探歷史之秘 享建構之美
——以拓展課“數的認識”為例，談數學史融入教學實踐的體會

文／陳雅蓉

引 言

數的發展經歷了一個漫長的過程。縱觀數的發展歷史，我們會發現數的發展過程竟與學生的認知過程如此相似。數學史與數學教育的關系是密不可分的。從歷史中教師可以甄別學生的學習障礙，捕捉知識的核心價值，明確教學方向，讓數學教學更“深”、更“透”。下面，本文以“數的認識”拓展課為例，談談如何站在HPM（數學史與數學教育之間的關系）的視角下開展小學數學教學。

一、尋跡

（一）認知起點與計數發展

孩子從一出生就不斷接觸到數，進入小學校園，豐富的數學學習活動幫助學生積累了豐富的數學學習經驗。到了四年級，為了了解學生對數的認識掌握情況，課前，筆者先讓學生根據已有學習經驗用不同的方式表示出26。新課伊始，學生展示匯報，其作品見表1。

表1

表1作品其實很好地說明了學生對“數的概念”的建立過程：“數的概念”建立初期，主要是用一一對應的方式，一個圈對應一個數量；隨著認知水平的不斷發展，這時學生懂得將“10 根小棒捆成一捆”表示10，出現了按群計數的方法，這是“十進制進位”的啟蒙；在計數器上表示“26”是一個巨大的飛躍，數字符號在不同的“位”表示基數不同的量。學生“數概念”的建立正是經歷“實物對應—符號累加—位值占位”的過程。

（二）認知邏輯與位值發展

為了讓學生更深入地了解數的發展過程，理解“數概念”的本質，本節課筆者設計了三次用不同的方式表示26：課前讓學生用自己的方式表示26（見表1），旨在尊重學生的學習起點；課上用古人看得懂的方式表示26（見表2），站在歷史的角度感受不同時代的人表示數的過程與方法；課尾用不同進制表示26（見表3），再次理解“進制”與“位值”的概念，凸顯“位值”的價值。學生在數學史料的引領下，用多元的方法表示出26，豐富了認知經驗，把握了數的發展過程。

表2

表3

表2是課上學生用三種不同時代的方式表示26，從學生作品中我們看到了數的發展：有體現遠古時代的一一羅列；有體現古埃及時代的有位無值，但已經有十進制的雛形；還有體現古代算籌的有位有值。原來數是按照“實物對應—符號累加—位值占位”這樣的順序發展的。

續表

表3是課尾借助微視頻介紹，學生用不同進制表示26。通過與“十進制”對比，學生紛紛表示：“十二進制”至少要11 個數字，計數和運算會比“十進制”復雜；“五進制”和“二進制”雖然數字比較少，但是沒有“數位”的要求，在讀數和寫數上會比較麻煩。學生通過對不同進制表示方法再次進行對比，感受到了現代十進制計數法中“位值”的優越性。

二、探因

（一）兒童認知與數的發展歷史

回顧歷史，我們知道數的發展經歷了“實物計數—象形符號計數（不同進制）—位值制計數—阿拉伯數字計數”這樣的發展過程。由于人有10 根手指，所以產生十進制并不難，古埃及數字、中國甲骨文都是采用十進制，但十進制計數法最關鍵的一步是“位值制”。中國古代算籌的出現在計數史上創造了奇跡，它的優越性是顯而易見的：古埃及、古羅馬數字沒有“位值制”，如果要表示大一點的數就相當煩瑣；古巴比倫和瑪雅數字雖然有“位值制”，但用的不是十進制進位，需要19 或59 個數碼，這使計數變得十分復雜，不如9個數碼就可以表示任意自然數的十進位制來得簡捷[1]。但中國算籌的缺點就是沒有表示“0”的符號，只能用“空格”來表示沒有，這樣容易產生混淆。“0”和十進位值制的產生使阿拉伯數系成為當前最簡潔的計數系統，被后人認同并沿用至今。觀察歷史，我們知道“位值制”的發明要比“十進制”晚得多，而“位值”正是小學生在“數的概念”形成過程中難以理解的。

（二）兒童認知與教材體系的安排

教材中“數的概念”教學主要分布在人教版小學數學第一冊、第二冊、第四冊、第七冊，四個階段螺旋上升，經歷了“實物對應—符號累加—位值計數”的過程。可見，“數的概念”形成過程與數的發展史是一致的，尤其“十進制計數法”更是貫穿整個認數過程。

教材中“數的概念”數學史的分布主要在人教版小學數學第一冊介紹古代算籌和古埃及數字，人教版小學數學第四冊從石子計數到算盤記數，人教版小學數學第七冊數的產生及阿拉伯數字的來歷，從“你知道嗎？”板塊來呈現，比較零散，缺乏整體性與連貫性。從學生的心理年齡和思維水平來看，一年級數學史料的呈現比較抽象，學生不能理解古代計數方法與現代所用的計數方法有何關聯，也與數的發展過程脫節，學生無法系統了解數的產生與發展源于人類生活的需要。對此，教師需要將人教版小學數學一至三年級數學史的內容與教材中“數的認識”相關內容進行整合，融文化與知識于一體，引導學生從發展的角度，真正理解數，激發學習興趣，提升文化素養。

三、索果

蔡宏圣教授指出：“歷史呈現了知識的來龍去脈，敘說了人類認識如何步步深入，在抽象的過程中我們就能體會和把握認識提升的關鍵。”[2]了解自然數的起源史，學生可以知道數的發展過程，領悟“十進制計數法”與人有十根手指有密切聯系，感受“位值制”的優勢，真正理解計數系統，站在文化的橋梁上重新思考，進而形成概念脈絡。下面，筆者從以下片段來感受HPM 理念下“數的認識”拓展課上所展現的文化魅力及HPM 視野下的思辯課堂。

（一）在還原歷史的過程中深化理解

走進歷史將使學生從歷史的角度理解數，理解數的產生，認識到古人的智慧。在教學中，筆者用微視頻的形式向學生展示了數的發展過程（如圖1）。

圖1

師：看完視頻，請同學們來分享你看懂了什么。古人是怎樣表示數的？你有什么感受？

生1：原始時代的人捕獲一只羊就擺一個石子，撈到一條魚就在木頭上刻一道刻痕，是用實物來表示數字的。

師：是的，一只羊對一個石頭，一條魚對一道刻痕，數學上我們把這種方法叫作——

生2：一一對應。我知道了，原始時代的人是用一一對應的方法數數的。

生3：我來說說古埃及時代。古埃及時代是用9根小棒表示1～9 的，用一條彎曲的繩子代表10，一條長繩代表100，一朵花代表1000，一根手指代表10000……

生4：我發現古埃及時代懂得了用不同的圖形（符號）來表示更大的數，如整百、整千……

生5：我來說中國古代算籌吧。中國古代算籌有縱式和橫式的區分，縱式、橫式交替使用。

生6：我補充，算籌前面的1 到5，都是一根小棍對應1；6 到9 的擺法就不同，如縱式的7 上面橫的一根代表5，下面2 根代表2，合起來是7。

生7：我知道了數是不斷發展的，古人非常了不起。

……

在以上片段，筆者引導學生走入遠古時代、古埃及時代、中國古代算籌三個時代，讓學生感受數的表示方法，感受數的發展過程中三個重要歷程，讓學生在腦海中形成一條“數的發展”時間軸，展現數學文化的歷史性、多元性、人文性。通過對史料信息的閱讀，我們可以看到，學生能用數學的眼光來觀察信息，用不同的時代語言來表達，用數學的思維來思考，其數學素養顯著提升。

（二）在“思辨”對話中深度學習

數學思維是數學學習的核心。數學課上要有學生的聲音，要有學生不同的聲音，要“百家爭鳴”。本節課筆者抓住歷史發展的關鍵點，創設思辯性的問題，讓學生站在歷史的角度思考，推進學生思維走向深層。

如在筆者提問“對比古代三種數的表示方法，哪種方法更簡潔？”時，學生會出現兩種聲音。

生1：我認為古埃及數字更簡潔，幾個10 就用幾個“∩”表示，幾個1 就用幾個“│”表示，直接累加起來算。

生2：我認為中國算籌更簡潔，只有9 個符號，表達方式是唯一的。

師：兩位同學說得都有道理，那不如我們來場辯論賽吧，認為古埃及數字簡潔的請舉手，認為中國算籌簡潔的請舉手，請用你們的方式來說服對方。

生3：古埃及數字比較麻煩，還要記符號，而且數越大用的符號就越多。

生4：中國古代算籌有縱式和橫式容易混亂。

生5：不如我們來一場比賽吧！用古埃及數字和中國古代算籌分別表示999，誰快就說明誰更簡潔。

全班學生都同意，于是立馬動筆比賽，結果顯示中國古代算籌更快。

師追問：為什么中國古代算籌會更快呢？

生6：因為中國古代算籌有數位的要求，右邊第一位表示幾個1，第二位表示幾個10，第三位表示幾個100，在不同位置上寫的數單位不同，不像古埃及數字每個單位符號不同，還要一個一個畫下來。

這時，又有一位學生質疑：可是中國古代算籌沒有0，那0 怎么表示？遇到10、100、1000 這樣的數怎么辦？

這時全場一片寧靜，陷入沉思……

從以上片段我們可以看出，學生在文化浸潤下能將自己的思考與理解轉化成數學語言表達，呈現“百家爭鳴”的學習場景。學生在意見產生分歧時展開辯論，甚至通過現場比賽來證明，再次感受到“位值”的優越性，并在思維的碰撞中發現了中國古代算籌的缺陷……HPM 視野下的課堂既有思維的暗流涌動，又有語言的交鋒碰撞；既有思路的辨析，又有思路的拓展，由此，思辯對話將課堂學習推向深層。

結 語

數學史是當前小學數學教育改革的一個新領域。學生讀數學史，不僅能厘清知識的來龍去脈，還能通過歷史尋找人類認識曾經走過的彎路、遇到的挫折和困惑，提煉出人類發展中的障礙（這往往是學生的認知難點），感受歷史背后的數學問題、數學思想、數學方法和精神，實現歷史與現實、數學與人文、思想與方法的溝通。相信HPM 理念下的數學課堂教學會更有深度，更有溫度，也更有思維的碰撞。