基于約束擾動觀測器的感應電機魯棒模型預測控制方法

姚陽，楊朝翔

(國網冀北綜合能源服務有限公司，北京 100045)

0 前言

隨著現代工業對電氣傳動系統性能要求的不斷提高，國內外對高性能電機驅動的研究也日益深入。串級控制結構是一種廣泛應用的高性能電機驅動方式，主要包括內環轉矩控制和外環轉速控制。其中，轉矩控制廣泛采用基于模型預測控制(MPC)的各類算法，如通過將MPC與直接轉矩控制(DTC)相結合，有效替代了傳統的線性電流控制策略。文獻[5]提出了一種有限控制集MPC(FCS-MPC)方法，利用一組有限電壓矢量進行優化，每次采樣過程中選擇最佳的電壓矢量，由于直接考慮了逆變器的開關狀態，FCS-MPC的控制性能與經典DTC方法相近。文獻[6]通過引入空間矢量脈寬調制技術，采用連續控制集MPC(CCS-MPC)實現了感應電機的高性能轉矩控制，相較于FCS-MPC方法，CCS-MPC具有轉矩脈動小、諧波失真小等優勢。

除轉矩控制器外，優良的速度控制技術也是高性能電機驅動的關鍵。其中，基于各類觀測器的速度控制方法以其結構簡單、易于實施且性能優良，得到了廣泛應用。文獻[8]基于擴展狀態觀測器(ESO)，提出一種反演滑模控制策略，實現了擾動環境下永磁同步電機的魯棒速度控制。文獻[9-10]基于小增益定理和頻域分析，提出結構簡單、抗干擾性能優良的擾動觀測器(DOB)，實現了感應電機的轉速控制。文獻[11-12]基于奇異攝動理論，在離散時域內設計了相應的DOB，但未對觀測器的魯棒性進行分析。文獻[13]采用Luenberger觀測器，有效減小了MPC方法的穩態誤差，但未考慮參數不確定性的影響。文獻[14]將FCS-MPC與連續時間DOB相結合，提高了FCS-MPC的性能，但未進行離散時域分析。

本文作者針對感應電機(IM)高性能驅動控制方法的需求，基于串級控制結構，提出一種由內環轉矩控制和外環速度控制組成的感應電機魯棒速度控制器。對于內環轉矩控制，在已有CCS-MPC方法的基礎上，通過考慮系統參數隨轉速的變化，基于線性矩陣不等式提出改進的CCS-MPC方法，在保證控制性能相同的前提下降低計算成本。對于外環速度控制，在考慮轉矩限制、力學模型參數不確定性和負載轉矩擾動的情況下，將穩定化MPC與DOB相結合，在離散時域內設計約束DOB，并給出相應的定理和推論，證明所提出的速度控制器的穩定性及其條件。通過物理實驗對所提控制方法進行驗證。

1 IM模型及其運行方式概述

1.1 IM數學模型

靜止坐標系中的IM模型可由公式(1)進行描述：

(1a)

(1b)

其中：、及分別為定、轉子繞組自感及定、轉子繞組互感系數。IM轉矩可表示為公式(2)：

(2)

式中：為極對數；=/。

經典的磁場定向控制通常在同步坐標系中設計控制器。當采用轉子磁鏈定向控制(RFOC)時，公式(1)中的各矢量需轉換至同步坐標系中，例如：

(3)

其中：

進一步，IM轉子轉速由下述不確定模型給出：

(4)

其中：和分別表示轉動慣量和黏滯摩擦系數；表示負載轉矩。負載轉矩和模型參數在實際中通常是不確定的，為便于后續討論，對不確定參數和引入如下假設：

假設1：不確定參數>0和>0屬于如下已知有界集：

1.2 IM運行模式

圖1 采用電池組及逆變器的IM供電模式

(5)

進一步，可得出IM穩態轉矩為

(6)

(7)

其中：表示逆變器的電流極限；表示IM磁通極限；表示IM在安全運行區域內的輸出功率極限，此時逆變器應在極限范圍內工作，=，其中是直流鏈路中電池饋送至逆變器的最大輸出電流。

基于公式(7)，IM的工作區域可分為恒轉矩(CT)區域和恒功率(CP)區域。對于每個區域，最大可用扭矩為()由公式(8)計算：

(8)

(9a)

(9b)

2 轉矩控制器設計

利用公式(3)，應用Euler近似方法獲得IM的離散時間模型：

(+1)=()()+()

(10)

其中：()=()+；=；為采樣間隔；∈，為自然數集。此外，()應屬于如下集合：

2.1 CCS-MPC方法設計

其中：

(11)

(12)

且有：

()=()()+()

(13)

由公式(11)—(13)，給出單步損失函數：

(14)

基于上述公式，可將CCS-MPC的設計歸結為求解如下約束優化問題：

(15)

上述優化問題的解可表示為

(16)

其中：

{-[()()-()]+()}

(17)

為優化問題(15)的無約束解，可通過求解?[(),()]/?()=0得出。

公式(14)中權重矩陣的確定應遵循如下規則：在和轉矩參考值不變的情況下，當穩態控制輸入施加至被控對象時，應使代價函數[(),()]單調減小；然后，通過求解優化問題(15)確保代價函數進一步減小。設()=()-表示狀態跟蹤誤差，將公式(10)與公式(13)相減可得出：

(+1)=()()+[()-]

(18)

令()=，有：

[(),]=(+1)(+1)=

()()()()

(19)

且：

()[()()-]()

進一步，由公式(16)可得出：

[(),()]≤[(),]

因此，代價函數[(),()]單調遞減，且當下述條件成立時，有[(∞),(∞)]=0：

()=[()]()-<0

(20)

可見，權重矩陣應滿足式(20)。

2.2 改進的CCS-MPC設計方法

前述系統矩陣()實際上是隨轉速變化的，這意味著控制器式(17)中的加權矩陣必須通過在每個采樣步中對公式(20)求解得出，計算量大。為降低計算成本，引入基于線性矩陣不等式(LMI)的方法。將公式(20)兩邊乘以,=，得出：

-[()]()>0

(21)

將上式轉化為如下LMI：

(22)

設轉速屬于集合={∣≤≤}，由公式(3)和公式(10)可知，條件(22)關于是仿射的。因此，只需在集合的兩個邊界滿足式(22)，即()>0且()>0。

如果IM具有較小的電阻，則磁通由具有較大時間常數=/的d軸電流產生。此時，可采用移動平均濾波器，使得磁通具有較低的變化頻率。受文獻[16]的啟發，引入如下參考狀態生成器：

此時，公式(17)可修改為

(23)

其中：

式中：增益∈,可由下述過程確定：

(24)

其中：=-(+)；=()。增益矩陣應使得齊次系統(24)具有穩定性。由公式(19)—式(24)可以得出，當滿足如下不等式時，式(24)所示系統具有穩定性：

-[()]()>0

(25)

其中：=diag(,)(>0)且>=。因此，在收斂速度最大化的前提下，最優增益可以通過求解如下優化問題確定：

α>

(26)

式中：

(27)

=

(28)

通過求解上述問題，可以得到最佳增益=()。上述優化問題本質上屬于廣義特征值問題，可以通過MATLAB2014a LMI工具箱YALMIP Solver進行求解。

3 轉速控制器設計

不確定機械系統[式(4)]的離散時間模型可表示為

(29)

(30)

(31)

因此，首先基于無擾動名義模型(29)設計相應的穩定化MPC方法；針對不確定性擾動和轉矩約束條件，設計相應的約束擾動觀測器實現IM轉速魯棒控制。

3.1 基于名義模型的穩定化MPC方法

(32)

(33)

(34)

可見，()集總包含了模型參數及負載轉矩的不確定性。

考慮穩態期望轉速及其相應的輸入參數，依據公式(32)，有：

(35)

(36)

其中：

(37)

(38)

(39)

3.2 約束擾動觀測器設計

(40)

(41)

(42)

圖2 基于經典DOB的魯棒轉速控制器

(43)

進而，閉環系統式(29)、(39)及(43)可表示為

(44a)

(44b)

其中：

(45a)

(45b)

定理1：在假設1的條件下，如果滿足如下兩個不等式，則閉環系統式(45)具有穩定性。

(46a)

(46b)

證明：閉環系統的特征方程可以表示為

(47)

引入雙線性變換=(+1)(-1)，將特征方程()變換至平面，稱為()。對上述連續時間系統直接應用Routh穩定性判據，則當()>0且()>0時：

滿足Herwitz穩定性條件，定理證畢。

為保證魯棒穩定條件式(46)成立，應考慮不確定系統參數以及采樣時間間隔的影響，可以通過假設較小的對問題進行簡化，如推論1所述。

推論1：對于滿足如下條件的

(48)

存在如下參數條件：

(49)

使得在假設1條件下，閉環系統式(29)及式(42)對于不確定性參數具有魯棒性。

圖3 基于穩定化MPC和離散時間DOB的魯棒轉速控制器

圖4表示所提出的基于公式(50)所示的約束DOB的魯棒速度控制器。為避免積分飽和問題，()的積分需滿足如下約束：

圖4 基于穩定化MPC和約束DOB的魯棒轉速控制器

(50)

圖4所示的魯棒速度控制器控制流程如下：

(1)離線過程

①計算滿足公式(20)的權重矩陣和公式(24)相應的增益及；

②求解式(36)所示的優化問題,獲得式(23)所示積分器的增益。

(2)在線過程

③依據式(16)和式(23)計算IM逆變器的控制輸入()，并使用適當的PWM技術將()輸入至逆變器。

4 實驗驗證

為驗證所提出的控制方法，搭建相應的實驗平臺，如圖5所示。實驗采用兩臺相同的IM，其中一臺為受控電機，用以驗證所提出的控制方法，另一臺則提供所需的負載轉矩。所提出的控制算法由微處理器TMS320F28377D執行，逆變器的開關頻率為=1/=10 kHz，并采用分辨率為12 800 PPR的光電編碼器測量電機轉速，采樣間隔為10 ms。表1列出了所采用的IM各項參數。

圖5 實驗裝置

表1 實驗中IM的各項參數

為表述簡潔，采用如下縮略語：

(1)CCS-MPC1：基于名義模型的穩定化MPC，如第2.1節所述；

(2)CCS-MPC2：所提出的改進CCS-MPC，參見第2.2節；

(3)DOB-MPC1：采用經典DOB的穩定化MPC；

(4)DOB-MPC2：所提出的采用約束DOB的穩定化MPC。

圖6 步進信號下轉矩控制器CCS-MPC1及CCS-MPC2的控制性能

圖7 階躍參考轉速下不同參數ρ對應的轉速控制器DOB-MPC1及DOB-MPC2控制性能

圖8 負載轉矩擾動條件下的DOB-MPC2控制效果

5 結論

本文作者將模型預測方法與約束擾動觀測器相結合，在考慮參數不確定性、負載擾動及轉矩限制的基礎上，提出一種感應電機的高性能魯棒速度控制方法。基于串級控制結構，設計了相應的內環轉矩控制器和外環魯棒速度控制器。考慮系統參數隨轉速的變化，基于線性矩陣不等式提出改進的CCS-MPC方法進行內環轉矩控制，在保證控制性能相同的前提下降低了計算成本。針對外環轉速控制，設計一種DOB-MPC控制器，補償了參數不確定性和負載轉矩擾動的影響；同時，考慮電機轉矩限制，利用條件積分器避免了積分飽和問題，通過給出相應的定理和推論，證明了所提速度控制器的穩定性及其條件。物理實驗結果表明：與不考慮轉矩限制的控制器相比，所提控制方法具有更好的瞬態響應，且系統在負載轉矩擾動條件下具有優良的魯棒性。