學案模式 逐層遞進
——“余弦定理、正弦定理”教學設計

江蘇省海安高級中學

楊 玫

余弦定理、正弦定理是新人教A版普通高中數學必修第二冊第六章“平面向量及其應用”第4節內容，作為平面向量的一大應用，可以與平面幾何、三角函數、平面向量等相關知識交匯、融合，同時也為解決三角形問題提供了基本且重要的工具.

在實際教學過程中，以學案形式，對“余弦定理、正弦定理”部分做了如下對應的教學設計.

1 提前預習

1.1 讀一讀——學習目標

(1)從特殊的直角三角形入手，借助向量運算，探索任意三角形邊長與角度的關系，通過平面向量的應用來分析與推導余弦定理、正弦定理，進而掌握余弦定理與正弦定理，并能利用這兩個定理解決一些簡單的三角形度量問題；

(2)掌握余弦定理、正弦定理的推導，并運用定理解決一些與三角形有關的數學問題.

1.2 看一看——重點難點

重點：

(1)理解并掌握平面向量法推導余弦定理的過程，理解并掌握余弦定理及其相關應用；

(2)理解并掌握平面向量法推導正弦定理的過程，理解并掌握正弦定理及其相關應用.

難點：

(1)理解與掌握余弦定理的推導過程與相關應用；

(2)理解與掌握正弦定理的推導過程與相關應用.

1.3 填一填——基礎知識

1.3.1 余弦定理

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=______，b2=______，c2=______.

1.3.2 正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即______=______=______=______.

正弦定理揭示任意三角形中各邊與對應角的內在的數量關系，即任意三角形中三條邊與對應角的正弦的比值之間的關系式，它是三角形中最基本的數量關系式.

2 課堂教學

2.1 探一探——定理推導

(1)余弦定理的推導(課本第42頁對應部分).

(2)正弦定理的推導(課本第46頁對應部分).

此處借助平面向量的應用，結合教師的分析與講解，通過PPT加以展示證明過程.同時，適當引導學生根據所學的知識，探究證明余弦定理與正弦定理的其他方法與應用.教師可以根據班級學生的不同情況加以適當安排.

2.2 學一學——方法講解

(1)余弦定理是勾股定理的推廣.當a2+b2=c2時，∠C=90°；當a2+b2>c2時，∠C<90°；當a2+b290°.常常用它來判斷△ABC的形狀.

(2)利用余弦定理可以解決兩類斜三角形問題：

①已知三角形的三邊求各對應的內角；

②已知三角形的兩邊和這兩邊的夾角，求第三邊和其它兩個角.

由三角形全等的判定定理知，以上兩類斜三角形都是確定的，所以對應問題的解也是唯一的.

(3)正弦定理的變形形式：

②a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；

④a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；

⑤asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA.

利用上述不同形式可進行三角形的邊、角及外接圓半徑之間的互化.

(4)正弦定理主要用來解決兩類常見問題：

①已知三角形的兩角與一邊，解三角形；

②已知三角形的兩邊與其中一邊的對角.

特別注意，利用正弦定理解決有關“已知兩邊與其中一邊的對角”的斜三角形問題時，要對三角形解的不同情況進行分類討論：有兩解，有一解，無解.具體情況如下：

當A為銳角時，如圖1.

圖1

當A為鈍角時，如圖2.

圖2

(5)余弦定理和正弦定理的區別與聯系：

①區別：余弦定理主要是三角形的其中一個內角的余弦值與三條邊的關系，而正弦定理主要借助邊的比和對應角正弦值的比互化來建立關系.

②聯系：它們之間可以互推.

通過平面向量法來推導余弦定理與正弦定理時，利用余弦定理可以證明正弦定理，同樣利用正弦定理也可以證明余弦定理.而破解相關的“已知兩邊與其中一邊的對角”的斜三角形問題，一般通過正弦定理來解決，也可以借助余弦定理建立方程來巧妙解決.

(6)注意分類討論：利用正弦定理解決相關的“已知兩邊與其中一邊的對角”的斜三角形問題時，要通過分類討論來處理，同時利用平面幾何作圖直觀分析或“三角形中，大邊對大角”等來合理推理.

注意隱含條件：利用余弦定理或正弦定理解決任意三角形問題時，要注意三角形自身隱含的條件，這里包含三角形的內角和定理及隱含的A，B，C均為正角等.

2.3 講一講——典例剖析

基本題型1：余弦定理的應用.

分析：已知三角形的三邊，可以利用余弦定理的變形公式解決.注意求解過程中，充分利用三角形內角和定理加以簡化運算.

解析：由余弦定理，得

因為0°

又由余弦定理,得

因為0°

由A+B+C=180°，可得C=180°-45°-30°=105°.

利用余弦定理求解有關三角形的內角問題時，往往會用到余弦定理的變形形式.其實，余弦定理的每一個等式都包含三角形六要素中的四個不同的量，它們分別是三角形的三條邊和一個角.在余弦定理的每一個等式中，已知三個量便可求出第四個量.

基本題型2：正弦定理的應用.

分析：已知三角形的任意兩角與一邊，求解其他兩邊和另一角時，一般先由三角形的內角和定理，計算出三角形的另一角，再由正弦定理來計算出另外兩邊.

解析：由A+B+C=180°，可得C=180°-105°-45°=30°.

3 課堂練習

3.1 練一練——隨堂演練

(5)若三角形三邊長的比為5∶7∶8，則它的最大角和最小角的和是______.(答案：120°.)

(6)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB，求角C的大小.(答案：60°.)

(8)已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2b=a+c，且2cos 2B-8cosB+5=0，求角B的大小，并判斷△ABC的形狀.(答案：B=60°；等邊三角形.)

4 設計意圖

通過以上課前預習、課堂教學、課堂練習的設計，以學案的形式展示余弦定理、正弦定理的推導過程、方法講解、典例剖析，并通過隨堂演練加以鞏固.在實際教學過程中，學案式的教學設計也是一種基本教學設計形式，對學生知識的理解與掌握大有益處.