優化運算策略 減少代數運算

江蘇省石莊高級中學

張 進

數學運算是思維能力與運算技能的有機結合，是六大數學學科核心素養之一，更是高考數學考查的四大能力之一，在函數、數列、三角函數、立體幾何、解析幾何等相關內容中都占據著重要位置.高考數學試題中70%以上的試題都具有一定的運算量，因而，合理研究試題特點、了解算理、改進方法、優化策略，減少高考數學試題的運算是贏得考試成功的一大重要途徑.下面結合實例，談一談在教學中如何優化解題策略，切實減少代數運算，綜合提升復習效益.旨在拋磚引玉.

1 回歸本質，直達要害

抓住問題的本質，包括相關問題的概念、定義、公式、公理、定理、幾何意義等，抽象出對應問題的本質屬性，直接利用相關問題的實質，直達要害，可以大大減少運算量，提升解題效率.

分析：引入兩復數的和所對應的第三個復數，在復平面內，回歸問題本質，根據復數的幾何意義確定平面幾何圖形的特征，結合菱形的幾何性質，以及兩復數差所對應的圖形元素來確定所求兩復數差的模.

圖1

點評：根據復數代數運算的幾何意義，結合對應平面幾何圖形的特征，可以快捷破解有關復數的加、減等對應運算問題.結合幾何意義，可以有效回歸問題本質，挖掘問題內涵，簡化運算.

2 數形結合，以圖助算

數形結合思想是中學數學最重要的基本思想方法之一，更是歷年高考數學考查的重點之一.利用數形結合思想，有效增加解題過程的直觀性，直觀想象，以圖助算，可以大大減少運算量，提升解題效率.

圖2

同時切線l的斜率為正數，且小于1，可以直接排除選項B.

故選：D.

點評：直接從熟知的基本曲線圖形入手，通過數形結合以及對應選項的特征分析加以排除與選擇.利用數形結合直觀處理相關問題時，往往圖形都是比較熟知且較方便作出的，大致草圖偏差只要不太大，就可以直觀形象分析，簡單快捷.

3 把握性質，合理建構

相關知識的基本性質是對該知識的理解、掌握、綜合、應用的深入與拓展，準確把握基本性質，構建合理數學模型與關系，引入相應的參數、變量、模型等，合理建構，直接明確運算目標，可以大大減少運算量，提升解題效率.

例3(2020年高考數學江蘇卷第11題)設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列.已知數列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，則d+q的值是______.

分析：正確把握數列的函數性質，結合兩特殊數列所對應的和式的函數表達式，構建函數表達式中對應的參數，建立相應的方程，借助系數的對比來確定，進而有效確定數列中公差d與公比q的值.

故填答案：4.

點評：正確把握等差數列與等比數列和式的函數基本性質，其中等差數列的前n項和公式Sn=An2+Bn，等比數列的前n項和公式Sn=C(qn-1)，利用方程的建立與系數的對比，簡捷地處理對應的值問題，很大程度上減少代數運算量，優化過程，提升效益.

4 特殊取值，估算取舍

對于一些數學客觀題，借助特殊取值，根據特殊值(數或式)這一基本數學模型的選取與構造，可以用來破解參數值、函數值、代數式等的大小比較，以及不等式的求解與判定等問題，可以大大減少運算量，提升解題效率.

例4(2020年高考數學北京卷第6題)已知函數f(x)=2x-x-1，則不等式f(x)>0的解集是( ).

A.(-1，1) B.(-∞，-1)∪(1，+∞)

C.(0，1) D.(-∞，0)∪(1，+∞)

分析：通過選取特殊值，結合函數值的求解與不等式的比較來處理，估算取舍，一步到位，優化過程，減少運算量，簡單快捷.

故選：D.

點評：借助特殊取值(數或式)的應用，結合排除法加以估算取舍，在解答一些客觀題時，有一定的用武之地，簡單易操作，且很大程度上避開了公式的應用和復雜的運算，減少數學運算，快捷準確.只是相應特殊取值(數或式)的選取有一定的技巧和局限性.

5 合情推理，弱化運算

在破解一些相關的數學問題時，借助合情推理，可以在很大程度上優化代數運算的步驟，簡化數學運算的過程，弱化數學運算，從而有效減少出錯的機會，提升問題的準確率與破解問題的效益.

例5(2020年高考數學全國卷Ⅰ理科第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：根據條件對指數、對數問題進行同底化恒等變形，結合函數的構造以及函數單調性的應用，合情推理，巧妙轉化，進而利用函數的單調性、不等式的基本性質等來確定相關參數的大小關系.

解析：由于2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，構造函數f(x)=2x+log2x，則知函數f(x)在區間(0，+∞)上單調遞增.又因為f(2b)=22b+log2(2b)=22b+log2b+1>22b+log2b=2a+log2a=f(a)，可得a<2b.

故選：B.

點評：合理變形與轉化，合情推理論證，借助函數性質來分析與判斷參數的大小關系.在解答數學問題中，不能只是埋頭苦算，要注意合情推理，增加解答過程的“含理量”，優化過程，減少運算，特別在大小比較以及立體幾何與代數推理等問題中有奇效.

高考數學中對數學運算能力的考查是多角度、多方位、多層面的，尤其重視對數學運算算理的考查，很多高考試題需要根據不同的情況加以靈活處理.因而，平時教學學習與解題過程中，一定要注意數學運算的策略與方法，能避免的代數運算就盡量避免，不能避免的代數運算一定要注意運算的合理性、簡捷性和準確性，這樣才能在高考中優化運算，提升效率，立于不敗之地.