二維變分模態分解在軸承檢修中的應用

張惠麗，李嘉楠，石煒，黃迎久

(1.包頭職業技術學院電氣工程系，內蒙古包頭 014010；2.內蒙古科技大學機械工程學院，內蒙古包頭 014010；3.內蒙古科技大學工程訓練中心，內蒙古包頭 014010)

0 前言

列車軸承是保障運輸安全的重要部件,軸承故障是威脅列車安全的重要因素之一，為此鐵路部門一直對軸承故障的檢修十分重視。如圖1所示，鐵路部門主要通過眼、手和經驗判別軸承表面的缺陷程度和缺陷類型，檢測結果過于依賴檢修人員的經驗和責任感，結果并不精確，而且檢測結果無法量化，檢測數據不能存儲和上傳，導致檢測信息無法利用。軸承內表面的缺陷信息是判斷軸承好壞的重要依據。獲得高質量圖像、更多有效信息的圖像，有利于制定檢修方案，從而排除安全隱患。

圖1 人工檢測列車軸承內圈外表面缺陷

變分模態分解(Variational Mode Decomposition,VMD)在2014年由DRAGOMIRETSKIY等正式提出。變分模態分解是自適應信號的分解方法，可將輸入信號分解為若干個固有模態函數(Intrinsic Mode Function,IMF)分量。由變分模態分解算法提出了一種自然的二維擴展，即二維變分模態分解(2D-VMD)。該模型可以同時提取多個2D模型并能夠尋找各自的中心頻率，是一種非遞歸、完全自適應的變分方法，同時擁有強大的數學理論支撐，能夠稀疏地分解圖像，參數最小且不需要顯式插值就能實現信號的準確分離。因此，本文作者使用模糊線性指數、標準差對IMF分量圖像進行客觀篩選，剔除無效信息分量后將2D-VMD算法與其他常用去噪算法進行對比；通過均方差和峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR)對幾種去噪算法進行客觀評價。

1 2D-VMD算法的數學模型

為能夠更好地應用于圖像，將原始VMD模型改造為2D-VMD模型。在二維模型下，不僅能夠實現數據保真而且能夠最小化組成子信號的帶寬，但由于二維信號缺乏一維信號的唯一延伸性，應用單邊傅里葉將圖像頻率移至基帶。

由于解析信號頻譜具有單邊特性，在二維信號中需要將一個半平面的頻域設置為0，此分界面向量記為，從而得到2D-VMD在頻域中的表達式：

應用傅里葉性質定義二維解析信號:

解析信號沿參考方向逐行計算，因此該定義本質上是一維的，但卻具有所需求的二維傅里葉特性。

2D-VMD算法是把一個原始信號分解為有限個離散子信號，令原始信號()通過2D-VMD算法進行個分解得到固有模態函數()使得每個IMF都有最小的帶寬和，從而得出約束條件下的變分模型表達式：

分解得到個固有模態分量:={，，...，},各分量中心頻率：{，，...，}。

為解決重構約束問題，進行算法優化，通過二次懲罰因子，拉格朗日乘子獲得交替方向乘法算子(Alternate Direction Met Hod of Multipliers，ADMM)，通過迭代、、，可得到其拓展后的表達式：

({},{},):=

通過上述分析可得數學表示如下：

為解決變分問題,通過迭代，在頻域中對其進行傅里葉等距變換：

由于2D-VMD擁有強大的數學理論基礎，將信號在頻域內對、不斷迭代，并更新，當滿足迭代停止條件時停止迭代，最后再對其進行傅里葉逆變換，得到最終結果。

2 圖像質量評價

主觀評價是通過人的自身感官和經驗對圖像進行判斷，人為因素較多，所以主觀評價不適于大規模檢測。因此，在軸承檢測領域更多使用客觀評價指標對圖像質量進行評價。故引入模糊線性指數、標準差對IMF分量進行客觀篩選，選用均方差MSE、峰值信噪比PSNR對去噪算法進行客觀評價。

2.1 模糊線性指數

模糊線性指數是反映有效信息量和對比度量值的一種指標，在圖像處理中使用比較廣泛。經過模糊線性指數驗證的圖像，值越小圖像質量越好，有效信息越明顯，越能較好地反映處理前后的變化幅度，其表達式如下：

式中：表示像素點(，)的灰度；表示圖像最大灰度；表示圖像尺寸。

2.2 標準差

標準差反映各灰度相對于灰度均值的離散情況，是圖像對比度的關鍵量值，在圖像處理中同樣被廣泛應用。值越大圖像對比度越高，越能更好地篩選并突出有效信息，其表達式如下：

2.3 均方差

均方差MSE，是圖像中各點數據與實際值的偏離程度，兩個×的單色圖像去噪前、后的灰度(,)、(,)在經過圖像處理后的變化程度。去噪后的圖像均方差越小，則去噪后的圖像質量越好，去噪方法越好。

2.4 峰值信噪比

峰值信噪比PSNR，是最大圖像信號與噪聲信號的比率，衡量圖像在壓縮后所呈現的客觀品質。目前在世界學術領域內峰值信噪比被廣大學者作為常用的客觀評價圖像質量指標，峰值信噪比越大，圖像處理前后的差別越小，失真越少，圖像處理后其圖像質量越好。

3 2D-VMD算法的去噪原理及參數優化

VMD算法使得一維信號分解為若干個子分量，并對每個分量進行判定，剔除噪聲分量，完成一維信號的去噪。2D-VMD是基于VMD的特性擴展而來的，2D-VMD可以實現準確的信號分離，將含有噪聲的圖像信號分為若干個IMF分量圖。采用模糊線性指數和標準差作為IMF的評價指標，分別對每個分量進行篩選，剔除噪聲項保留其余含有有效信息的分量，完成二維圖像信號的去噪。最后，通過計算MSE和PSNR，對基于2D-VMD的去噪方法進行評價，判定該算法的可行性。2D-VMD去噪原理如圖2所示。

圖2 2D-VMD去噪原理

2D-VMD算法需要預先設定其中的參數，最主要是分解次數，其次是懲罰參數因子，兩個參數的確定對分解過程有著極為重要的作用。在對圖像進行處理時，取值過大會導致層數分解過多，丟失大量有效信息，影響重構圖像質量；取值過小會使得分離層數少，難以分離噪聲和有效信息，達不到良好去噪效果。

2D-VMD對信號進行次分解，產生個IMF分量圖，不同的和對分解結果的影響不同。因此，通過粒子群算法對2D-VMD進行參數優化，以避免人為因素干擾，自適應地對合適的參數進行計算，最終選出最優化參數。粒子群算法可以計算每個粒子經過2D-VMD算法處理時，其任意位置所對應的適應度，對粒子位置和移速進行更新，直到循環迭代滿足停止條件時停止，最后得出最佳適應度和粒子位置信息。通過粒子群算法對軸承圖像進行2D-VMD分解時，當滿足=6、=50時有最優參數組合，圖像去噪效果最好。

4 實驗與結果分析

以Windows10專業版為對操作系統，MATLAB R2015a為仿真軟件，研究對象為鐵路運輸專業軸承(SKF 47N)。

實驗選用腐蝕缺陷圖像圖3(a1)、燒附缺陷圖像圖3(b1)進行測試。為模擬圖像在現實環境中所受到的噪聲干擾影響，故對圖像添加均值為0、方差為0.04的高斯噪聲，缺陷圖像分別為圖3(a2)、圖3(b2)，最后應用2D-VMD算法對缺陷圖像進行去噪。

圖3 原圖和噪聲圖像

應用2D-VMD算法對含有高斯噪聲的兩組缺陷圖像分別進行分解，令分解層數=6，分別將噪聲圖像信號分解為6個IMF分量，如圖4所示。

圖4 2D-VMD分解實驗結果

由2D-VMD分解得到的6個IMF分量分別反映了不同層次所對應的原始圖像的不同尺度信息，通過觀察并對比各分量發現：IMF1包含了原始圖像的大部分信息，IMF2、IMF3、IMF4、IMF5為能夠表現出原始圖像有效信息大致輪廓的趨勢分量圖，但IMF6則無法看清圖中的信息表達，通過主觀評價分析IMF6應為噪聲項。

應用模糊線性指數和標準差分別對兩組實驗的6個IMF分量進行客觀篩選，腐蝕缺陷組得到的指標為、，燒附缺陷組得到的指標為、。當值較小、值較大時，圖像有效信息含量多，圖像質量好，最終形成的去噪圖像也會呈現出很好的去噪效果。

由表1可知：兩組實驗的IMF6對應的兩項指標都過于異常，模糊線性指數值過大且標準差值過小，證明IMF6圖像質量極差，故客觀評價IMF6為噪聲項。因此，分別去除受噪聲影響最大的IMF6，保留其余含有較多有效信息的分量，對其余5個IMF分量圖分別進行重構，得到應用2D-VMD算法進行去噪的圖像。最后，對含有噪聲的圖像圖3(a2)、圖3(b2)進行均值濾波、中值濾波，對比3種去噪算法的去噪效果，結果如圖5所示。

表1 6個IMF分量的γ值和σ值

圖5 去噪效果對比

針對3種去噪算法，分別計算其對應的評價指標：MSE1、PSNR1、MSE2、PSNR2，對3種算法進行定量分析，客觀評價哪種算法去噪效果更好，結果如表2所示。

表2 3種算法的MSE和PSNR

通過分析腐蝕缺陷和燒附缺陷去噪實驗，可以由MSE1、PSNR1和MSE2、PSNR2直觀看出，雖然3種去噪方法都能實現圖像的去噪處理，但應用不同的去噪方法得到的去噪圖像質量并不相同。通過表2可知：使用2D-VMD得到的去噪圖像，均方差最小、峰值信噪比最大，去噪效果最好；中值濾波效果相對較好；均值濾波其均方差最大、峰值信噪比最小，去噪效果最差。由此可知，使用2D-VMD算法進行圖像去噪具有較好的去噪效果。

5 結論

本文作者通過分析2D-VMD算法原理，提出基于2D-VMD的列車軸承缺陷圖像的去噪方法。將輸入的圖像信號分成若干個IMF分量，通過粒子群算法對2D-VMD進行參數優化，確定最優參數組合；通過模糊線性指數和標準差兩個指標對IMF進行合理客觀的篩選，剔除無效信息分量；最后，對其他有效信息分量進行重構，實現對圖像信號的去噪處理。通過對比均方差和峰值信噪比，對2D-VMD算法、均值濾波算法和中值濾波算法進行了客觀評價，發現使用2D-VMD算法進行圖像去噪得到的去噪效果最好、圖像質量最清晰、失真最小。研究結果能夠為鐵路部門的相關故障檢修提供參考。