基于HPM視角的高中數學教學研究

江蘇省如皋市第一中學

任 丹

1 引言

HPM(HistoryandPedagogyofMathematics)是數學史與數學教育相結合的教學模式.在傳統的數學教學中，相當一部分教師往往將教學重點放在知識點以及方法的應用上，學生很難在目的性較強的教學過程中構建完整的知識體系，機械化的學習活動也會讓學生覺得數學學習缺乏趣味性.在新課改的大背景下，數學教學逐漸強調核心素養的培養與提升，尤其是數學文化在教學過程中的滲透.因此,基于HPM教學理念開展教學具有重要的理論與實踐意義.本文基于教學實踐經驗，結合HPM理念，闡述了該模式的教學意義，并以“等差數列概念”教學為例，提出高中數學教學的實施路徑，以期為廣大師生提供教學參考.

2 滲透數學文化，樹立數學觀念

數學史是人類文化歷史的重要組成部分，因此數學教育在重視知識與方法的基礎上，還需要強化歷史文化教育.HPM理念能夠促使學生在學習數學史的過程中提升文化素養，感受知識與方法的起源與發展過程.在教學過程中，融入數學文化，可以幫助學生樹立正確的數學觀念，并通過數學史的學習發現數學之美，進而主動了解數學史，理解數學思維的產生與發展，感受知識與技能的更新與變化.

3 引發深度思考，提升思維能力

對于學生而言，數學學習在觀察認知、空間想象、抽象概括等方面的要求較高.在核心素養的培養要求下，在教學中科學融入數學史，能夠激發學生的深度思考，引導學生科學判斷客觀事物，準確揭示數學現象所包含的深刻含義.同時，數學史中包含了數學概念與數學方法的起源與發展歷程，是前人長期研究總結的實踐成果，具備高度的抽象性與凝練性，其中蘊含的思想能夠提升學生的思維能力.

4 提升趣味性，激發學習興趣

不同于物理、化學等理科學科，數學教學中基本不涉及實驗等實踐內容，以理論推導與應用為主，具有較強的抽象性，這一特征決定了數學學習難度大，容易使學生產生畏難情緒.然而，數學學科的發展包含了豐富的歷史文化要素，教師可以在教學過程中科學融入這些歷史文化內容，向學生展示相關概念定理的起源以及演繹過程，增強趣味性，激發學生的學習興趣.

5 教學設計——以“等差數列概念”為例

筆者以“等差數列概念”為例開展數學史融入教學的研究，探究HPM理念的教學實施路徑.

5.1 教材及學情

“等差數列”的教學內容在教材中是通過生活案例引入，幫助學生更好地理解教學內容，為教學活動奠定基礎.與之類似，本教學設計是選用數學史內容來引入教學，增強學生的學習興趣.

5.2 目標與重難點

知識與技能方面，旨在引導學生理解等差數列的概念以及通項公式；過程與方法方面，培養學生觀察分析、歸納總結、自主探究與知識應用能力；情感與價值觀方面，讓學生體驗由具體到抽象的認知演變規律，培養學生的探索精神，通過合作交流，培養學生的團結合作能力.

“等差數列”這節的重點是理解等差數列的概念以及通項公式并能簡單應用，難點為通項公式的推導與應用.

5.3 教學過程

5.3.1 創設情境，引入概念

教師：古時候沒有日歷，那時的人們是怎么確定日期的呢？

學生1：可以用繩子系扣的方式，每天系一個扣，扣的個數就是天數.

教師：諸如這位同學的方法有很多，比如在石頭、木頭上刻記號等，但是如果起始日期不是每個月的第一天，那么記錄的數據就不能直接使用.其實，在遠古時期，人們就通過月相來記錄日期，即根據月亮的圓缺來確定日期.大英博物館收藏的一份公元七世紀的月相表，每個月的月相情況構成一組數列，如表1所示.觀察表中的數據，分析這些數據之間的特點.

表1 大英博物館收藏的月相表

學生2：月相數相鄰兩項之間的差值是相同的.

教師：具備這種規律的數列就是我們這堂課要學習的等差數列.如果從第二項開始，每一項與其前一項的差為某一常數，那么該數列就是等差數列，該常數就是公差，公差表示為d.

設計意圖：借助數學史導入新課能夠激發學生的求知欲與學習興趣，讓學生體會到數學知識的起源與發展歷史，感受前人的智慧，加深學生對問題的思考以及對數學的喜愛，培養學生觀察分析與歸納總結的能力.

5.3.2 抽象延伸，理解概念

教師：根據等差數列的定義，你能夠用數學符號表達等差數列嗎？

學生3：an+1-an=d，d為常數，n∈N*.

教師：根據等差數列的定義以及數學表達式，試判斷以下數列是否為等差數列.

①-5，2，-5，2，-5，2.

②-2，2，4，6，8，10.

③6，6，6，6，6，6.

④1，3，5，7，9，11.

學生4：①不是等差數列，相鄰項的差值為7和-7，不恒定；②不是等差數列，第一項與第二項的差值為4，之后相鄰項的差值為2，不恒定；③和④均為等差數列，其中數列③公差為0，數列④公差為2.

設計意圖：通過數學符號對等差數列的概念進行深入分析，借助具體問題加深學生對概念的理解，為后續的理解、記憶以及應用打下堅實的基礎.

5.3.3 深入探索，公式推導

教師：我們現在已經掌握了等差數列的概念，那么如果數列a1，a2，a3，……，an為等差數列，公差為d，那么數列{an}任意一項的值與項數n之間存在什么關系？

在用累加法進行求解之前，教師可以引導學生自行探究，通過迭代的方式來確定表達式，即a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，以此類推可以得到an=a1+(n-1)d.

在迭代確定規律的基礎上，教師可以引導學生進行累加計算：

a2-a1=d，

a3-a2=d，

a4-a3=d，

…………

an-an-1=d.

教師引導學生觀察以上算式，如果進行累加處理就可以消去一部分量，最終得到an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d，此式在n=1時依然成立.因此，在n為任意正整數的情況下該表達式恒成立，這就是等差數列的通項公式.

設計意圖：通項公式的推導需要大膽猜想，通過找規律的方法能得到初步的結論，以此提升學生的自信心.公式的推導需要教師適當指導，通過迭代或者累加的方法證明學生的猜想，啟發學生自主思考，培養學生的探究精神，豐富學生的歸納總結、猜想假設等數學素養.

6 總結

HPM教學理念對于數學教學具有重要的作用，但是在實際教學過程中，教師自身數學史知識的儲備量、對數學史的理解、數學史料的收集途徑等都會影響教師借助數學史開展數學教學的動力以及教學效果.因此，需要構建專門的教學資源平臺，方便教師收集與整理資料，教師自身也需要加強積累，深化理解，不斷優化數學史的教學效果.

綜上所述，HPM的融入能夠使數學教學體系更為完善，以培養并提升學生的學科素養.在教學過程中，教師需要將HPM理念簡單視為一種教學形式，只追求數學史拼湊的教學方案很難優化教學效果.數學史在數學教學中的融入，不僅只局限在數學史教學層面，更應該體現在通過教學引導學生對數學史進行再創造，對數學史進行傳承與創新.