基于林滋泰德-龐加萊法的達芬系統的求解

莘智，侯瑾蓉

（內蒙古師范大學數學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010022）

1830年，泊松在研究單擺的振動時，提出將非線性系統的解按小參數ε的冪次展開的近似計算方法稱為攝動法或小參數法［1］。1892年，林滋泰德為了消除在天文學中利用正規攝動法求近似解時出現的久期項問題，最先提出對正規攝動法進行改進。后來，龐加萊對改進后的方法的合理性進行了證明，故而稱為林滋泰德-龐加萊法，它的出現很好地解決了系統共振，即久期項問題。林滋泰德-龐加萊法認為解和系統的激勵頻率都是ε的未知函數，都要展成ε的冪級數形式，通過確定級數形式中的待定系數，從而求得解析解和頻率［2］。本文主要通過林滋泰德-龐加萊法對達芬系統的幾種振動求解，得到了精確度較高的近似解析解。

1 達芬系統的自由振動

達芬系統的自由振動動力學方程為［1］

規定初始條件為［2］

此時將該動力學方程的解展開為冪級數的形式

同時，將自由振動的頻率ω也展成ε的冪級數形式

將式（4）兩邊平方，得

將式（3）和式（5）代入式（1），引入新的自變量ψ=ωt，將原來的微分改定義為對ψ的微分，轉化為

令等式兩邊ε相同次冪項的系數相等，可得方程

規定各方程的初始條件為

由零次近似方程（7）和初始條件可以解出

將式（12）的解代入式（8）的右邊，可得

為消除方程中出現的久期項，需要令方程右邊的cosψ項的系數等于零，于是，可以推導出

這時，在滿足此條件的基礎上解出x1的值，設

在方程（13）滿足初始條件（11）的情況下，可得方程的解為

將式（12）和式（15）代入方程（9）中，整理得

為消除方程中出現的久期項，需要令方程右邊cosψ項的系數等于零，導出

此時在滿足此條件的基礎上，設

在方程必須滿足初始條件情況下，可得方程的解為

將式（12），式（15），式（18）代入方程（10）中并加以整理得

為消除方程中出現的久期項，需要令方程右邊的cosψ項的系數等于零，導出

解x3的過程與前面解x1和x2的過程相同，重復操作，可得

由此可得方程（1）的三階精度的解

以及自由振動頻率ω的表達式

2 接近共振的受迫振動

討論帶微弱阻尼的達芬系統接近共振的受迫振動，其動力學方程為

設阻尼項，激勵頻率以及系統的固有頻率均與ε同數量級，令

同樣將方程（24）的解設為式（3）的形式，與式（25）一起代入方程（24）中，再令F0=ω20B1，引入新的自變量ψ=ωt，令ε的同次冪項的系數相等，可以導出以下一系列的方程。

由方程（26）可以解出

將此解代入方程（27）中并整理得

為消去共振對系統的影響，需要消除久期項，得到

消去久期項后，可以設方程（30）的解為

把所設方程的解代入方程（30）中，可以解得

將式（32）與式（29）代入式（28）中得

整理得

同樣地，消去久期項得

設方程（33）的解為

將式（34）代入方程（33），整理后得

由此得

故而方程（24）的二階近似解便可給出

3 亞諧波共振

討論亞諧波共振的動力學方程

同樣設該方程的解為式（3）的形式，并令

將式（3）與式（39）同時代入方程（38）中，得到

令上式中兩邊ε的同次冪項的系數分別相等，由此可以推導出一系列的方程。

設方程（41）解的形式為

其中，A13由初始條件決定，將式（44）代入方程（41）中得

將式（44）代入方程（42）中并整理得

為了消除方程中的久期項，得到

或

解出A13的不等于零的解

消去久期項后，設

將式（50）代入式（46）中，可以得到

將式（50）和（44）代入方程（43）中，得到

整理后得到

為了消除久期項，得

綜上，方程（38）的解可以寫成

4 結論

林滋泰德為了消除天文學中的久期項改進正規攝動法，龐加萊為改進的攝動法的合理性進行了數學證明，林滋泰德-龐加萊法和正規攝動法同稱為小參數法，也叫PL攝動法。該方法的基本思想是認為非線性系統的固有頻率ω并不等于派生系統的固有頻率ω0，而應該是小參數ε的未知函數。因此在將基本解展成ε的冪級數的同時，因將頻率也寫成ε的冪級數，冪級數的待定系數根據周期運動的要求依次確定。本文以達芬系統的自由振動為例，利用林滋泰德-龐加萊法給出了三階精度的近似解析解，相比較文獻［1］從二階提高到了三階，進而提高了解的精確程度；討論了帶微弱阻尼的達芬系統接近共振的受迫振動，利用該方法給出了二階精度的近似解，比文獻［1］中的解提高了一階精度；針對亞諧波共振的情形，將文獻［1］中的解的精度由一階提高到了二階。利用林滋泰德-龐加萊法對達芬系統的三種不同振動的解求解，實現了非線性振動系統解的精度的提高，進而能夠更好地分析非線性系統的運動規律，以及對系統參數和初始條件的依賴關系。但是，得到非線性振動高階近似解，會增加很大的工作量，因此往往要截斷高階項只保留級數的前面有限項，同時解的最后結果還需要試驗來驗證。

小參數法是從事理論研究的重要數學工具之一，對于弱非線性問題尤其有作用。理論的研究從實際問題中來，并最終應用到實際問題中，小參數法在基礎和應用研究中已被廣泛應用于微分方程、軌道力學、非線性振動、固體力學、流體力學等領域［3-6］，并且隨著科學的不斷發展，一定會研究出更多有關小參數的理論，對它的應用也會更加廣泛。