一題多解 提升數學創新思維能力
——以“立體幾何二面角的多種解法”為例

江蘇省蘇州市相城區陸慕高級中學

吳 靜

二面角的解法是立體幾何的一個重要內容，它能有效地培養學生的空間想象、幾何直觀、邏輯推理、運算求解等能力.教師如果能引導學生一題多解，更能充分提升他們思維的廣闊性、深刻性、探索性、靈活性、獨創性等，進而促進創新思維的形成.

1 “一題一解”不能適應學生素養發展的需求

學生處理二面角的計算問題主要有兩個方法：一是通過作出二面角的平面角，再在三角形中使用余弦定理.另外一個是向量法，即通過建立空間直角坐標系，計算出兩個平面的法向量的夾角.但是在平常的數學訓練中，學生遇到具體的問題時，往往只能想到其中一種方法，當這種方法出現卡殼時，解題就會出現困難.比如，學生會遇到作不出二面角的平面角或圖形不規則不能夠順利建系等情況.

例1如圖1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，點E，F分別在棱BB1，CC1上(均異于端點)，AB=AC，∠ABE=∠ACF，BB1⊥平面AEF.

圖1

(1)求證：四邊形BEFC是矩形；

教師可以先問學生例1考查的知識點是什么.顯然例1以斜三棱柱為載體，考查線面的位置關系以及二面角的計算.對于第(1)問，學生通過證△ABE≌△ACF得到BE=CF.又從BE∥CF，BE⊥EF出發，進而證得四邊形BEFC是矩形.班上中游以上的學生基本能做出來.對于第(2)問，可以轉化為求平面ABC與平面AEF所成的銳二面角，但是學生卻發現這兩個平面沒有現成的交線，因而不好直接作出二面角的平面角.這道題目的難點就在于圖形不常規，學生不知道如何建系.要讓學生突破“一題一解”的羈絆，即突破一種類型的題目一種解法的瓶頸，教師就需要培養學生的創新思維.

2 “一題多解”提升創新思維能力的策略

教師可以結合二面角的解法，基于變式教學理論，以例1為例，以“一題多解”為展示的主要方式，最終促成學生創新能力的生長.

2.1 直接建系法

圖2

2.2 補交作角法

圖3

這種解法的創新在于，通過延展兩個平面找到兩個半平面交線，在一個平面內向交線作一條垂線再證一個垂直(三垂線定理)得到二面角的平面角.學生只需要在直角三角形中通過勾股定理計算各邊，進而直接得到余弦值.

2.3 平行平面法

圖4

這種解法的創新在于，學生通過作出一個平面的平行平面，將問題轉化到兩個有交線的平面上，學生可以直觀地作出二面角的平面角，但教師要提醒他們有時候轉化后的平行平面所成的二面角與原二面角是補角關系.

2.4 抽象作角法

圖5

這種解法的創新之處有反其道而行之的意蘊，教師不是指導學生找兩個平面的交線，而是從交線上的一個點出發，在兩個平面內分別作交線平行線的垂線作出二面角，表面上貌似不按圖“索驥”，實則真正抓住了二面角平面角的本質.一言以蔽之，立體幾何作為高中數學的主干知識之一，教師可借助“一題多解”將幾何體的形狀、大小與位置關系等，通過二面角的解法呈現出來.學生在解題的過程中將空間點、直線、平面的位置關系，空間向量與空間角的計算等串聯起來.創新能力盤活了學生的認知，激發了他們的思維，進而促進了他們多元能力的生長.

高中數學課堂要以學生為本，教師要注重學生能力發生的過程.“一題多解”將教學的關注點轉移到學生身上，不再是“一題多講”，而是要凸顯學生在思維上的“多”，即多創新思維；同時也凸顯學生在展示上的”多“，即多創新展示.這樣，學生的創新能力在具體的教學環節中才能得到長足的發展.