著手特殊角度 一題多解

西華師范大學數學與信息學院

彭 亞 高 明

1 如何實現一題多解

一題多解，是指從不同的視角出發來分析題目，用多種方法來解題.它不僅能促進學生對題目本質的理解，還能發展他們的思維，更能激發他們解題的興趣，使數學解題教學充滿趣味性，數學課堂氛圍也變得活潑.本文中以一道常見的解三角形題目為例，分析題目的多種解法，展現解題過程，促進學生對一題多解的進一步認知.

解題的本質就是對題進行變換和化歸.要想實現一題多解，首先要拆解題目，明白題目具有的信息特征.比如數量、結構、關系、圖形等特征，不同的特征會帶給我們不同的解題視角.其次，選擇解題的策略.解題策略包括變、換、構、拆、湊，這也是一題多解的角度，不同的角度擬定不同的解題計劃.接著，根據解題計劃逐步實施.最后反思解題過程能否繼續優化拓展.

2 典例分析

例在△ABC中，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c，若角A,B,C的大小成等比數列，并且b2-a2=ac，求角B的大小.

思維視角一：根據余弦定理解題.

分析：由題中的條件b2-a2=ac出發，觀察該式的結構，聯想到余弦定理，二者聯合可以得到角A與角C的關系，結合題中條件角A,B,C成等比數列，求出角B.

解：由余弦定理，可得b2=a2+c2-2accosB.

又因為b2-a2=ac，所以c2-2accosB=ac.

即a=c-2acosB.

由正弦定理，得

sinA=sinC-2sinAcosB.

即sinA=sinC-[sin(A+B)+sin(A-B)].

即sinA=sin(B-A).

由于A,B∈(0，π)，所以A=B-A，即B=2A.

又因為角A,B,C成等比數列，所以B2=AC.

即C=4A.

點評:這道題是典型的解三角形問題.常規思路是分析題中的已知條件，觀察各邊和各個角的關系，根據題中的邊角關系來選擇解題方法.解題的大方向會涉及到用正弦定理和余弦定理來求解.本題根據邊和角的關系選擇余弦定理，結合三角成等比數列，求解得到角B.這個方法是最常見的解三個角形方法，是大多數同學容易想到的.

思維視角二：根據托勒密定理解題.

分析：可以從幾何角度將式子b2-a2=ac變成b2=a·a+a·c.由此根據平面幾何中的托勒密定理來求解此題.托勒密定理的內容，即圓的內接四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.那么，我們構造一個圓的內接四邊形，作出對角線，便可得出各個角之間的關系.

解：由b2-a2=ac，得b2=a·a+a·c.構造一個圓O及其內接四邊形ABCD，使AB=c,CD=a,BC=AD=a,BD=AC=b，如圖1所示.

圖1

即四邊形ABCD滿足托勒密定理：

AC·BD=BC·AD+AB·CD.

由于BC=CD=AD=a，故

點評：這種解法是從變換b2-a2=ac的角度出發，觀察式子的特征聯想到托勒密定理，進而構造幾何圖形來求解.這種視角將代數式與幾何圖形聯系在一起，即代數問題幾何化，是一題多解的一種獨特視角.

思維視角三：根據相交弦定理解題.

分析：相交弦定理說的是，圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長度的積相等.所以將b2-a2=ac看成(b-a)(b+a)=ac,即將線段a,b,c構造成滿足相交弦定理的圖形，再從圖形中尋找各個角之間的數量關系，結合三個角成等比數列的條件進行求解.

解：如圖2所示，作一個半徑為b的圓C，直徑MN過圓心C，取線段MN上的點B，使BC=a,過點B作弦PA，使PB=a,BA=c,連結PC，AC.則BN=a+b,BM=b-a，BP=a,BA=c,滿足相交弦定理.

圖2

因為PB=PC,所以∠BPC=∠BCP.

因為CP=CA，所以∠BPC=∠A.

所以∠ABC=∠BPC+∠BCP=2A.

點評：將b2-a2=ac看成(b-a)(b+a)=ac，即對式子進行變換，并且聯想到相交弦定理，構造圖形找到角與角的數量關系，降低了解題的難度.

3 總結

一題多解的解題教學是非常有必要的.如何系統地對學生進行一題多解教學，如何培養學生從多視角觀察分析問題，是當下數學教育工作者需要思考的問題.一題多解不僅有益于思維的拓展，更有利于展現數學之美，是對學生進行數學美育滲透的一種重要渠道.