借助三角形外心 巧妙求解代數式

江蘇省海安高級中學

葉枝鳳

平面向量是歷年高考數學的一個重要知識點，是高考的熱點與重點問題之一，由于其同時兼備“形”的特征與“數”的性質，問題設置新穎多樣，內涵豐富背景創新，變化多端思維各異，是數學學科中知識與能力充分交匯與融合的理想場所，具有很好的選拔性與區分度，倍受命題者青睞.

1 問題呈現

此題以三角形為載體，結合確定的三角形以及外心，通過含參數的平面向量的線性關系式的建立，進而求解對應參數的一次代數關系式的值.破解此類問題，關鍵就是要抓住平面向量中的“形”的特征、“數”的性質或“形”與“數”的和諧統一，從平面幾何角度加以直觀處理，平面向量角度加以轉化，坐標角度加以運算等，從而解決相應的問題.

2 問題破解

思維視角一：平面幾何思維.

解法1：(平面幾何法)如圖1所示，取AB的中點D，在AC上取一點E，使AC=3AE，連接OD，OE，DE，其中OA交DE于點F，則AD=1，AE=1，OD⊥AB.而∠BAC=60°，則知△ADE為正三角形，從而DE=1，∠ODE=30°.

圖1

在△ABC中，由余弦定理，可得

點評：根據平面向量“形”的特征，以及平面向量的線性關系式，通過三角形圖形的直觀，結合余弦定理與正弦定理的應用，利用三角形面積的轉化確定對應邊長之間的比值，從而把平面向量的線性關系式轉化為以A為起點的三個共線的向量之間的線性關系式問題，利用共線向量的性質建立關系式來求解.

思維視角二：平面向量思維.

圖2

結合余弦定理的向量式，有

所以，4x+3y=2.

結合余弦定理的向量式，有

所以，4x+3y=2.

圖3

在△ABC中，由余弦定理，可得

點評：根據平面向量“形”與“數”的和諧統一性，建立相應的平面直角坐標系，先確定點C的坐標，利用三角形外心的性質，綜合解三角形中的余弦定理和正弦定理，以及勾股定理來確定外心O的坐標.利用坐標運算代入平面向量的線性關系式，建立相應參數的一次方程組，通過求解參數值，進而得以求出一次代數關系式的值.不同的建系法都可以達到破解的目的，只是相應的點的坐標發生了變化.

3 解后反思

借助平面向量“形”的特征與“數”的性質的雙重身份，破解此類問題時，可以從“形”的角度入手，利用幾何直觀，通過平面幾何特征或圖形直觀等形式來處理；可以從“數”的角度入手，利用代數視角，通過代數運算或平面向量的運算等形式來解決；還可以從“形”與“數”的和諧統一性，通過坐標運算等形式來破解等.涉及平面向量的相關問題，能有效達到問題設置的多知識融合，思維方式的多角度切入，破解技巧的多方法處理等，是充分考查數學知識，提升數學能力，培養數學核心素養的好陣地.