類比法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究

山東省濱州市濱城區(qū)首都師范大學(xué)附屬濱州中學(xué)

代海霞

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“類比似乎在一切發(fā)現(xiàn)中有作用，而且在某些發(fā)現(xiàn)中有它最大的作用.”可見，類比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的一種行之有效的思維方式.事實(shí)上，類比是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的數(shù)學(xué)猜想方法之一，由于類比推理所得的真實(shí)性還是有待考量，需要進(jìn)一步嚴(yán)格論證，不少教師持回避或者忽視的態(tài)度.筆者認(rèn)為，類比可以將已有事物與未知事物很好地建立聯(lián)系，并快速探尋到解決問題的方法，可以看作一種觸類旁通的思維方式.因此教師合理應(yīng)用類比教學(xué)法，不僅可以強(qiáng)化對(duì)一些概念、定理、公式或知識(shí)點(diǎn)的理解，還可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.筆者擬結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談一談自身的一些做法，供大家參考.

1 善用類比法，促進(jìn)知識(shí)系統(tǒng)化

大量教學(xué)實(shí)踐表明，孤立的知識(shí)不易記憶且容易遺忘，而系統(tǒng)化、條理化的知識(shí)便于理解和掌握，更利于遷移與運(yùn)用.同時(shí)，舊知識(shí)是學(xué)生探究和學(xué)習(xí)新知識(shí)的基石，教師善用類比教學(xué)法，可以很好地聯(lián)系新舊知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，展示知識(shí)的獲取過程.這樣，不僅可以有效避免多個(gè)本質(zhì)相似的數(shù)學(xué)知識(shí)散落于學(xué)生的腦海中，還能促進(jìn)知識(shí)的系統(tǒng)化和條理化.因此，以類比法教學(xué)讓學(xué)生比較、分析相似的知識(shí)，可以使知識(shí)脈絡(luò)縱橫聯(lián)系，同時(shí)鍛煉學(xué)生抽象歸納能力.

案例1以“圓錐曲線知識(shí)”的教學(xué)為例.

在高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)具有較強(qiáng)的抽象性，知識(shí)點(diǎn)間獨(dú)立卻又相互聯(lián)系.基于此，類比法教學(xué)在本單元中可以很好地實(shí)施.例如，橢圓與雙曲線互相之間可以找到影子，二者定義相似度極高，僅僅是離心率的范圍不同及“和”與“差”的區(qū)別，從而是類比法教學(xué)的較好素材.因此，教師可進(jìn)行如下點(diǎn)撥：橢圓與雙曲線在定義上有何不同？學(xué)生很快可以類比得出“橢圓的離心率01”.在符號(hào)上又有何不同之處？同樣類比得出“橢圓是平面內(nèi)一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離‘和’，雙曲線則是求‘差’”.這樣教學(xué)，學(xué)生牢牢抓住二者的本質(zhì)區(qū)別進(jìn)行探究，達(dá)到了準(zhǔn)確理解和掌握知識(shí)的目的.更進(jìn)一步地，教師拾級(jí)而上拋出以下問題進(jìn)行鞏固.

顯然，通過對(duì)概念的類比和問題1的解決，不僅鞏固了舊知識(shí)，使兩個(gè)概念更具有識(shí)別度，還能讓學(xué)生學(xué)到系統(tǒng)的新知識(shí)，同時(shí)一些模糊不清的知識(shí)也可以得以澄清.就這樣，鼓勵(lì)學(xué)生利用類比法去分析、去比較、去反思，進(jìn)而揭示知識(shí)間的聯(lián)系，有效梳理每一個(gè)相似的知識(shí)體系，使每個(gè)知識(shí)環(huán)環(huán)相扣，在去偽存真中讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有效.

2 善用類比法，深化概念定義

在一些概念、定義、定理等的教學(xué)中，教師可以有目的地將教材中零散的、具有聯(lián)系性的、易混淆的概念或定義等有機(jī)歸類，合理地利用類比法教學(xué)，揭示知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，使學(xué)生在辨析中加深理解，在對(duì)比中強(qiáng)化記憶，以達(dá)提質(zhì)增效的目的，真正體現(xiàn)新課程理念.當(dāng)然，在具體的教學(xué)實(shí)踐中，用好類比法可以促進(jìn)教學(xué)，反之則會(huì)影響教學(xué)效果，更有甚者會(huì)混淆對(duì)概念或定義的理解.作為教師，在備課時(shí)需要深入研究概念是否具備類比教學(xué)法的必要性，進(jìn)而巧設(shè)類比教學(xué)情境，充分激起學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究欲望，讓學(xué)生愉快地自主學(xué)習(xí)，通過類比、聯(lián)系，深刻理解其本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的意義建構(gòu).

案例2以“平面向量”的單元教學(xué)起始課為例.

問題2甲車以v1=40km/h的速度行駛，乙車以v2=50km/h的速度行駛，2h后兩車相距______.

生1：90km.

生2：10km.

生3：應(yīng)該是不確定.

師：為什么呢？

生3：不僅需要考慮大小，還需要考慮方向.

師：誰還能列舉一些既有大小又有方向的量呢？

生4：位移、速度、力……

師：位移、速度和力各自刻畫的內(nèi)容不同，它們有何共性呢？

生5：既有大小，又有方向.

師：很好.那有沒有一種量，它只有大小，卻沒有方向呢？

生6：有很多，如年齡、身高、面積……

師：從數(shù)學(xué)角度來說，只有大小的量叫做數(shù)量或數(shù).而既有大小又有方向的量則定義為向量.(拋出課題)

師：既然向量是既有大小又有方向的量，那么就需要從數(shù)與形兩個(gè)角度表示向量.

問題3如下表，從表格(如表1)中的三個(gè)角度出發(fā)，該如何表示向量？又是如何想出來的呢？

表1 實(shí)數(shù)與向量對(duì)比表

生7：可以用有向線段來表示，即有起點(diǎn)、有方向、有長度.(教師板書)

師：一般我們用AB或者a來表示線段，那如何表示有向線段呢？(學(xué)生展開討論)

生7：不是，二者表示的向量起點(diǎn)和終點(diǎn)不同.

…………

給出向量概念的同時(shí)回憶數(shù)量的概念，再與線段和線段長度進(jìn)行類比，提供好學(xué)習(xí)的基本線索，使類比物更加清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前，喚醒數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使類比發(fā)生得自然而明確，讓學(xué)生的思維不斷走向深入，進(jìn)而對(duì)向量的概念有清醒的認(rèn)識(shí)，這樣的學(xué)習(xí)效果自然是比較好的.

3 善用類比法，有效規(guī)整錯(cuò)題

問題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必定要學(xué)會(huì)解題.而學(xué)生隨著所學(xué)知識(shí)的增加，學(xué)習(xí)壓力也逐步增大.那么如何回避錯(cuò)誤解題思路的干擾，提高解題能力呢？筆者認(rèn)為，以類比思想為指導(dǎo)歸納整理錯(cuò)題，可以找到數(shù)學(xué)解題的“著力點(diǎn)”，讓學(xué)生自然認(rèn)識(shí)到解題過程中的不足，鍛煉數(shù)學(xué)解題能力.這樣不僅可以幫助學(xué)生很好地攻克數(shù)學(xué)難題，避免出現(xiàn)解題的無頭緒現(xiàn)象，還能提升對(duì)知識(shí)的理解和遷移能力，有效增添數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.

案例3以“橢圓與雙曲線”的習(xí)題練習(xí)為例.

拋物線知識(shí)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)問題，不少學(xué)生在此處易混淆不清，導(dǎo)致考試時(shí)頻頻出錯(cuò).為了改變這樣的現(xiàn)狀，筆者深入研究，整合易出錯(cuò)問題，設(shè)計(jì)出以下問題，讓學(xué)生通過辨析，逐步厘清概念的本質(zhì)屬性，在真正理解新知的基礎(chǔ)上加以靈活應(yīng)用，以達(dá)到一題多練的效果.

重新審視錯(cuò)題的過程就是不斷反思和修正的過程，可以讓學(xué)生客觀地認(rèn)識(shí)到問題，最終實(shí)現(xiàn)自我提升；同時(shí)這一過程對(duì)于今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也具有較好的指導(dǎo)作用，可以讓學(xué)生的認(rèn)知在不斷辨析和反思中走向深入，在不知不覺中提升學(xué)習(xí)效率.

數(shù)學(xué)能力對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性是毋容置疑的，但恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法也是提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的有效保障.總之，作為一種習(xí)得新知的重要方法，類比教學(xué)法對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的作用不言而喻.只不過，需要扎根于課堂的教師基于類比教學(xué)法，為學(xué)生提供具有價(jià)值的學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)知識(shí)系統(tǒng)化、深入化，有效規(guī)整錯(cuò)題，讓學(xué)生的認(rèn)知在類比辨析中逐步深入，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.