源于課本 滲透素養
——2021年武漢中考數學第21題評析

武前煒

(安徽省合肥一六八陶沖湖中學 230601)

作為學科知識的重要載體，教材的重要作用和基礎地位不容置疑.在教學過程中，教師要正確使用教材，更要創造性地使用教材，在課本的基礎上適時、適當、適度地進行延伸與發散，重視課本的本源性.中考試卷中一些關鍵位置的題目具有較強的思維發散性，決定著整張試卷的區分度，但是發散的“源頭”往往來自課本，課本習題承擔著幫助學生理解和掌握數學基本知識、形成和發展數學基本技能的重要功能，特別是一些經典例題、習題是十分有價值的教學資源，也是很多中考題源的根.重視經典習題的探究學習、改編，能很好地幫助學生整合知識、探索規律、形成方法、獲得經驗，從而發展思維，提升素養，達到“做一題、會一類、通一片”的高效追求.

1 題目呈現

圖1

本題為2021年湖北省武漢市中考數學第21題.

2 追根溯源

本題以滬科版數學九年級下冊第24章《圓》第69頁第14題題干為基礎，挖掘幾何關系，可謂“根”在課本.

圖2

(課本原題)已知：如圖2，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD與過點C的切線垂直，垂足為D.求證：AC平分∠DAB.

題目蘊含豐富的幾何關系，比如圓周角定理、切線性質、垂徑定理、角平分線性質、弦切角定理、三角形相似、圓內接四邊形等，這些內容對鍛煉學生的識圖能力、辨析能力、推理能力以及轉化意識都有重要的作用.正如葉圣陶所說：“教材只是個例子.”作為教師在教學中要依托課本習題，從不同的角度、不同的層面、不同的條件進行拓展研究，挖掘問題本質，幫助學生學會學習，強化知識理解與應用，發揮習題最大功效，從而幫助學生跳出“題海”.

3 解法探究

圖3

圖4

如圖4，延長AB,EC交于點H.因為∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+∠BDC,∠ACH=∠OCH+∠ACO=90°+∠ACO,而∠ACO=∠OAC=∠BDC,于是∠ADC=∠ACH,所以△ADC∽△ACH，則AC2=AD·AH，解得AH=6.

4 解后反思

設EC=a,ED=b，則a2=b·(b+1).

這里在由比值推導三角函數值時，過程是可逆的，于是題目也可以改編為逆向考查：給出

圖5

(2021年四川自貢卷)如圖5，點D在以AB為直徑的⊙O上，過D作⊙O的切線交AB延長線于點C，AE⊥CD于點E，交⊙O于點F，連結AD,FD．

(1)求證：∠DAE=∠DAC；

(2)求證：DF·AC=AD·DC；

圖6

具體解法留給讀者探索，這里從略.

5 教學啟示

雙減背景下，切實減輕學生負擔要從教師“增壓”開始，教材是教師教學和學生學習的“根”，教材中的習題是編寫者精心設計的，值得教師深入研讀、研究.我們注意到，很多中考題都是課本經典習題的改編和重組，也就是從課本的“根”生長出來的.用好教材、挖掘教材是教師專業基本功的重要體現，依托課本素材進行深入研究、變化，通過問題不同角度思考及變式訓練培育學生核心素養.因此，要注重典型例題和習題延拓與發散，發展學生的思維、落實核心素養，積累活動經驗，從而提高教學效率！