促進學生理解的“生長式問題串”設(shè)計策略
——以“二次函數(shù)背景下的最值問題”專題復(fù)習課為例

彭文斌

(四川省成都七中八一學校 610036)

蘇聯(lián)著名教育家贊可夫曾說：“教會學生思考，這對學生來說，是一生中最有價值的本錢．”數(shù)學教學的本質(zhì)是教學生學會思考，其核心是發(fā)展學生的思維能力，數(shù)學課堂要致力于讓學生思維真正發(fā)生．要到達這樣的目的，教師在教學中要設(shè)計富有情境的、有思考價值的問題，在層層遞進的生長式問題串驅(qū)動下，引領(lǐng)學生開展深度學習與深度思考，在這樣的狀態(tài)下獲得的知識是自然生長的、是終身的．

因此，在數(shù)學課堂中，教師要善于構(gòu)建具有生長樣態(tài)的問題串，讓學生體驗數(shù)學發(fā)展的歷程，把握數(shù)學知識的本源，感受數(shù)學獨特的思維方式，在知識形成和解決問題的過程中，促進理解、融會貫通、靈活遷移，從而獲得智慧、提升數(shù)學素養(yǎng)．下面以“二次函數(shù)背景下的最值問題”專題復(fù)習課的教學設(shè)計為例，談?wù)勔I(lǐng)學生思維生長、促進學生理解的生長式問題串的設(shè)計策略．

1 確立核心問題，找準問題起點

“二次函數(shù)背景下的最值問題”這節(jié)專題復(fù)習課的核心問題是在二次函數(shù)背景下，動點引發(fā)的有關(guān)線段或面積最值問題的探究．在核心問題大背景下，努力找到探尋的起點，讓學生比較容易入手．故此，設(shè)置本節(jié)課第一個基礎(chǔ)的起點問題：

問題1

拋物線

y

=-

x

-2

x

+3位于

x

軸上方的圖象上有一動點

P

，點

P

距離

x

軸最遠時點

P

的位置在哪里？

圖1

這樣的問題讓學生很容易入手，發(fā)現(xiàn)距離

x

軸最遠的點是拋物線的頂點(圖1)．問題1起點低，符合學生的已有知識基礎(chǔ)，這個問題成了后續(xù)所有問題的起點，我們就可以設(shè)置該問題的一系列變式問題．

2 明確生長點位，構(gòu)建關(guān)聯(lián)變式

英國科學哲學家波普爾也曾說過：“科學和知識的增長永遠始于問題，終于問題——越來越深化的問題，越來越能啟發(fā)新問題的問題．”在問題1的啟發(fā)下我們尋找關(guān)聯(lián)性極強的變式問題，探尋起點問題下的問題生長．因此，設(shè)計第二個引發(fā)深度思考的問題：

圖2

問題2

已知拋物線

y

=-

x

-2

x

+3與

x

軸交于點

A

,

C

，與

y

軸交于點

B

，點

D

(0,1)，點

P

是位于第二象限拋物線上的動點，過點

P

作

PH

⊥

x

軸交線段

CD

于

H

，當

PH

取得最大值時，點

P

還是拋物線的頂點嗎(圖2)？問題2與問題1關(guān)聯(lián)性極強，直線

CD

可以看作是將

x

軸繞著點

C

旋轉(zhuǎn)得到，但卻不能直接回答使得

PH

最大時點

P

是否還是拋物線頂點．從而引發(fā)學生深度思考與深入探究．問題2可以看作是由問題1生長出來的新問題，其解決方法和策略需要學生更加理性地思考，嚴格論證．在師生的合作交流中得到問題的解決：設(shè)點

P

(

m

,-

m

-2

m

+3)，易求得

CD

的表達式為故點

H

的坐標為故當時，

PH

取得最大值．通過嚴格論證，學生發(fā)現(xiàn)當

PH

取得最大值時，點

P

并不是拋物線頂點．這種構(gòu)建函數(shù)模型求線段最值的方法，讓學生進一步理解了問題2與問題1的關(guān)系——其核心都是求函數(shù)的最值．進一步思考，問題2并不是求拋物線上動點

P

到直線

CD

距離的最大值，從而繼續(xù)生長出了下面的問題：

問題3

已知拋物線

y

=-

x

-2

x

+3與

x

軸交于點

A

,

C

，與

y

軸交于點

B

，點

D

(0,1)，

P

是第二象限拋物線上的動點，當點

P

距離直線

CD

最遠時，求點

P

坐標(圖3)．

圖3

問題3的提出是問題2的進一步探究，但學生想再直接建立點

P

到

CD

的距離

PG

的函數(shù)模型就更加困難了

.

解決這個問題讓學生進入深度思考，繼而想到平移直線

CD

與拋物線相切于第二象限，切點即為點

P

的位置．這一數(shù)形結(jié)合的方法自然而然地產(chǎn)生了．求切線和切點的方法背后的數(shù)形結(jié)合思想與方程思想可以讓學生徹底領(lǐng)悟數(shù)學之美．對于這些方法的普適性更應(yīng)在教學中去滲透．問題3還可以如何生長？其實解答完問題3之后學生就會發(fā)現(xiàn)，問題3和問題2中的點

P

是同一點．由此生長出下一個問題：

問題4

問題3中點

P

的位置與問題2中點

P

的位置是否相同？為什么？

圖4

問題4的提出讓學生尋求前兩個問題的關(guān)聯(lián)，從而對問題有更深入的認識：

PG

=

PH

cos∠

HPG

(∠

HPG

為定角，等于∠

DCO

)，將求

PG

的最大值轉(zhuǎn)化為求

PH

的最大值(圖4)．由此讓學生體悟數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，感悟數(shù)學的統(tǒng)一美．

3 遵循自然有道，把握生長方向

“最近發(fā)展區(qū)”理論告訴我們，學生認知的最大特性是“生長性”

.

如何讓學生在問題情境中自然而有力地獲得知識的生長，得到思維提升，享受數(shù)學學習的樂趣，體驗數(shù)學特有的魅力，激發(fā)自由創(chuàng)造的潛能，滋養(yǎng)數(shù)學內(nèi)在的理性精神，需要教師的精鋪巧設(shè)與智慧引領(lǐng)．

在完成了問題2～4的探究之后，問題還有哪些值得挖掘、變式的地方應(yīng)該往哪個方向去研究，需要教師精心設(shè)計問題變式．可考慮往三角形面積最值方面去變式，設(shè)計中提供以下三個問題，為后續(xù)研究提供參考：

問題5

已知拋物線

y

=-

x

-2

x

+3與

x

軸交于點

A

,

C

，與

y

軸交于點

B

，點

D

(0,1)，

P

是第二象限拋物線上的動點，

PG

⊥

CD

，

PH

⊥

x

軸，當

PG

與

PH

取得最大時，△

PHG

的周長是否最大？此時△

PHG

的面積是否最大(圖4)？

圖5

問題6

已知拋物線

y

= -

x

-2

x

+3與

x

軸交于點

A

,

C

，與

y

軸交于點

B

，點

D

(0,1)，

P

是第二象限拋物線上的動點，求△

PCD

面積的最大值，并求此時點

P

的坐標(圖5)．

問題7

△

PCD

面積取得最大值時，與問題2、問題3有沒有本質(zhì)的區(qū)別？

問題5是問題4的延續(xù)，關(guān)聯(lián)性強，探究顯得自然流暢；問題6是問題5的進一步變式，將線段最值問題變式為與動點相關(guān)的三角形面積最值問題．前面問題的鋪墊，讓問題5～6的探究迎刃而解，一切的探究活動的開展都顯得自然有道．對其中的方法、思想、內(nèi)涵，學生在回答完問題7后得到了認識上的升華，大大促進了學生對數(shù)學思想方法的理解和對問題本質(zhì)的認識．

4 構(gòu)建階梯變式，引領(lǐng)深度學習

問題情境設(shè)計注重層次性、遞進性、階梯性等基本原則，這同樣符合最近發(fā)展區(qū)理論．教師始終有意識地挖掘?qū)W生的認知需要與已有水平之間的矛盾，不斷地培養(yǎng)和激發(fā)學生的求知欲望，讓其始終處于“憤悱”狀態(tài)中．在探究完前七個關(guān)聯(lián)性很強的問題之后，課堂探究活動應(yīng)該步入深層次學習．因此，考慮設(shè)計具有一定挑戰(zhàn)性的問題：

圖6

問題8

已知拋物線

y

= -

x

-2

x

+3與

x

軸交于點

A

,

C

，與

y

軸交于點

B

，點

D

(0,1)，

P

是第二象限拋物線上的動點，

OP

與線段

CD

相交于點

E

，求的最大值(圖6)．問題8變?yōu)榱饲蟮淖畲笾担枰孟嗨妻D(zhuǎn)化，具有一定挑戰(zhàn)性．師生充分交流，得出解決方案：過點

P

作

PH

⊥

x

軸交

CD

于

H

，易知△

PEH

∽△

OED

，故又因為

OD

=1，所以求的最大值即為求

PH

的最大值，于是問題轉(zhuǎn)化為問題2．

從問題1至問題8，始終遵循了問題變式的層次性和階梯性，遵循了問題發(fā)生的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，符合學生已有認知能力，滿足了學生求知的需求，引領(lǐng)著學生逐步進入深度思考、深度學習．在問題8探究結(jié)束后，設(shè)置了一個與此節(jié)課相關(guān)性極強的問題9(2020年成都中考試題)：

圖7

問題9

如圖7，在平面直角坐標系中，已知拋物線

y

=

ax

+

bx

+

c

與

x

軸交于

A

(-1,0),

B

(4,0)兩點，與

y

軸交于點

C

(0,-2)．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點

D

為第四象限拋物線上的一點，連結(jié)

AD

,

BC

交于點

E

，連結(jié)

BD

，記△

BDE

的面積為

S

，△

ABE

的面積為

S

，求的最大值．

問題9是本節(jié)課所學方法的應(yīng)用，更是對內(nèi)容理解的升華．這一成都中考題的解答，讓學生感知復(fù)雜題目的產(chǎn)生就是立足于基本方法、基本技巧．將面積之比的最大值問題轉(zhuǎn)化為的最大值問題，從而回到了與問題8類似的問題．通過對問題9的交流分享，及時反饋學生對本節(jié)課知識方法的理解與掌握，學生真正進入了深度學習．隨著一個個生長性問題的提出和解決，在探究過程中學生思維得到了培養(yǎng)，能力得到了提升．課堂最后可以試著讓學生提出一個二次函數(shù)背景下的最值問題，并嘗試解答．

美國教育心理學家加涅曾指出“教學設(shè)計必須以幫助學習過程而不是教學過程為目的．”讓“生成式問題串”引領(lǐng)、驅(qū)動課堂教學，只是教師優(yōu)化教學設(shè)計的一種重要方式和途徑．在建構(gòu)主義理論指引下，在生成性視野中，教學的過程是研究、傾聽、對話的過程．因此，在重視問題串設(shè)計的同時還要讓課堂教學實施走向民主化、開放化，重視對學生學習的關(guān)注、對過程的關(guān)注，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力．