源于課本 滲透素養
——2021年武漢中考數學第21題評析

武前煒

(安徽省合肥一六八陶沖湖中學 230601)

作為學科知識的重要載體，教材的重要作用和基礎地位不容置疑

.

在教學過程中，教師要正確使用教材，更要創造性地使用教材，在課本的基礎上適時、適當、適度地進行延伸與發散，重視課本的本源性

.

中考試卷中一些關鍵位置的題目具有較強的思維發散性，決定著整張試卷的區分度，但是發散的“源頭”往往來自課本，課本習題承擔著幫助學生理解和掌握數學基本知識、形成和發展數學基本技能的重要功能，特別是一些經典例題、習題是十分有價值的教學資源，也是很多中考題源的根

.

重視經典習題的探究學習、改編，能很好地幫助學生整合知識、探索規律、形成方法、獲得經驗，從而發展思維，提升素養，達到“做一題、會一類、通一片”的高效追求

.

1 題目呈現

如圖1，

AB

是⊙

O

的直徑，

C

,

D

是⊙

O

上兩點，點

C

是的中點，過點

C

作

AD

的垂線

.

圖1

(1)求證：

CE

是⊙

O

的切線；(2)若求cos∠

ABD

的值．本題為2021年湖北省武漢市中考數學第21題

.

2 追根溯源

本題以滬科版數學九年級下冊第24章《圓》第69頁第14題題干為基礎，挖掘幾何關系，可謂“根”在課本

.

圖2

(課本原題)已知：如圖2，

AB

為⊙

O

的直徑，點

C

在⊙

O

上，

AD

與過點

C

的切線垂直，垂足為

D.

求證：

AC

平分∠

DAB.

題目蘊含豐富的幾何關系，比如圓周角定理、切線性質、垂徑定理、角平分線性質、弦切角定理、三角形相似、圓內接四邊形等，這些內容對鍛煉學生的識圖能力、辨析能力、推理能力以及轉化意識都有重要的作用

.

正如葉圣陶所說：“教材只是個例子

.

”作為教師在教學中要依托課本習題，從不同的角度、不同的層面、不同的條件進行拓展研究，挖掘問題本質，幫助學生學會學習，強化知識理解與應用，發揮習題最大功效，從而幫助學生跳出“題海”

.

3 解法探究

圖3

分析 (1)如圖3，連結

OC

交

BD

于點

G.

由

C

是的中點，可得

OC

⊥

BD

，且點

G

為

BD

中點

.

從而可得

OC

∥

AE

，于是

OC

⊥

EC

，即

CE

是⊙

O

的切線

.

(2)連結

BC

,由

C

是的中點，所以

CD

=

BC.

因為不妨設從而

解法1

(射影定理) 設

FG

=

a

，于是

BG

=

DG

=

a

+1

.

因為

AB

是⊙

O

的直徑，于是∠

BCF

=90°

.

在Rt△

BCF

中，

BC

=

BG

·

BF

，即解得

a

=1(負值舍去)

.

于是可證△

ADF

≌△

CGF

(AAS)，從而

AD

=

CG.

由點

O

,

G

分別為

AB

,

BD

的中點，可知即在Rt△

BOG

中，可知

解法2

(相似) 因為點

C

是的中點，根據圓周角定理可得∠

DAC

=∠

CDF

,于是△

CDF

∽△

CAD

，于是不妨設

圖4

如圖4，延長

AB

,

EC

交于點

H.

因為∠

ADC

=∠

ADB

+∠

BDC

=90°+∠

BDC

,∠

ACH

=∠

OCH

+∠

ACO

=90°+∠

ACO

,而∠

ACO

=∠

OAC

=∠

BDC

,于是∠

ADC

=∠

ACH

,所以△

ADC

∽△

ACH

，則

AC

=

AD

·

AH

，解得

AH

=6

.

設⊙

O

半徑為

r

，則

OA

=

OB

=

OC

=

r

，由△

ADB

∽△

OCH

,可得即解得(負值舍去)

.

在Rt△

ABD

中，可知

解法3

(相似+勾股定理) 由

BD

∥

EC

，可知∠

ECD

=∠

CDB

,而點

C

是的中點，于是可得∠

ECD

=∠

EAC

，從而△

ECD

∽△

EAC

，于是

EC

=

ED

·

EA.

設

EC

=

a

,

ED

=

b

，則

a

=

b

·(

b

+1)

.

由解法2知不妨設

AD

=1，在Rt△

ACE

中，由勾股定理得

AC

=

AE

+

EC

,即解得于是

CG

=

ED

=1

.

由點

O

,

G

分別為

AB

,

BD

的中點，可知即在Rt△

BOG

中，可知

4 解后反思

本題源自一道有價值的課本習題

.

圖形中蘊含豐富的內涵，如“題目中的三個論斷：①

CE

⊥

AD

；②

CE

是⊙

O

切線；③點

C

是的中點，可知二推一”、根據圓的性質導出等角產生很多相似結構、四邊形

ABCD

為對角互補且鄰邊

BC

=

CD

具有旋轉結構、

AC

平分∠

DAB

具有對稱結構

.

通過圖形結構剖析，對培養學生思維的發散性和靈活性十分有益

.

備考階段，選取有價值的素材，展開全面研究，引導學生研究試題的“內涵”、解法、變式以及推廣，構建知識鏈條，形成知識體系，落實核心素養

.

本題求解中條件在使用中可以根據需要利用等線段或者相似比靈活轉化，而問題求解的余弦值實質上也是比值關系，為了簡化運算假設這里條件的比值為什么是？能不能換成別的比值？

不妨設于是可得不妨設

AC

=

λ

,

AD

=1

.

設

EC

=

a

,

ED

=

b

，則

a

=

b

·(

b

+1)

.

在Rt△

ACE

中，由勾股定理得

AC

=

AE

+

EC

,即

λ

=(

b

+1)+

a

，整理可得2

b

+3

b

+1-

λ

=0，解得(負值舍去)

.

于是即

在Rt△

ABD

中，

若可知

若可知(即為本題結果)，

若可知

若可知

以上得出的值與sin∠

ABD

的一般關系，命題者命制該題時給出特殊比值使得sin∠

ABD

便于計算

.

這里在由比值推導三角函數值時，過程是可逆的，于是題目也可以改編為逆向考查：給出

sin∠

ABD

的值，求解的值

.

巧合的是，2021年四川自貢市中考數學第25題就是這樣的命題思路

.

圖5

(2021年四川自貢卷)如圖5，點

D

在以

AB

為直徑的⊙

O

上，過

D

作⊙

O

的切線交

AB

延長線于點

C

，

AE

⊥

CD

于點

E

，交⊙

O

于點

F

，連結

AD

,

FD

．(1)求證：∠

DAE

=∠

DAC

；(2)求證：

DF

·

AC

=

AD

·

DC

；(3)若求

EF

的長．

圖6

簡析

(3)如圖6，連結

BF

，可知

BF

∥

CE

，于是∠

ABF

=∠

C

，則sin∠

ABF

由上述推廣可知,于是由可知

AF

=4

.

從而可得從而

EF

=

DG

=

OD

-

OG

=6

.

具體解法留給讀者探索，這里從略

.

5 教學啟示

雙減背景下，切實減輕學生負擔要從教師“增壓”開始，教材是教師教學和學生學習的“根”，教材中的習題是編寫者精心設計的，值得教師深入研讀、研究

.

我們注意到，很多中考題都是課本經典習題的改編和重組，也就是從課本的“根”生長出來的

.

用好教材、挖掘教材是教師專業基本功的重要體現，依托課本素材進行深入研究、變化，通過問題不同角度思考及變式訓練培育學生核心素養

.

因此，要注重典型例題和習題延拓與發散，發展學生的思維、落實核心素養，積累活動經驗，從而提高教學效率！