巧借拋物線定義 妙解數學綜合題

河北省唐山市第一中學

李桂蘭

定義是解決相關問題的理論基礎和靈魂所在，解題時要善于回歸定義和應用定義.拋物線的定義反映了拋物線的本質特征，揭示了曲線存在的幾何性質與規律，恰當借助拋物線的定義，能夠有效實現拋物線上的點到焦點的距離與它到準線的距離之間的合理轉化.一方面可以將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，建構“兩點距離”的直觀問題；另一方面可以將拋物線上的點到焦點的距離轉化為該點到準線的距離，建構“點線距離”的直觀問題.根據不同的問題情境，有效轉化，合理破解，能起到事半功倍的效果.

1 長度問題

例1[2021屆貴州省西南名校聯盟(金太陽)高三下學期(3月)開學考理科數學試卷·16]已知拋物線C：y2=6x的焦點為F，準線為l0，過F且斜率為1的直線l與C交于A，B兩點(A在B的上方)，過點A作AP⊥l0，垂足為P，點G為∠PAB的角平分線與l0的交點，則|FG|=______.

分析：借助幾何視角切入，實現平面解析幾何問題幾何化，通過拋物線的定義以及幾何圖形的直觀，找出相應的全等三角形，利用兩直線垂直的斜率關系確定對應的直線方程，結合交點坐標的確定，并利用兩點間的距離公式求解即可.

根據拋物線的定義，有|AP|=|AF|，又∠PAG=∠FAG，所以△PAG≌△FAG.

點評：巧妙借助拋物線的定義，實現兩線段之間距離的等價轉化，這也是拋物線的定義的最基礎的應用之一.破解此題的基本思路有兩種.①從代數視角出發，設線，設點，聯立方程是常規方法；②從幾何視角出發，借助幾何圖形特征與邏輯推理，找到問題的突破口.而觀察幾何圖形的特征，拋物線的定義的應用，可以充分考查學生的直觀想象、邏輯推理等核心素養.

2 最值問題

分析：借助條件中點、直線、拋物線的數形結合以及平面幾何圖形的直觀，利用拋物線的定義加以合理轉化，通過動點的變化直觀確定最值的條件，進而設出切線方程，與拋物線方程聯立，消參后建立對應的方程，利用判別式法確定參數的取值，得以求解對應的切點坐標，最后結合兩點間的距離公式求解即可.

過點B作直線l：x=-1，過點A分別作直線l、拋物線的準線的垂線，垂足分別為C，D，如圖1所示.

圖1

根據拋物線的定義，可得

設直線AB的方程為x=my-1，將其與拋物線y2=2x聯立，消去x并整理，可得y2-2my+2=0.

由判別式Δ=4m2-8=0，可得m2=2.

故選：C.

點評：巧妙借助拋物線的定義，合理轉化相應的關系式，為利用平面幾何圖形直觀確定最值的條件奠定基礎.涉及此類拋物線中一“動”一“靜”的兩個點的變化問題，關鍵是利用題目條件“動”“靜”結合以及拋物線定義，“動”中取“靜”，確定最值問題的位置，為問題的進一步分析與求解指明方向.

3 取值范圍問題

分析：直接將交點P的坐標代入已知圓F的方程，通過求解方程來確定參數的取值；利用平面幾何圖形及拋物線的定義，巧妙將△FAB周長加以合理轉化，數形結合直觀分析，進而確定其對應的取值范圍.

過點A作拋物線Z的準線y=-1的垂線，垂足為D，交x軸于點E，如圖2所示.根據拋物線的定義，可得|FA|=|AD|.

圖2

所以，△FAB周長為|FA|+|FB|+|AB|=|AD|+2+|AB|=|BD|+2=|BE|+1+2=|BE|+3.

數形結合，可知|BE|∈(1，3)，則△FAB周長|BE|+3∈(4，6).

故填答案：2；(4，6).

點評：巧妙借助拋物線的定義，合理轉化三角形的周長，結合線段之間的運算并通過數形結合來確定周長的取值范圍.避免代數運算中繁雜的運算過程，更加簡單快捷地直達目的，實現問題的巧妙破解，提升解題效益.

在破解涉及拋物線上的點及焦點的一些綜合問題時，可以考慮利用拋物線的定義，實現拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線的距離之間的合理轉化，特別在破解一些拋物線中的長度、最值、取值范圍等綜合問題中有奇效.利用拋物線定義，回歸問題本質，合理轉化，巧妙應用，有效掌握數學思想方法和提升數學能力，養成良好的思維品質，培養數學核心素養.