一類線性函數方程Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)的求解補注*

石勇國 宋西泠 羅小宇

(內江師范學院數學與信息科學學院 641100) (四川省資中縣球溪高級中學 641208) (內江師范學院數學與信息科學學院 641100)

在各類高中數學競賽中，常見的一類線性函數方程形如：

Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)，

(1)

其中A,B為給定實數，f是未知函數，g為已知函數，φ是迭代周期為n的函數，這里的迭代周期是指存在最小的正整數n，使得φ自身復合n次等于本身，即對于在定義域內任意的x，有

φm(x)≠x(m=1,2,…,n-1)，φn(x)=x.

本文重點探討線性函數方程(1)在奇異情形A2-B2=0下的求解方法，并且給出實例，完整討論了迭代周期為2的線性函數方程(1)的所有解.

1 非奇異情形下的解

那么，對于更一般的函數方程(1)，是否存在f(x)的求解公式？下面，就求解線性函數方程的方法展開說明.

定理1假設A2-B2≠0，φ是迭代周期為2的函數，則方程(1)的解為

(2)

證由φ2(x)=φ(φ(x))=x，以φ(x)代換x，代入Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)，即

Af(φ(x))+Bf(x)=g(φ(x)).

與方程(1)聯立并化簡得

A2f(x)-B2f(x)=Ag(x)-Bg(φ(x)).

由于A2-B2≠0，因此

在定理1中，若φ(x)是一個迭代周期為2的分式線性函數，則φ必定具有如下形式

證明從略，詳見文[5]和文[7].于是，方程(2)可以改寫為

一般地，當φ(x)為一個迭代周期為n的函數，且An+(-1)n-1Bn≠0時，歸納可得

求解方法詳見文[4].

以上所有求解方法都基于非奇異的必要條件A2-B2≠0.然而，在奇異情形A2-B2=0下，以上定理都不再適用.那么，又如何求奇異情形下方程(1)的解呢？

2 奇異情形下的解

在方程(1)中，當A2-B2=0時，不妨假設A=B=1，或A=1且B=-1，并考慮最簡單情形g(x)=0時方程(1)的解.

引理1設φ(x)是迭代周期為2的函數，A=B=1，則線性函數方程f(x)+f(φ(x))=0的解形如f(x)=h(x)-h(φ(x))，其中h為任意函數.

f(x)=h(x)-h(φ(x)).

引理2設φ(x)是迭代周期為2的函數，A=1且B=-1，則線性函數方程f(x)-f(φ(x))=0的解形如f(x)=h(x)+h(φ(x))，h為任意函數.

f(x)=h(x)+h(φ(x)).

進一步地，討論g(x)≠0時，方程(1)有解的必要條件，以及求解方法.

證明用φ(x)代換x，得到新方程f(φ(x))+f(x)=g(φ(x))，而由原式f(x)+f(φ(x))=g(x)，故g(x)=g(φ(x)).

證明用φ(x)代換x，得到新方程f(φ(x))-f(x)=g(φ(x))，又由原式f(x)-f(φ(x))=g(φ(x))，則g(x)=-g(x).

證明因為f(x)=g(x)-f(φ(x))，則有2f(x)=f(x)+f(x)=f(x)+g(x)-f(φ(x))，即

類似地，可以證明：

證明因為f(x)=g(x)+f(φ(x))，則有2f(x)=f(x)+f(x)=f(x)+g(x)+f(φ(x))，即

再由定理2，方程的一般解形如：

3 總結

本文針對一類線性函數方程Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)，其中φ(x)是迭代周期為2的函數，提供了通用的求解方法，補充探討了這類線性函數方程在奇異情形A2-B2=0時解的性質以及求解的方法，并設計了實際例子以作參考.類似本文方法，可以繼續研究φ(x)的迭代周期為3，4，5，…，n時該線性函數方程的解.