者的重合面積不斷變化，在容腔被壓縮時，配流槽與排油窗口連通；在容腔被擴張時，配流槽與吸口窗口連通。這樣的設計使活塞的雙自由度運動被充分利用。

圖2 二維活塞泵結構圖Fig.2 Structure of two-dimensional piston pump

2 空間凸輪建模

平面凸輪的建模過程是先求得滾子中心相對于凸輪的運動軌跡，稱為理論輪廓曲線，然后以此曲線上的點為圓心，作一系列滾子圓，滾子圓的內包絡線即為實際輪廓曲線。這種方法對平面凸輪來說是準確的，但是在設計空間凸輪時會產生一些誤差。金丁燦等[12]在提出凸輪的數學模型時，假設了圓錐滾子和空間凸輪的接觸線為直線，然而事實是除了最低點和最高點外，在滾子上下坡時接觸線都不是直線，于是有很小的誤差。為了更精確地計算空間凸輪廓面，需要使用TSAY等[14]提出的數值方法。

2.1 三維空間包絡理論

首先在任意一個三維笛卡爾坐標系中，用u1，u2表示曲面族上特定曲面的參數，以ζ表示曲面運動軌跡的參數，則運動軌跡上的無數個曲面所形成的曲面族可表示為：

r=r(u1,u2,ζ)

(1)

空間凸輪的廓面是曲面族中無數條特殊曲線組成的，根據包絡理論[12]，這些曲線應滿足以下方程：

(2)

理論上可以通過式(2)消除3個參數u1，u2，ζ中的一個，再代入式(1)，并檢查是否存在奇異點，即可獲得包絡面的方程。

實際計算空間凸輪廓面時，因為參數ζ描述了滾子的位置，所以把每一個ζ的值代入到式(2)，求解后就能獲得該位置的滾子與空間凸輪接觸線，排除奇異點后，所有的接觸線就組成了一個完整的包絡面。因此，推導的步驟為：

(1) 建立滾子坐標系和固定坐標系，推導運動一個周期后，圓錐滾子回轉面形成的曲面族；

(2) 根據包絡理論計算滾子上的接觸線；

(3) 將接觸線在滾子坐標系中的位置代入固定坐標系中的曲面族方程，得到最終的廓面。

2.2 曲面族方程

曲面族是由圓錐滾子在旋轉和往復的復合運動產生的，圓錐滾子的尺寸參數含義如圖3a所示；圖3b表示了滾子與空間凸輪廓面的空間關系。

圖3 空間凸輪廓面形成原理Fig.3 Principle of spatial cam contour formation

在滾子坐標系中，圓錐回轉面的向量形式表達為：

r1=r1(δ,φ)=x1i1+y1j1+z1k1

(3)

其中，x1=r2cosφ；y1=l；z1=-r2sinφ。

式中，i1，j1，k1—— 滾子坐標系中沿O1x1，O1y1，O1z1方向的單位向量

r1—— 滾子小端半徑

δ—— 滾子高度

γ—— 滾子半錐角

l—— 大端與頂點距離

μ—— 小端與頂點距離

φ—— 接觸點與x1軸的夾角

θ—— 滾子繞z2軸的旋轉角度

根據二維泵的設計理論[11]，滾子繞空間凸輪的z2軸旋轉并且作軸向往復運動。轉角為θ時，圓錐回轉面經過坐標變換后產生了曲面族，根據坐標旋轉變換和平移變換的原理，曲面族方程可以表示為：

[0 0S(θ)]

(4)

其中， 0≤φ≤π。

式中，r2—— 滾子大端半徑

S(θ) —— 滾子軸向位移與繞z2軸旋轉角度的函數

經過坐標變換后得到的曲面族方程也可以在固定坐標系中表達為：

r2=(x2,y2,z2)=x2i2+y2j2+z2k2

(5)

其中，x2=r2cosφcosθ+lsinθ；y2=-r2cosφsinθ+lcosθ；z2=-r2sinφ+S(θ)。

式中，i2，j2，k2—— 滾子坐標系中沿O2x2，O2y2，O2z2方向的單位向量

2.3 滾子上的接觸位置

根據包絡條件可以計算出滾子上接觸的位置。包絡條件表示為：

(6)

記：

(7)

其中，xφ=-r2cosθsinφ；yφ=r2sinθsinφ；

zφ=-r2cosφ。

又記：

(8)

其中，xδ=tanγcosθcosφ+sinθ；

yδ=-tanγsinθcosφ+cosθ；zδ=-tanγsinφ。

通過計算和化簡，得到：

(9)

其中，xn=-r2tanγsinθ+r2cosθcosφ；

yn=-r2tanγcosθ-r2sinθcosφ；zn=-r2sinφ。

由于在式(9)中r2>0，故曲線族中不存在奇異點。根據式(9)繼續計算可以得出滾子上的接觸角φ。

(10)

其中，xθ=-r2sinθcosφ+lcosθ；yθ=-r2cosθcosφ-lsinθ；zθ=S′(θ)；S′(θ)=dS(θ)/dθ。

通過計算和化簡，得到方程：

(11)

其中，H=-S′(θ)cosγ；I=r2tanγ+l。

方程式的解為：

(12)

滾子的運動軌跡為等加速等減速運動，在一個周期內旋轉的軸向位移和導函數與轉角的關系分別表達為：

(13)

(14)

式中，h為空間凸輪的行程。

設置參數如表1所示，在MATLAB中編寫程序，計算出的滾子上的接觸角度如圖4所示，凸輪廓面如圖5所示。

圖4 滾子上的接觸角度φFig.4 Contact angle φ on roller

圖5 空間凸輪廓面Fig.5 Profile of spatial contour

表1 空間凸輪建模參數Tab.1 Modeling parameters of spatial cam

2.4 空間凸輪的壓力角

壓力角的定義為圓錐滾子受力方向與軸向運動方向的夾角，根據定義有：

α=arccos(n1·m1)

(15)

式中，m1—— 軸向方向單位向量，m1=(0,0,1)

n1—— 空間凸輪廓面法向方向單位向量，

通過計算得到的壓力角α如圖6所示，在最高點和最低點處的壓力角最小，為30°；在中間位置時壓力角最大，此壓力角最大為38.57°。

圖6 壓力角αFig.6 Pressure angle α

2.5 空間凸輪的曲率半徑

曲率是描述空間凸輪彎曲程度的重要概念，與其相關的曲率半徑影響著凸輪的加工難度、精度和成本[15]。上文中通過MATLAB計算得到的數據都是離散值，因此無法得到曲率半徑的解析解。根據KROON D J[16]提出的三角網格曲面上離散曲率算法，先用最小二乘法擬合得到頂點領域內的曲面方程：

f(x,y)=ax2+by2+cxy+dx+ey+f

(16)

式中，a，b，c，d，e，f為擬合曲面的常數項。

然后利用特征向量和特征值計算主曲率、平均曲率和高斯曲率，得到平均曲率Km如圖7所示。在中間位置得到最小的平均曲率為-8.75×10-3m-1。

圖7 平均曲率KmFig.7 Mean curvature Km

3 仿真與實驗

3.1 仿真

從圖4中看出在空間凸輪的最高點和最低點的中間位置時接觸角度φ最大。在UG中建立空間凸輪模型和滾子模型，并把滾子裝配到空間導軌的中間位置，如圖8a所示，再將滾子向軸向方向下移0.0001 mm，使滾子與凸輪干涉。通過提升提和布爾運算求出干涉部分體積，如圖8b所示。

圖8 建模結果對比Fig.8 Comparison of modeling results

得到文獻[12]建模方法的干涉部分體積為0.000275 mm3，用空間包絡法得到的干涉部分體積為0.000013 mm3。用文獻[12]方法建模得到的干涉部分的形狀如圖8c所示，為一個內圈較寬，外圈較窄的楔形；用三維空間包絡法建模得到的干涉部分的形狀如圖8d所示，為一個寬度均勻的條形，且寬度很小。仿真說明三維空間包絡法具有更好的精度。

3.2 實驗

空間凸輪的加工使用了VMC850三軸立式加工中心。通過UG建立如圖9a中的空間凸輪三維模型，導入到Cimatron軟件后，選擇4 mm球頭銑刀，再選擇從內到外的螺旋線走刀路徑，軟件會根據球頭直徑和刀具路徑自動補償。空間凸輪使用了40Cr材料，調制后硬度可達HB220～HB250。加工時先用6 mm平頭銑刀粗加工兩次，留余量0.1 mm，再真空淬火，使硬度達到HRC55～HRC58，然后用4 mm球頭銑刀精加工兩次。加工出的空間凸輪實物如圖9b所示，經過三坐標檢測儀測量，發現最大偏差為0.019 mm，平均偏差為0.003 mm，最小偏差為-0.016 mm，三坐標檢測結果如圖9c所示。

圖9 空間凸輪的建模、加工與檢測Fig.9 Modeling, machining and detection of spatial cam

裝配后的二維活塞泵如圖10所示，滾子與凸輪的貼合度較好，實驗測得在6000 r/min，35 MPa工況下的機械效率可達80%以上。

圖10 二維活塞泵樣機實物Fig.10 Prototype of two-dimensional piston pump

4 結論

(1) 通過數學推導和MATLAB編程，得到了無模型誤差的空間凸輪廓面數學模型。推導出空間凸輪的壓力角，應用三角網格曲面上離散曲率算法得到了平均曲率為凸輪加工的刀具選擇和降低成本提供參考。

(2) 根據所提出的數學模型建模，并通過在UG上仿真對比，說明了三維空間包絡法具有更好的精度。

(3) 加工了空間凸輪，加工精度符合要求，裝配后圓錐滾子與空間凸輪的貼合度較好，機械效率也令人滿意。