基于再生核的樣條插值求解積分方程

張瑞敏，林迎珍，張嬌霞

（北京理工大學珠海學院數理與土木工程學院，廣東 珠海 519088）

0 引言

近年來，求解第二類積分方程的數值解受到了許多學者的關注。這些方法可分為兩種類型：一種類型是直接對解析解進行近似。如逐次逼近法、變分迭代法、Adomian分解法、Simpson公式和Gauss型求積公式等[1-5]；另一種類型是通過將方程轉換為比原始方程更容易求解的形式。例如，泰勒展開配置法用于求解中的積分方程［6-8］。這些方法各有優缺點，而不斷尋找更加有效、簡單的方法是學者們一直關注的問題。

積分方程在力學、氣象預報、振動理論、博弈論和粒子物理等學科中有著廣泛應用。一次樣條函數是工程技術中應用十分廣泛的插值函數，具有高階收斂性。文獻［9-10］研究了樣條插值在微分方程中的應用。本文算法的優點是簡單易行，并且近似解的精度較高。

本文主要研究如下積分問題

其中積分核K(x，t)是[0，1]×[0，1]上的連續函數，f(x)是已知函數。利用再生核函數非常簡便地構造了一次樣條函數空間的一組基底，該基底適合于求解第二類積分方程；若是其他方程可選擇不同的樣條。

1 積分方程的樣條插值法

提出一種求解第二類積分方程新的算法。

定義1[11]再生核空間W1[0，1]={u|u在[0，1]上絕對連續，u′∈L2[0，1]}，其內積為

其再生核函數為

定義2設函數S(x)∈W1[0，1]，π：0=x1＜x2＜…＜xn=1，若S(x)在每個小區間[xi，xi+1]上為不超過一次的多項式，則稱S(x)為區間[0，1]上的一次樣條函數[12]。

定義3記Snπ={S(x)|S(x)為一次樣條函數，其中π：0=x1＜x2＜…＜xn=1}，稱Snπ為一次樣條函數空間。

定理1一次樣條函數空間Snπ為n維空間。

證明一次樣條函數S(x)在每個小區間[xi，xi+1]上有2個待定系數，在（n-1）個這樣的小區間上共有[ 2(n-1)]個待定系數。由于S(x)∈W1[0，1]，故滿足下式的（n-2）個條件：因此，S(x)的自由度為2(n-1)-(n-2)=n，即一次樣條函數空間Snπ為n維空間。

定理2{Rx1(x)，Rx2(x)，…，Rxn(x)}為一次樣條函數空間Snπ的一組基底。

證明根據定理1，只需證明Rx1(x)，Rx2(x)，…，Rxn(x)線性無關。設

下證C1=C2=…=Cn=0。

取gk(x)∈W1[0，1]，滿 足gk(xk)=1，gk(xj)=0(k≠j)，1≤k，j≤n。式（4）兩邊 同 時 與gk(x)做內積，因為Ry(x)是W1[0，1]的再生核，由再生核函數的再生性，可得

得證。

定義4對定義在區間[0，1]上的函數u(x)，如果存在一次樣條函數S(x)，有u(xi)=S(xi)(1≤i≤n)，則稱S(x)為插值函數，u(x)為被插函數。

為了求解問題（1），以下將區間[0，1]做n等分，即。由定理2可知，一次樣條插值函數S(x)可由空間Snπ的基底線性表示，即

把式（5）代入式（1），可得

令式（6）中x=xj(1≤j≤n)，得

求解式（8）可得C1，C2，…，Cn，從而可求得u(x)的插值解S(x)。

定 義 算 子L：W1[0，1]→W1[0，1]為則 式（1）等價于

引理1對于式（9），當式（9）的解存在唯一，可知(I-K)-1存在且有界[13]，故由式（8）得到的數值解S(x)是唯一的。

定理3設u(x)∈W1[0，1]為式（1）的解，S(x)為u(x)的一次樣條插值函數，則S(x)是二階收斂的，即

證明一次插值余項記由于將區間[0，1]分為n等分，故。

2 數值算例

本文利用再生核函數巧妙地構造了一次樣條函數空間的一組基底，從而可以利用再生核方法解決一次樣條函數空間的問題。下面給出用這種巧妙方法的一些算例。

例1考慮積分問題

表1 真解u(x)與近似解S(x)的最大絕對誤差（例1）Tab.1 Maximum absolute error of true solution［u（x）］and approximate solution［S（x）］（Example 1）

例2考慮積分方程

其解析解為u(x)=sin(πx2)，最大絕對誤差和收斂階見表2。文獻［16］是基于模糊劃分的逆模糊變換與搭配技術相結合的方法求解的例2，從表2可知本研究計算結果優于文獻［16］。

表2 真解u(x)與近似解S(x)的最大絕對誤差和收斂階（例2）Tab.2 Maximum absolute error and convergence order of true solution and approximate solution（Example 2）

3 結論

由再生核函數構造了一次樣條空間的一組基底，在這個基底下研究了第二類積分方程的算法。該算法原理簡單。通過兩個數值算例，展示了該算法相比其他一些算法，收斂結果更好。因為研究對象為積分方程，所以本文選用的是一次樣條插值。若是其他方程，可選擇不同的樣條。