計及混合間隙的高速精密機構非線性動態響應分析

陳宇，武凱，仲太生，王禹，孫宇

(1.南京理工大學機械工程學院，江蘇南京 210094;2.江蘇揚力集團，江蘇揚州 225127;3.江蘇理工學院機械工程學院，江蘇常州 213001)

0 前言

隨著社會的發展和科技的進步，市場對零件的加工精度和質量提出了更高的要求，對機械傳動系統的設計要求日益提高，以實現更高運動精度以及良好的穩定性。在機械系統中，由于碰撞磨損和制造誤差，都無法避免運動副零件之間的間隙產生。間隙的存在將會造成桿件的分離和碰撞，從而引起機構產生振動、噪聲。含間隙高速精密動力學研究對提升機械裝備性能，實現復雜裝備振動、噪聲的有效控制，以及高精密機械裝備設計技術的升級具有重要的意義。

針對含間隙機構動力學問題，國內外眾多學者進行了相關研究。例如，FLORES等針對含間隙運動副接觸碰撞過程中的接觸類型和約束條件進行了討論，采用Moreau時間步長法對其線性求解問題進行了描述，并將其運用到含間隙機構動力學性能分析中。白爭鋒等考慮非線性剛度系數對接觸碰撞過程的影響，提出一種含間隙轉動副接觸碰撞力模型，并將其應用到含間隙曲柄滑塊模型中。ZHANG等建立一種含間隙轉動副的冗余驅動機構動態特征分析模型，采用分部積分法對其進行求解，并獲得間隙對機構動力學性能的影響。SALAHSHOOR等基于多尺度法建立了含多間隙多體系統動力學分析模型，研究了機械系統的非線性振動特征。TIAN等考慮構件柔性特征影響，建立了含不確定性間隙轉動副的機構動力學分析模型，計算結果表明間隙和構件柔性對機構非線性動力學影響較大。目前，考慮混合間隙作用下高速精密機構動態特性相關研究很少。本文作者針對以上情況，基于多體動力學理論、非線性接觸碰撞理論和庫侖摩擦理論，建立一種含混合間隙的高速精密機構動力學模型；將其引入到高速精密壓力機傳動系統模型中，結合高速精密機構動力學性能實驗，分析了計及混合間隙的高速精密機構的非線性動態響應特性。

1 含間隙機構動力學建模

1.1 含間隙運動副運動學建模

(1)

(2)

軸與軸承在偏心方向上的單位法矢量為

(3)

如圖1(b)所示，當偏心矢量的大小大于軸承間隙時，軸承與軸在偏心矢量的延長線上會發生接觸，即接觸點為和，該點的位置矢量和速度矢量可表示為

圖1 轉動副間隙模型

(4)

(5)

軸承與軸在碰撞時產生的接觸變形，即嵌入量可表示為

=-

(6)

式中:為偏心距；為間隙大小。

嵌入量能夠反映軸承與軸之間是否接觸，當≤0時，軸承內圈與軸之間不發生接觸，此時接觸力=0；當>0時，軸承內圈與軸之間發生接觸，接觸區域會產生力的作用。因此，發生接觸的邊界條件和接觸點的速度矢量可表示為

(7)

(8)

圖2 移動副間隙模型

(9)

構件上任意一點的位置向量為

(10)

接觸點位置向量和嵌入量可表示為

(11)

(12)

其接觸碰撞速度可寫成：

(13)

1.2 運動副間隙接觸碰撞模型

接觸碰撞力建模是含間隙機構動力學分析必要研究內容之一。基于非線性接觸碰撞理論，并考慮阻尼因素對能力損失的影響，建立含間隙運動副的接觸碰撞力模型，其表達式為

(14)

(15)

轉動副間隙剛度系數可表示為

(16)

式中：為泊松比；為接觸體彈性模量；為軸與軸承半徑。

移動副剛度系數如下：

(17)

式中：為材料特性；為接觸區域面積；和分別為滑塊的長度和寬度。

摩擦力是含間隙運動副接觸碰撞過程重要的參數，可描述接觸特性的切向力特征，文中考慮運動副間隙為干摩擦狀態。Coulomb摩擦模型可以有效描述沖擊狀態下非線性接觸碰撞過程中的摩擦特性。為了更加準確地描述軸與軸承接觸碰撞過程中的黏滯微滑現象，采用Coulomb修正模型對其進行描述，該模型中的動態摩擦因數可表示摩擦力與切向滑動之間的關系。考慮軸與軸承在實際運轉過程中的摩擦現象，切向摩擦力模型表達式如下：

(18)

式中:表示滑動摩擦因數；為動態摩擦因數，其表達式可以寫成：

(19)

式中:和為給定的速度極限值。

1.3 含間隙碰撞的多體系統動力學方程

含間隙高速精密機構運動過程中，含間隙運動副之間會產生“自由運動”和“接觸碰撞”狀態，兩者有可能交替發生，需要針對不同運動狀態建立含間隙多體系統動力學方程。根據拉格朗日乘子法，自由狀態下含間隙多體系統動力學方程為

(20)

式中：、和分別為系統的廣義質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；表示廣義坐標矩陣；為廣義約束方程(,)=0的雅克比矩陣；和分別表示廣義力陣和Lagrange乘子列陣。

當系統運動狀態為 “接觸碰撞”條件時，需要將接觸碰撞力引入到動力學方程中來描述碰撞體之間的相互作用，其表達式為

(21)

式中:為接觸力相對于廣義坐標的廣義力列陣。

=+

(22)

2 試驗驗證與分析

2.1 模型參數與計算流程

高速精密機構模型如圖3所示，由曲柄、連桿、滑塊以及導軌幾個部分組成。該機構包括兩個理想轉動副，分別位于曲柄與支座連接處、曲柄與連桿連接處。連桿與滑塊連接處有轉動副間隙，滑塊與導軌之間存在移動副間隙，其機構的結構參數和材料參數如表1所示。基于上述模型，以含混合間隙高速精密機構為研究對象，通過對軸與軸承、滑塊與導軌接觸監測，獲得含混合間隙運動副的接觸碰撞力。基于Runge-Kutta法對系統動力學方程進行迭代求解，完整計算流程如圖4所示。

圖3 仿真計算模型

表1 模型基本參數

圖4 計算流程

2.2 試驗分析

針對含混合間隙高速精密機機構動態特性分析，在高速精密機械壓力機試驗平臺上進行了性能試驗，對滑塊動態性能進行了測試。試驗裝置由機械部分和測試系統兩部分組成，機械部分由電機、驅動輪、飛輪、離合器、曲軸、連桿、滑塊七部分組成;測試系統由無線加速度傳感器、無線接收器和數據采集分析系統組成。無線加速度傳感器安裝在滑塊上，用于測量滑塊垂直方向的加速度。數據采集分析系統運行在必創操作平臺上，集信號采集、濾波、A/D轉換和數據分析于一體。該測試系統可以測量滑塊運動時任意時刻加速度值。為了保證測量精確度，試驗前對加速度傳感器進行了專門標定。機構動態性能實驗測試圖如圖5所示。

圖5 機構動態性能試驗測試圖

不同轉速下高速精密壓力機滑塊加速度的仿真結果與測試結果對比如圖6所示。可知:含間隙運動副元素之間呈現不同的狀態。在高速精密機構運轉過程中，含間隙運動副引起高速精密機構發生振動，滑塊加速度產生峰值波動和非線性增長現象。在滑塊位于下死點位置時，接觸力會出現高頻振動，此時含間隙運動副發生在接觸變形現象；而對于整個運動周期而言，連續接觸狀態占據時間最長。滑塊加速度仿真計算結果與測試結果極其相似，從而驗證了文中建模方法的有效性。

圖6 測試曲線與仿真曲線對比

3 數值分析

為了對混合間隙影響下高速精密機構非線性動態響應問題進行更為深入的研究，對不同輸入轉速和間隙尺寸條件下高速精密機構動態特性進行多體動力學仿真，獲得其機構非線性動力學行為以及混沌運動響應特征。

3.1 輸入轉速影響分析

采用文中所述的建模方法，建立不同參數下高速精密機構的動力學仿真模型，研究運動副間隙對離散狀態高速精密機構動力學行為的影響。當運動副間隙為0.1 mm時，分別獲得輸入轉速為100、200、300、400 r/min時軸心軌跡如圖7所示。可知：在高速精密機構運動過程中，運動副單元出現3種不同的運動狀態，包括自由狀態、連續接觸狀態、接觸碰撞狀態；連續接觸狀態占比較大，在較低轉速時，高速精密機構動態響應趨于非線性特征；隨著輸入轉速的增加，接觸碰撞狀態明顯增強，其嵌入深度明顯增加。

圖7 輸入轉速對軸心軌跡的影響間隙(c=0.1 mm)

圖8和圖9顯示了在不同輸入轉速下高速精密機構非線性動態響應特征，計算結果描述了滑塊運動的相位關系以及機械系統的運動狀態。由計算結果可以看出滑塊運動軌跡由左、右兩簇構成，各自圍繞一點運動，在輸入轉速較低時該特征表現得更加明顯，出現非周期性混沌現象。隨著輸入轉速的增加，運動軌跡向邊緣靠近，運動軌跡輪廓逐漸清晰，呈現出倍化分岔序列。同時，Poincaré圖中表示出相對應的變化趨勢，隨著輸入轉速的增加，吸引子的形狀結構趨于穩定，吸引子的集中區域變大。

圖8 輸入轉速對運動副相對運動的影響(c=0.1 mm)

圖9 輸入轉速對滑塊運動軌跡的影響(c=0.1 mm)

3.2 間隙尺寸影響分析

間隙尺寸是影響含間隙高速精密機構動力學性能的主要因素之一。為了更加詳細地分析含間隙高速精密機構非線性動態響應特征，建立不同間隙尺寸的高速精密機構動力學分析模型。計算模型中，輸入轉速為200 r/min，間隙尺寸分別為0.05、0.1、0.2、0.5 mm。軸心運動軌跡可以表示出含間隙運動副元素之間的運動狀態，研究間隙對軸心軌跡的影響對于含間隙高速精密機構設計具有重要意義。間隙尺寸對軸心軌跡影響如圖10所示，不同間隙尺寸下軸心軌跡分布情況各不相同。當間隙值較小時，軸心軌跡分布在軸承邊緣區域，主要為連續接觸狀態和接觸變形狀態；隨著間隙尺寸的增加，軸心運動軌跡范圍增大，運動副元素自由運動空間增大。同時，較大的間隙尺寸會使運動副元素獲得更多的能量，加大碰撞過程中的沖擊力，嵌入深度也隨之增加。

圖10 間隙尺寸對軸心軌跡的影響(輸入轉速200 r/min)

由于間隙的存在，高速精密機構的間隙鉸鏈在運動過程中會產生滑動和碰撞現象，運動副元素會在不同運動狀態下來回切換，間隙對運動副相對運動影響如圖11所示。可知：高速精密機構動力學行為對間隙尺寸的變化較為敏感。當間隙尺寸較小時，軌跡在左側位置較為集中，當接近于中心位置點時會瞬間跳轉到右側邊緣位置，并逐漸再次向中心位置靠近，反復盤旋運動;隨著間隙尺寸的增大，運動軌跡向邊緣位置靠近，這說明高速精密機構運動周期性發生變化。圖12描述了不同間隙尺寸下高速精密機構吸引子的變化趨勢。間隙尺寸的增加引起接觸碰撞力的增大，從而使得吸引子集中區域發生改變，機械系統產生混沌和分岔現象。

圖11 間隙尺寸對運動副相對運動的影響(輸入轉速200 r/min)

圖12 間隙尺寸對滑塊運動軌跡的影響(輸入轉速200 r/min)

4 結論

基于多體動力學理論和非線性接觸碰撞理論，提出一種含混合間隙的高速精密機構動態特征分析的建模方法，根據L-N接觸力模型獲得運動副元素之間的接觸碰撞力，并采用Runge-Kutta對系統動力學方程進行求解，研究了高速精密機構混沌與分岔特性。主要結論如下：

(1)由于間隙的存在，運動副元素之間存在自由運動、連續接觸和接觸變形狀態，在高速精密機構運動過程中，運動副元素在不同狀態下來回切換，并伴隨較大的振動與沖擊。

(2)高速精密機構在輸入轉速和間隙尺寸等因素影響下，呈現出明顯的分岔和跳躍特性，隨運動參數的變化出現了倍周期、多周期和混沌等運動狀態。

(3)輸入轉速、間隙尺寸過大或過小都會引起運動副元素之間的激烈運動，產生強烈的碰撞，機械系統通過激變進入混沌運動狀態。文中所提建模方法更加真實地描述了多體系統非線性動態響應特性，為機構的性能評價、結構優化設計等奠定了基礎。