巧借函數(shù)圖象 妙解零點(diǎn)問題

江蘇省徐州市第三中學(xué)

郭 琪

1 引言

函數(shù)的圖象從直觀角度反映了函數(shù)相應(yīng)的基本性質(zhì).在解答選擇題、填空題時(shí)，可以直接根據(jù)函數(shù)的圖象迅速得出解題方案；在解答題中，也可以從函數(shù)的圖象上獲得一些有用的解題思路.而解答一些函數(shù)的零點(diǎn)問題時(shí)，借助函數(shù)的圖象，可以更加直觀有效地解決一些與函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、零點(diǎn)所在區(qū)間等相關(guān)數(shù)學(xué)問題.

2 零點(diǎn)個(gè)數(shù)判定

涉及較復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定問題，經(jīng)常將其轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)根問題，借助兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況來分析與直觀判定.經(jīng)常以常見的基本初等函數(shù)的圖象為轉(zhuǎn)化的根本目標(biāo).

例1已知函數(shù)f(x)=e-x+x2-3x+1，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ).

A.3 B.2 C.1 D.0

分析：結(jié)合函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程的恒等變形轉(zhuǎn)化，將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)根問題，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一個(gè)指數(shù)函數(shù)與一個(gè)二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，從而利用數(shù)形結(jié)合巧妙轉(zhuǎn)化，直觀判定.

解析：由f(x)=e-x+x2-3x+1=0，變形可得e-x=-x2+3x-1.

在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出指數(shù)函數(shù)y=e-x和二次函數(shù)y=-x2+3x-1的圖象，如圖1所示.

圖1

由圖1可知，函數(shù)y=e-x和y=-x2+3x-1的圖象有2個(gè)交點(diǎn).

所以，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有2個(gè).故選擇：B.

點(diǎn)評(píng)：涉及函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定問題，其實(shí)就是對(duì)應(yīng)的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問題，但是直接通過解方程來分析與求解并不容易，而是根據(jù)對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象與性質(zhì)來直觀判斷，尤其是那些變形轉(zhuǎn)化后方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同且均是基本初等函數(shù)時(shí)，大多用數(shù)形結(jié)合方法求解與處理.

3 函數(shù)取值確定

涉及函數(shù)值的正負(fù)取值的確定問題時(shí)，經(jīng)常結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，并利用函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系來分析與確定相關(guān)函數(shù)值的正負(fù)取值等情況.

A.f(x1)<0，f(x2)<0

B.f(x1)<0，f(x2)>0

C.f(x1)>0，f(x2)<0

D.f(x1)>0，f(x2)>0

分析：結(jié)合函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程的恒等變形轉(zhuǎn)化，對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)指數(shù)函數(shù)與一個(gè)類似反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)位置問題.利用函數(shù)圖象的位置特征來判斷相應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)取值情況.

圖2

因?yàn)閤1∈(1，x0)，x2∈(x0，+∞)，所以結(jié)合函數(shù)的圖象直觀可知f(x1)<0，f(x2)>0.

故選擇：B.

點(diǎn)評(píng)：確定此類函數(shù)值的正負(fù)取值情況時(shí)，經(jīng)常利用函數(shù)的單調(diào)性來分析與處理.但由于函數(shù)解析式的復(fù)雜性，不易很快確定函數(shù)的單調(diào)性.而借助函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，利用兩個(gè)不同函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況以及圖象的上下位置關(guān)系來確定對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)取值情況，更加直觀有效，簡(jiǎn)捷方便.

4 參數(shù)范圍求解

涉及含參數(shù)的函數(shù)的零點(diǎn)或方程的實(shí)根問題時(shí)，經(jīng)常將此類問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，通過動(dòng)與靜的結(jié)合，常量與變量的變換等來合理平移相應(yīng)的函數(shù)圖象，數(shù)形直觀地確定參數(shù)取值范圍.

A.[-1，0) B.[0，+∞)

C.[-1，+∞) D.[1，+∞)

分析：結(jié)合函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程的恒等變形轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程f(x)=-x-a有2個(gè)不同的實(shí)根，進(jìn)而結(jié)合分段函數(shù)f(x)的圖象與直線之間一“曲”一“直”，一“靜”一“動(dòng)”的變化情況，利用數(shù)形結(jié)合，巧妙直觀地確定參數(shù)的取值范圍.

解析：由函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)=-x-a有2個(gè)不同的實(shí)根，可知函數(shù)f(x)的圖象與直線y=-x-a有2個(gè)交點(diǎn).

在同一平面直角坐標(biāo)系中作出直線y=-x-a與分段函數(shù)f(x)的圖象，如圖3所示.

圖3

結(jié)合圖3直觀可知，-a≤1，解得a≥-1.

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞).

故選擇：C.

點(diǎn)評(píng)：解決一些涉及含參變量的函數(shù)的零點(diǎn)、方程中的實(shí)根等相關(guān)問題時(shí)，經(jīng)常結(jié)合對(duì)應(yīng)代數(shù)式的恒等變形，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相關(guān)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程，合理分離參數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)一“曲”一“直”，一“靜”一“動(dòng)”，綜合利用參數(shù)的幾何意義，以及變形規(guī)律、條件限制等來確定參數(shù)的取值情況.

5 復(fù)合函數(shù)應(yīng)用

涉及復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)或復(fù)合方程的實(shí)根問題時(shí)，經(jīng)常借助函數(shù)或方程的恒等變形，將問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，結(jié)合交點(diǎn)情況、位置關(guān)系等來綜合求解.

A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)

分析：作出相應(yīng)分段函數(shù)的圖象，結(jié)合復(fù)合方程的求解，將方程不相等的實(shí)根的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)圖象特征來直觀分析與確定即可.

圖4

由方程f2(x)-f(x)=0，得f(x)=1，或f(x)=0.

方程f(x)=0的不相等的實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)的圖象與直線y=0(x軸)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象直觀可知，方程f(x)=0有3個(gè)不相等的實(shí)根；

而方程f(x)=1的不相等的實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)的圖象與直線y=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象直觀可知，方程f(x)=1有4個(gè)不相等的實(shí)根.

所以，方程f2(x)-f(x)=0的不相等實(shí)根共有7個(gè).故選擇：C.

點(diǎn)評(píng)：涉及一些復(fù)合函數(shù)或方程的零點(diǎn)問題，經(jīng)常借助復(fù)合函數(shù)或方程的恒等變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而綜合函數(shù)自身的結(jié)構(gòu)特征以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，數(shù)形直觀來解決包括函數(shù)零點(diǎn)在內(nèi)的一些基本性質(zhì)問題，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的巧妙轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想的綜合應(yīng)用等.

6 結(jié)束語

利用函數(shù)的圖象解決有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)問題時(shí)，關(guān)鍵是合理進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算與恒等變形，轉(zhuǎn)化為常見的基本初等函數(shù)問題，合理作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象加以直觀分析，綜合處理.解決此類問題的基本策略技巧是合理分離參數(shù)，做到一“靜”一“動(dòng)”，一“直”一“曲”，“動(dòng)”直線，“靜”曲線，巧平移，妙變換.借助函數(shù)圖象，“直”“曲”分離，數(shù)形結(jié)合，“動(dòng)”“靜”配合，直觀想象，全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)品質(zhì)、數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).