梁板結構力學行為分析的等幾何方法探究

楊莘浩

（北京林業大學，北京 100083）

梁板結構是較為常見的建筑結構，主要由梁、板等構成，具備較強的抗彎矩、抗剪力能力。隨著近些年建筑事業高速發展，梁板結構應用規模不斷擴大，其相關問題得到越來越多人關注。梁板結構力學行為復雜，如分析不當易產生質量問題，影響梁板結構作用發揮。以往梁板結構力學行為主要采用有限元法分析，雖然能夠滿足基本需求，但過程繁瑣，精度有限。等幾何方法的提出與應用，克服了傳統有限元法的不足，其在梁板結構力學行為分析的應用更具優越性。以下是筆者對等幾何方法及其在梁板結構力學行為分析中應用的幾點體會，意在拋磚引玉。

1 等幾何概述

等幾何分析方法是一種新型分析方法，在高精度結構分析中具有較強優勢。該方法將傳統有限元分析方法和計算機輔助方法相結合，以非均勻有理B 樣條曲線（Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS）的基函數、B 樣條函數、薄板B 樣條函數等作為形函數進行結構優化構造與仿真分析[1]。相對于傳統有限元分析方法而言，等幾何分析方法不用進行網格劃分，可從設計模型中直接讀取幾何數據，利于結構分析效率提升。同時，等幾何分析方法在NURBS 基函數等支持下，魯棒性、高階連續性增強，可在不影響幾何精度的前提下實現高階連續性問題的有效解決[2]。

要想深入了解等幾何分析方法，需要對B 樣條基函數、非均勻有理B 樣條基函數等基本理論具有準確認知。B 樣條基函數是矢量圖形系統中是非重要的曲線類型，屬于分段多項式函數，一般采用Cox-de Boor 遞歸公式進行定義[3]。非均勻有理B 樣條基函數的根本在于B 樣條基函數。我們可通過B 樣條曲線變化得到非均勻B 樣條曲線[4]。相對于B 樣條基函數，非均勻有理B 樣條基函數仿真結果準確性更高，能夠對結構復雜、光滑度高的幾何模型進行詳細、準確描述。

2 梁板結構力學行為分析的等幾何方法

梁板結構為建筑工程中應用較為廣泛的結構，其質量高低對建筑物應用質量與安全存在直接影響。因此，做好梁板結構設計與施工工作至關重要。隨著近些年建筑對個性化重視程度的不斷提高，梁板類型增多，結構復雜程度提高，對力學分析提出了更高要求。將等幾何分析方法應用到梁板結構力學行為分析中可取得較好效果。以下是對曲梁結構與薄板力學行為分析中等幾何方法的分析。

2.1 曲梁結構動靜力學分析

曲梁結構是梁板工程中較為常見的結構，探究其力學行為分析中等幾何方法的應用情況具有非常重要的現實意義。曲梁結構靜力彎曲分析時，某半圓弧曲梁結構彈性模量E 為79100MPa，彎曲半徑R 為100mm，受平面集中載荷。在有限元軟件分析中，劃分的網格單元超過1000 個。在等幾何分析中，經節點向量細化處理后，可利用二階或三階非均勻有理B 樣條基函數進行離散計算[5]。本次研究半圓弧曲梁結構中，節點向量細化產生控制點98 個，利用三階均勻有理B 樣條基函數離散計算，得到控制點102個，抽取50 個點進行對比，發現等幾何分析數值精準度更高，等幾何分析能夠在一定程度上獲取精準度較高的曲梁模型。

2.2 薄板力學行為分析

薄板力學行為分析中應用等幾何分析方法存在一定優勢。實踐操作中，在確定薄板廣義應變與應力關系，確定薄板彈性矩形后，可得到薄板彎曲分析與自由振動分析的弱形式，并獲得基于NURBS 基函數下的似位移場函數，最終得到薄板自由振動離散方程。在此基礎上進行算例分析，已知E=200×109N/m2，v=0.3，h=5cm，板密度=7999kg/m3，受均勻荷載，對比不同節點/控制點有限元分析結果與等幾何分析結果，發現兩者差異較小，如6×6的節點/控制點下，有限元結果為0.00452，等幾何結果為0.00456。

3 等幾何在梁板結構力學中的應用

梁板結構力學行為分析中等幾何分析方法應用較為廣泛，除上述提到的曲梁結構、薄板結構外，大變形梁結構中也具有較好的應用效果，現基于幾個算例就等幾何在大變形梁結構力學中的應用效果進行驗證。

3.1 平面懸臂梁算例

懸臂梁是梁板結構力學分析中較為簡單的一種梁結構。懸臂梁一端為固定端，一端為自由端，在力的作用下，能夠根據平衡情況繪制受力圖，進行結構力學分析。

本次研究中已知懸臂梁彈性模量、泊松比、梁長、端部受力等參數分別為79000MPa、0、1000mm、70N。在有限元軟件分析中，平面懸臂梁劃分網格1000個；在等幾何分析中，二階樣條基函數下得到17 個單元，在三階樣條基函數下得到18 個單元，統計不同階次、不同細化次數下等幾何分析與有限元分析結果（表1）可知，等幾何分析結果與有限元分析結果十分接近，且等幾何分析中，節點向量細化能夠進一步提高計算精確度。加之力學分析中等幾何計算量較少，說明平面懸臂梁結構力學行為分析中等幾何分析方法的應用可在保證計算精準度基礎上，提高計算速度。

表1 等幾何分析下平面懸臂梁最大撓度解與有限元參考解的對比

3.2 空間懸臂梁算例

采用等幾何非線性三維梁分析方法探究空間懸臂梁結構力學行為，已知懸臂梁左端為固定端，右端為自由端，端部受空間荷載，彈性模量、泊松比、梁長、端部受力等參數同上文中的平面懸臂梁。受理分解可知Y 方向荷載約為50N，Z 方向荷載約為50N，因另一個方向荷載相同，所以位移量相同。在有限元軟件分析中，空間懸臂梁劃分網格1000 個；在等幾何分析中，二階NURBS 基函數與三階NURBS 基函數下，分別得到17 個單元與18 個單元，對比有限元分析與等幾何分析結果，發現P=2 時，截面半徑分別為5mm、6mm、7mm、8mm、9mm、10mm 的等幾何分析下空間懸臂梁最大撓度解為325.8、189.4、108.0、64.3、40.4、26.5，P=3 時等幾何分析下空間懸臂梁最大撓度解為328.8、190.0、108.1、64.4、40.4、26.6，近似于有限元分析結果（328.2、189.8、108.1、64.4、40.4、26.6），說明在空間懸臂梁結構力學分析中，等幾何分析方法具有適用性。

3.3 兩端固支直梁算例

兩端固支直梁是較為常見的一種梁結構，梁結構的兩端搭在兩個支撐物上，以鉸接形式連接，荷載通常垂直于梁軸線。假設兩端固支直梁荷載均勻分布，彈性模量在20.69 萬MPa 左右，梁長為2.54m，泊松比為0.25，均布荷載為每毫米3N。當荷載相同長細比不同時，有限元分析結果與二階、三階等幾何分析結果見圖1。由圖3 可知，兩種分析方法計算結果相當，說明等幾何分析方法在兩端固支直梁結構力學分析中可獲得較好應用效果。與此同時，等幾何分析結果受長細比變化影響較大，且隨著控制點增加，計算精度不斷提高。

圖1 有限元分析與不同階次等幾何分析結果對比圖

3.4 淺拱梁算例

已知某淺拱梁圓弧長度為1.27m，曲率半徑約為2.4m，彈性模型與泊松比分別為20.68 萬MPa、0.25。淺拱梁兩端均為固定端，受30N/mm 均勻垂直荷載。

在有限元軟件分析中，淺拱梁劃分網格單元1200個以上，在等幾何分析中，二階樣條基函數與三階樣條基函數下分別劃分單元97 個與100 個，選取部分計算結果進行對比分析。

結果顯示：截面半徑為15mm、16mm、17mm、18mm、19mm、20mm 時，有限元參考解分別為2.16、1.86、1.62、1.41、1.25、1.10，P=2 的等幾何最大撓度解分別為2.15、1.85、1.61、1.40、1.24、1.10，P=3 的等幾何最大撓度解分別為2.16、1.86、1.61、1.41、1.24、1.10。

可見等幾何分析結果近似于有限元分析結果，證明等幾何分析方法適用于淺拱梁結構力學分析中，且能夠在保證計算結果準確的情況下，提高計算速度，綜合應用價值較高。

4 結論

在傳統有限元分析法與計算機輔助仿真分析法有機結合下，等幾何在結構力學行為分析中表現出較強優勢。

本研究將等幾何方法應用到曲梁結構、薄板結構、大變形結構等梁板結構力學行為分析中，結果顯示等幾何方法利于數值計算精度、分析效率等提升，說明等幾何方法適用于梁板結構力學行為分析中，可為梁板結構設計與應用提供可靠分析依據。

對此，相關工作人員應加強對等幾何方法的重視，能夠在研究中不斷完善與優化等幾何方法，并將其科學、有效地運用到實踐中，促進結構分析質量與效率提升。