軸向柱塞泵裂紋轉子的振動特性分析

王文龍，蔣健，湯乾宇，劉清建，王太勇

(1.中海石油(中國)有限公司湛江分公司，廣東湛江 524057；2.天津理工大學機械工程學院，天津 300384；3.天津大學機械工程學院，天津 300350)

0 前言

近年，軸向柱塞泵逐步向高速化、高壓化以及智能化等方向發展，相關的振動噪聲問題引起了學者們的廣泛關注。其中，轉子是軸向柱塞泵的關鍵部件。胡連紅采用有限元法分析了液壓柱塞泵轉子的臨界轉速，給出轉動組件的設計意見。權凌霄等基于轉子動力學和振動傳遞路徑，研究了軸向柱塞泵多維振動傳遞機制及聲振特性演化規律。軸向柱塞泵轉子轉動時受配流結構、安裝調試、檢修維護及外部載荷環境等因素的影響，容易在轉子表面產生裂縫、凹痕等裂紋源。若轉子的早期裂紋不能及時診斷，在交變應力作用下轉子的疲勞裂紋將進一步擴展直至轉軸斷裂，將造成設備損壞，帶來重大的經濟損失。

國內外學者對轉子裂紋的振動特性開展了大量的研究工作。AL-SHUDEIFAT等分別考慮呼吸裂紋和開裂紋模型，研究了裂紋深度對轉子振動幅值和軸心軌跡的影響規律。在亞臨界轉速范圍內，隨著裂紋深度的增加，轉子振動的幅值逐漸增大。SINOU采用諧波平衡法進行了裂紋轉子的非線性研究，結果表明：裂紋深度和裂紋位置對1/2、1/3臨界轉速時轉子的振動幅值和渦動頻率具有明顯的影響，是診斷裂紋故障的主要特征。DARPE等基于應變能釋放率法計算裂紋轉子的局部柔度，研究了橫向裂紋轉子的彎曲和軸向耦合振動響應。

劉長利等采用有限元方法建立了雙盤雙呼吸裂紋轉子系統的動力學模型，分析了不同裂紋深度和裂紋夾角對轉子振動響應的影響。秦衛陽等以雙盤懸臂裂紋轉子為模型，主要分析了不同參數對系統進入混沌道路的影響，較全面地分析了參數變化對系統運動形式、頻率特征的影響。向玲和高雪媛在考慮裂紋轉子和非線性油膜力的基礎上，結合分岔圖、軸心軌跡和三維頻譜圖等，分析了轉子轉速、不平衡量和裂紋深度對系統動力學、分岔情況和穩定性的影響規律。路振勇等針對含有裂紋故障的航空發動機高壓轉子系統進行了動力學分析，采用諧波平衡法計算了不同裂紋深度時的三維頻譜圖，分析了裂紋深度、裂紋位置對系統振動響應的影響，并通過數值積分驗證了計算結果。于濤等人從斷裂力學理論出發，考慮了裂紋強度因子中剪力因素在裂紋截面處的影響，分析了不同裂紋位置對雙裂紋轉子系統亞臨界、主共振區及超臨界轉速下的非線性動力學響應。

上述研究多采用單跨簡支轉子模型，對含有裂紋故障軸向柱塞泵轉子的振動特性分析較少。本文作者以軸向柱塞泵轉子為研究對象，經簡化建立含有橫向呼吸裂紋的單盤懸臂轉子有限元模型,通過Newmark-數值仿真分析裂紋深度、裂紋位置對軸向柱塞泵轉子系統振動特性的影響規律。

1 含有橫向裂紋的轉子系統有限元建模

1.1 轉子系統的有限元模型

由主軸、缸體及支承軸承等組成的某軸向柱塞泵轉子系統，經簡化后得到一類單盤懸臂轉子，其有限元模型如圖1所示。轉子系統模型共劃分為11個節點、10個單元，集總后的轉動缸體組件作為剛性圓盤位于節點11，軸承1和軸承2分別位于節點1和節點6。

圖1 裂紋轉子有限元模型

根據轉子動力學有限元法，分別將軸承與圓盤集總至對應節點，通過組集各單元的質量、剛度、阻尼和陀螺矩陣，未含裂紋時轉子系統動力學方程可表示為

(1)

1.2 裂紋單元的剛度計算

目前針對裂紋轉子剛度的計算方法主要包括兩類：(1)基于斷裂力學的應變能釋放率法，通過求解裂紋引起的附加局部柔度，建立其力學模型;(2)中性軸模型，裂紋將導致轉子單元截面的中性軸、形心和慣性矩發生改變，從而可建立裂紋單元的剛度矩陣,選擇合適的開關函數，能夠較準確地描述裂紋的呼吸效應。本文作者采用裂紋的中性軸模型，如圖2所示。

圖2 裂紋單元截面示意

當轉子裂紋深度為時，單元截面對軸、軸的慣性矩，單元截面未開裂面積及形心縱坐標分別為

arcsin()]

(2)

(3)

(4)

(5)

其中:為轉軸的半徑；為無裂紋轉軸的橫截面積;為量綱為一裂紋深度，=；裂紋角度=2arccos(1-);=sin(2);=cos(/2)。

對于含有裂紋的轉子單元截面，中性軸和形心改變后′軸、軸的慣性矩分別為

(6)

(7)

(8)

當轉子重力占優條件下，橫向裂紋隨著轉子轉動存在呼吸效應，可采用余弦函數模擬呼吸裂紋的開閉狀態，其表達式為

(9)

最后，將裂紋單元的剛度矩陣代入轉子的有限元方程(1)，可得到裂紋轉子系統的動力學方程為

(10)

式中:為44×44階裂紋單元剛度矩陣，裂紋所在單元的剛度可由代替，矩陣中其余元素為0。

2 數值仿真分析

轉子系統主要參數：轉子長度=500 mm，轉子半徑=5 mm，圓盤直徑為50 mm，圓盤厚度為15 mm，剛性圓盤不平衡量=2×10kg·m，不平衡角度為0，轉子材料為鋼，軸承支承剛度為5×10N/m，軸承支承阻尼為500 N·s/m。

采用Newmark-數值積分裂紋轉子系統的動力學方程，為得到轉子的穩態振動響應，忽略前400個周期的計算結果。通過計算可知，單盤懸臂轉子的一階正向臨界轉速為=1 850 r/min，一階反向臨界轉速為=1 837 r/min。

2.1 裂紋深度對振動響應的影響

當橫向裂紋位于軸承2附近時(如圖1所示)，在轉子轉速為925 r/min(約1/2臨界轉速)情況下，無裂紋和裂紋深度增加時節點11的時間歷程、軸心軌跡和頻譜如圖3—圖7所示。由圖3可知：無裂紋時，轉子的時間歷程為較規律的周期振動，軸心軌跡表現為橢圓形，這是由于轉子不平衡激勵產生的強迫振動導致的，頻譜圖上的工作頻率表現為工頻成分。

圖3 無裂紋時節點11的振動響應(轉速為925 r/min)

圖4 裂紋深度為0.2時節點11的振動響應(轉速為925 r/min)

圖5 裂紋深度為0.5時節點11的振動響應(轉速為925 r/min)

圖6 裂紋深度為0.7時節點11的振動響應(轉速為925 r/min)

圖7 裂紋深度為0.9時節點11的振動響應(轉速為925 r/min)

由圖4可知：隨著裂紋的出現，當裂紋深度較淺為0.2時，轉子的軸心軌跡上某一點有向內移動的趨勢，時間歷程響應出現多周期運動，頻譜圖中包括和2的頻率成分。進一步地，當裂紋深度增大至=0.5時，軸心軌跡上某一點有向內移動趨勢更加明顯，頻譜圖中2的頻率成分幅值逐漸增大，如圖5所示。

圖6—圖7所示為裂紋較深時節點11的振動響應特性。由圖6(c)和圖7(c)可知:頻譜中2的頻率成分不斷增加，但始終沒有超過頻率幅值，這是由于圓盤具有較大不平衡量，導致強迫振動幅值頻率一直占主導地位。但在裂紋接近轉軸半徑時(=0.9)，軸心軌跡已表現得較為復雜，如圖7(b)所示。由于裂紋的存在導致轉子剛度降低，轉子轉速在1/2臨界轉速附近時，軸心軌跡隨著裂紋深度的增加具有內凹的形狀改變趨勢，并且頻譜圖中2的頻率幅值逐漸增大，這也是轉子裂紋故障的主要動力學特征之一。

當轉子轉速為610 r/min(約1/3臨界轉速)時，圖8—圖11給出了不同裂紋深度情況下節點11的時間歷程響應、軸心軌跡和頻譜。總體上看，轉子振動響應的變化與轉速為925 r/min時具有相似的規律。不同的是，當轉子裂紋深度較小時，3的頻率成分出現但幅值較小，軸心軌跡與圖4(b)相比變化趨勢并不明顯。由圖9可知，在裂紋深度=0.5時，軸心軌跡形狀仍具有內凹變化的趨勢，并同時出現了2和3頻率成分，但3的頻率幅值明顯大于2，時間歷程響應也表現為多周期運動特征。

圖8 裂紋深度為0.2時節點11的振動響應(轉速為610 r/min)

圖9 裂紋深度為0.5時節點11的振動響應(轉速為610 r/min)

由圖10—圖11可知，隨著裂紋深度的不斷增大，頻譜中2和3的頻率幅值持續增加。軸心軌跡兩側同時有向內移動的趨勢，產生更加復雜的軸心軌跡形態。綜合來看，對于此類懸臂轉子系統，軸心軌跡形態隨著裂紋深度的規律性改變，以及頻譜中的2和3頻率成分是判斷裂紋出現和擴展的主要特征。

圖10 裂紋深度為0.7時節點11的振動響應(轉速為610 r/min)

圖11 裂紋深度為0.9時節點11的振動響應(轉速為610 r/min)

2.2 裂紋位置對振動響應的影響

為分析裂紋位置對振動響應的影響，考慮裂紋位于圓盤根部的情況，轉子的振動響應如圖12—圖14所示。圖12給出了當裂紋深度為0.5且轉子轉速為925 r/min時，節點11的時間歷程、軸心軌跡和頻譜圖。可知:頻譜中2的頻率成分較小，時間歷程和軸心軌跡的變化并不明顯。與圖5相比，雖然裂紋深度相同，但裂紋在圓盤附近出現時對轉子的振動響應影響卻較小。

圖12 裂紋深度為0.5時節點10的振動響應(轉速為925 r/min)

圖13表明：裂紋深度為0.9時，2的頻率幅值增加較明顯，但軸心軌跡具有外凸的變化特征，這與裂紋在軸承2附近時的軸心軌跡變化規律相反。轉速為610 r/min且裂紋深度為0.9時，轉子振動響應如圖14所示。圖14(c)中包含明顯的3頻率成分，2頻率成分幅值較小。圖14(b)軸心軌跡的形狀演化成近似方形，這是由于倍頻成分的存在，導致軸心軌跡兩側同時向外擴展所造成的。綜上，裂紋位置對轉子振動響應的影響主要體現在軸心軌跡形狀演化趨勢的改變，并且裂紋較淺時轉子的振動響應特征較弱。

圖13 裂紋深度為0.9時節點10的振動響應(轉速為925 r/min)

圖14 裂紋深度為0.9時節點10的振動響應(轉速為610 r/min)

3 結論

本文作者將軸向柱塞泵旋轉部件簡化為一類懸臂轉子系統，建立轉子裂紋系統的有限元模型，采用數值仿真研究裂紋深度和裂紋位置對轉子振動響應的影響規律。結論如下：

(1)當裂紋較淺且轉速在1/2臨界轉速附近時，轉子的頻譜中出現二倍頻成分，軸心軌跡形狀具有內凹的變化趨勢。隨著裂紋深度增大，倍頻成分明顯增加，軸心軌跡的內凹趨勢更加明顯。而轉速在1/3臨界轉速附近時，頻率成分同時包括二倍頻和三倍頻，并且三倍頻成分幅值明顯高于二倍頻，并導致軸心軌跡的兩側同時向內變化。

(2)若裂紋出現在圓盤根部附近，對轉子振動響應的影響相對較小。與裂紋位于軸承附近相比，只有裂紋較深時軸心軌跡和頻譜圖才出現較為明顯的動力學特征。此外，軸心軌跡的變化趨勢也有所不同，在裂紋較深的情況下，軸心軌跡有外凸的變化趨勢，并且三倍頻幅值增加較慢。