一道2022年數(shù)學競賽題的多種解法與命題背景探究

虞哲駿 沈珂娜

(浙江省寧波市慈溪中學 315300) (浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學 315200)

一個好的數(shù)學問題常常能激發(fā)學生的學習熱情和探究欲望，引導數(shù)學探究活動有序進行．而一道好的數(shù)學題應具備“容易接受、一題多解、蘊含了重要的數(shù)學思想、不故意設陷阱、可推廣和一般化”這五個特點．2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川省預賽第6題就是一道這樣的好題．

1 原題呈現(xiàn)

(2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川省預賽第6題)若△

ABC

的三邊

a

,

b

,

c

滿足

a

+

b

+3

c

=7，則△

ABC

面積的最大值為

．

2 解法探究

簡析1 由余弦定理及面積公式構建關系．

解法1

(余弦定理結合面積公式) 由題意可得所以設△

ABC

的面積為

S

，則當且僅當時等號成立，所以

說明

此解法也可以由秦九韶公式直接得到．

簡析2 由中線長公式及面積公式構建關系．

圖1

解法2

(中線長公式) 設△

ABC

的面積為

S

，

AB

的中點為

M

(圖1)．由中線長公式得所以于是當且僅當時等號成立．

簡析3 通過余弦定理的數(shù)量積形式構建關系．

圖2

解法3

(數(shù)量積結合坐標運算) 由

a

+

b

+3

c

=7得即以

AB

中點

M

為原點，建立平面直角坐標系(圖2)．設

C

(

x

,

y

)，△

ABC

的面積為

S

，則化簡得故所以當且僅當時等號成立．

解法4

考慮邊的二次結構與面積的關系，聯(lián)想到三角形嵌入不等式：若三角形的三邊為

a

,

b

,

c

，面積為

S

，

x

,

y

,

z

為給定的正實數(shù)，則有

xa

當且僅當

x

∶

y

∶

z

=(

b

+

c

-

a

)∶(

c

+

a

-

b

)∶(

a

+

b

-

c

)時取等號．所以

3 命題背景

筆者翻閱了相關資料，發(fā)現(xiàn)與本題類似的問題最早來源于第三屆IMO的第2題：若

a

,

b

,

c

為△

ABC

的三邊，

S

為△

ABC

的面積，則當且僅當△

ABC

為正三角形時等號成立(外森比克(Weizenbock)不等式)．更一般的外森比克不等式的形式為：若

a

,

b

,

c

為△

ABC

的三邊，

S

為△

ABC

的面積，

x

>0,

y

>0,

z

>0，則當且僅當即時等號成立．

證明

(利用均值不等式)(利用柯西不等式)=

根據(jù)這個結論，我們可以快速地得到

當然，我們也可以利用待定系數(shù)法去尋找等號成立的條件：

7=

a

+

b

+3

c

=

a

+

b

+3(

a

+

b

-2

ab

cos

C

)=4

a

+4

b

-6

ab

cos

C

≥8

ab

-6

ab

cos

C

C

≥8

abx

sin

C

+8

aby

cos

C

-6

ab

cos

C

=8

abx

sin

C

+(8

y

-6)

ab

cos

C

．令則7≥故當且僅當即時等號成立．

4 結論推廣

外森比克不等式的加強：

推廣1 若

a

,

b

,

c

為△

ABC

的三邊，

S

為△

ABC

的面積，則當且僅當△

ABC

為正三角形時等號成立．

證明

易得，只需證明由琴生不等式知函數(shù)

f

(

x

)=sin

x

在(0,π)上為凸函數(shù)，所以所以有故成立．

進一步，我們考慮加權的形式，有：

推廣2 已知

x

,

y

,

z

>0，若

a

,

b

,

c

為△

ABC

的三邊，

S

為△

ABC

的面積，則當且僅當

x

=

y

=

z

且△

ABC

為正三角形時等號成立．

證明

(1)由外森比克不等式有

≥

由柯西不等式得

[

x

(

y

+

z

)sin

C

+

y

(

z

+

x

)sin

A

+

z

(

x

+

y

)· sin

B

]≥(

x

+

y

+

z

)，

所以只需證明

再由柯西不等式得

[

x

(

y

+

z

)sin

C

+

y

(

z

+

x

)sin

A

+

z

(

x

+

y

)sin

B

]≤[

x

(

y

+

z

)+

y

(

z

+

x

)+

z

(

x

+

y

)](sin

C

+sin

A

+sin

B

)．而sin

C

+sin

A

+sin

B

=(1-cos(2-cos 2

B

-cos 2

C

)=2-cos

A

-cos(

B

+

C

)cos(

B

-

C

)≤2-cos

A

+|cos所以只需證明4(

x

+

y

+

z

)≥27[

x

(

y

+

z

)+

y

(

z

+

x

)+

z

(

x

+

y

)]．而4(

x

+

y

+

z

)-27[

x

(

y

+

z

)+

y

(

z

+

x

)+

z

(

x

+

y

)]=∑(

y

-

z

)(3

x

+2

y

+2

z

+20

yz

)≥0，當且僅當

x

=

y

=

z

時等號成立．所以原命題成立．推廣3 已知

x

,

y

,

z

>0，平面上四個點

O

,

A

,

B

,

C

，

S

為△

ABC

的面積，則

證明

過

O

作

OD

⊥

BC

于

D

，設

BD

=

m

，

CD

=

n

，

OD

=

d

，則

當然，我們也可以從冪次上進行推廣：

推廣4 若

a

,

b

,

c

為△

ABC

的三邊，

S

為△

ABC

的面積，

m

≥1，則

a

2+

b

2+

c

2≥

證明

由權方和不等式，得

再考慮推廣4的加權形式：

推廣5 若

a

,

b

,

c

為△

ABC

的三邊，

S

為△

ABC

的面積，

x

,

y

,

z

>0，

m

≥1，則

xa

2+當且僅當

x

=

y

=

z

且△

ABC

為正三角形時等號成立．

證明

由柯西不等式，得(

xa

2+

yb

2+

zc

2)(

x

+

y

+

z

)-1=(

xa

+

yb

+

zc

)當且僅當

x

=

y

=

z

且△

ABC

為正三角形時等號成立，從而原不等式成立．

5 結語

在三角形中，我們往往可以借助正弦定理、余弦定理和面積公式結合基本不等式等工具，使解三角形的變化更加靈活．本文對此類邊的二次型結構與面積有關的最值問題進行了深入的剖析，并作了一定的推廣，顯然，根據(jù)推廣的形式，我們還可以編擬許多習題或考題，來訓練或考查學生的數(shù)學思維能力．