方程思想在數學建模中的應用

甘肅省秦安縣第二中學

王永強

數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學.人類歷史發展中數學是最先且一直應用在實際生活中的一門科學.任何一個科學領域都離不開數學，數學是一切科學的基礎，也是一切科學的靈魂.數學的特點不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴密性，而且在于應用的廣泛性.我們只有掌握了數學的廣泛的應用，并能用數學知識解決各種各樣的實際問題，才能說真正學會了數學.數學建模是應用數學知識解決實際問題的重要手段和途徑之一，它可以促進學生解決實際問題的能力，引導學生應用數學知識的意識，培養學生學習數學的興趣.數學知識的應用主要和數學建模的方法結合起來，利用數學建模來解決生活中的實際問題.

其中方程思想往往通過和函數思想、不等式思想、數形結合思想等的結合，可以解決現實生活和生產過程中的很多問題.本文中選取經濟活動、數據測量、軍事國防等方面的具體實例，尋求解決這些問題的辦法.

1 在經濟活動方面的應用

現實生活中，我們會遇到向銀行存款時怎樣存款獲得的利息最多，按揭貸款買房時怎么貸款支付的利息最少等合理使用資金的問題.這些問題可以應用方程思想來解決，下面我們舉一個銀行存款的問題.

1.1 問題提出

北京大學學校基金會有一筆M萬元的基金，打算將其存入銀行或購買國庫券，當前銀行存款及各期國庫券的利息見表1.假設國庫券每年至少發行一次，發行時間不定，取款政策參考銀行的現行政策.

表1 銀行存款、國庫券年利率表

北京大學學校基金會計劃在每年用部分本息資金獎勵優秀的師生，要求每年發放的獎金額大致相同，并且讓基金使用N年后M萬元的基金不能減少.

請你幫助北京大學學校基金會在如下情況下設計基金使用方案.

假設M=5 000萬元，N=10年.北京大學在基金到位后的第3年要舉行百年校慶，基金會希望這一年的獎金比其他年度多20%.請給出具體分析結果.

1.2 模型假設

(1)假設銀行利率和國庫券利率一直保持不變.

(2)假設每年存取款也就是國庫券發行期.

(3)假設每年獎金發放時間不定，和存取款時間相同.

1.3 模型分析

本模型的一個目的是提高所得利率，從利率表可以看出銀行存款或國庫券時間越長，利率越大，收益越大.另一個目的是每年利用大致相同的部分本息資金獎勵優秀師生，也就是每年要取出一部分錢來使用.滿足這兩點，模型才合理.通過對利率表的分析，時間越長，利息越多.如果在同一年期國庫券利率高時就買國庫券，銀行利率高時就把錢存入銀行，也就是把錢存在同期利率高的方式做投資.

我們假設：

X1表示1年期存款數，一年后連本帶利發放獎金；X2表示購2年期國庫券數，二年后連本帶利發放獎金；X3表示購3年期國庫券數，三年后連本帶利發放獎金；X4表示購2年期國庫券數，到期后連本帶利再購2年期國庫，四年后連本帶利發放獎金；X5表示購5年期國庫券數，五年后連本帶利發放獎金；X6表示購3年期國庫券數，到期后連本帶利再購3年期國庫券，六年后連本帶利發放獎金；X7表示購5年期國庫券數，到期后連本帶利再購2年期國庫券，七年后連本帶利發放獎金；X8表示購5年期國庫券數，到期后連本帶利再購3年期國庫券，八年后連本帶利發放獎金；X9表示購5年期國庫券數，到期后連本帶利再購3年期國庫券，再到期后連本帶利存一年定期，(也可以購5年期國庫券，到期后連本帶利再購2年期國庫券，到期后連本帶利再購2年期國庫券，但這種方案沒有前者優)，九年后連本帶利發放獎金;X10表示購5年期國庫券數，到期后連本帶利再購5年期國庫券，十年后取出，發放同等的獎金，剩余部分還是原來的基金.

X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10=5 000.

①

X1(1+0.018)=X2(1+2×0.025 5)

=X4(1+2×0.025 5)2

=X5(1+5×0.031 4)

=X6(1+3×0.028 9)2

=X7(1+5×0.031 4)(1+2×0.025 5)

=X8(1+5×0.031 4)(1+3×0.028 9)

=X9(1+5×0.031 4)(1+3×0.028 9)(1+0.018)

=X10(1+5×0.031 4)2- 5 000

②

可以把方程組②的數據依次利用換元法變成X1的代數式再代入①式，這樣就把①式變成只含有X1的一元方程來解題，就可以求出每年的基金使用計劃.限于本文主要探究數學的方程思想在數學建模中的應用，具體解題過程在此不再詳述.

2 在數據測量方面的應用

方程思想可以簡單快速解決許多問題，如在安裝中央空調時、架構高壓線時電阻的測量等就可以利用方程的思想來解決.以下我們舉一個關于中央空調電阻的測量問題.

2.1 問題提出

有一幢100層大廈安裝了中央空調，裝成之后發現儀表顯示的溫度和實際溫度有較大的誤差.經過分析發現由于連接儀表的三根導線電阻不相等所致，只有測出每根導線的電阻才可以解決儀表不準的問題.每根導線都從一樓連接到頂樓，很明顯直接測量每根導線電阻是不可能的，因為導線一頭在一層，另一頭在一百層.那么應該怎么辦？

2.2 模型假設

我們應用數學的方程思想，假設：三根導線的電阻分別是Ra，Rb，Rc.把導線a和b，b和c，c和a在樓房頂部連成一個回路，在一樓就可以使用電阻表分別測量.

2.3 模型分析

我們依次利用連接的三個電路，再使用電阻表在樓房底部分別測出每一個回路的電阻，假設測定的電阻分別為X，Y，Z，那么就有方程組

Ra+Rb=X

③

Rb+Rc=Y

十九年，似乎一切全變了，又似乎都沒有改變。死了許多人，毀了許多家，許多可愛的生命葬入黃土。接著又有許多新的人繼續扮演不必要的悲劇。浪費，浪費，還是那許多不必要的浪費——生命，精力，感情，財富，甚至歡笑和眼淚。我去的時候是這樣，回來時看見的還是一樣的情形。關在這個小圈子里，我禁不住幾次問我自己：難道這十八年全是白費的？難道在這許多年中間所改變的就只是裝束和名詞？我痛苦地搓自己的手，不敢給一個回答。

④

Rc+Ra=Z

⑤

聯立方程組③④⑤可以算出每根導線的電阻Ra，Rb，Rc.

再根據物理知識給三根導線分別串聯合適的電阻就可以使三根導線的電阻相等了.

3 在軍事國防方面的應用

測量大海上駛來的一艘軍艦的長度大小和位置方向，空中飛來的敵機的高度和位置，敵國導彈發射基地的位置，測量河流的寬度，樓房的高度，山的高度，等等，我們也可以嘗試利用數學的方程思想和數形結合思想去解決這類問題.下面我們舉例一個測量高度的問題.

3.1 問題的提出

大家都看過電影《攀登者》吧？為了登上珠穆朗瑪峰的山頂測量海拔高度，花費了巨大的人力物力，甚至有人為此付出了生命的代價.如果我們不用登上珠穆朗瑪峰的山頂，能否可以測量出它的海拔高度呢？

3.2 模型的假設

如圖1，只要測量人員在珠穆朗瑪峰的山腳下D點可以測量出D點的海拔高度，那么珠穆朗瑪峰山頂A點的海拔高度也就可以解決了.

圖1

3.3 模型的分析

首先在Rt△ABD中,測出測量人員從點D觀察珠穆朗瑪峰最高點A的仰角，即∠ADB的大小，如果再計算出AD的長度，就可以計算出H=ADsin∠ADB.

為了計算AD的長度，需要確定一個與點D在同一水平面的觀察點C，首先測量出CD的長度，再使用儀器測量出∠ACD和∠ADC的大小，就可以計算出∠CAD=π-(∠ACD+∠ADC),最后利用正弦定理，得

把上面結果代入H=ADsin∠ADB就可以計算出高度H.

因此，可以計算出珠穆朗瑪峰的海拔高度=D點的海拔高度+高度H.

通過上面的一些具體實際生活問題的探究，我們可以看出數學知識在實際生活中的應用較多，且非常科學、嚴謹.其中方程思想在數學建模中的應用更是非常廣泛和巧妙.因此，我們必須要學好數學、用好數學，更要應用數學知識去解決實際生活中的一些問題.