基于翻轉課堂模式的三重積分教學研究

王艷華 潘志剛

1.成都錦城學院 四川成都 611731；2.西南交通大學數學學院 四川成都 611756

一、翻轉課堂教學模式的內涵及其實施的必要性

生活在流量時代的當代大學生，在層出不窮的QQ、微信等APP的出現中潛移默化地改變著他們的思維方式和學習習慣。絕大多數的學生大部分時間會利用這些智能終端瀏覽網頁獲取信息，完成知識的內化。因此，互聯網作為資源共享與信息交互的載體使得傳統的大學教育教學體制受到嚴重挑戰。整合教學資源，推行翻轉課堂教學模式符合當代大學生的學習習慣，有助于激發學生學習興趣，提高教學效率，以強化學生的核心專業素養，進而實現新時期人才的培養目標。

翻轉課堂，一般被稱為“翻轉課堂式教學模式”，翻譯于英文“Flipped Class Model”。傳統的教學模式，即老師在課堂上講課，布置家庭作業，讓學生回家練習。在“翻轉課堂式教學模式”下，教學與傳統的課堂教學模式開始變得不同，學生在家完成知識的學習，而課堂則變成了老師與學生之間、學生與學生之間互動的場所，包括答疑解惑、探討知識的來源及運用等，從而達到更好的教育效果。互聯網的普及和計算機技術在教育領域的應用，使“翻轉課堂式教學模式”變得可行和現實。課堂上同伴間的互助教學能促進知識的內化吸收，使得學習正確率增加一倍。而翻轉課堂正是順應了這一趨勢。簡單地講，翻轉課堂是幫助學生完成知識內化的一種新興教學模式。它將具體的知識點作為獨立的課程內容，組織課前準備，課中學習與課后反饋等一系列教學活動，旨在將主要的知識傳遞于課堂之外，使得學生在課堂之內主動進行探究、交流、反思等翻轉學習活動。相較傳統的教學活動而言，翻轉課堂教學模式下的教育教學賦予了每一位學生自我表達的權利，課堂活動不再是簡單單一的理論傳授，更多的是學生思維的啟發，整個課堂呈現的是一種活躍思維碰撞的熱鬧場面，從而強化學生的核心素養。

翻轉課堂教學模式已經在國內外部分高校使用，并取得良好的教學效果。將翻轉課堂融入高等數學的教學，學生的學習成績、學習環境、創新意識及學習積極性都有不同程度的提升；另外翻轉課堂所實施的資源共享，更使得各地域的學生都可以享受到同等的教學資源。

二、翻轉課堂教學模式應用案例分析

“高等數學”包括極限、微積分、空間解析幾何、向量代數、級數、常微分方程等主要內容。相對于初等數學而言，數學的對象及方法都較為繁雜。“高等數學”教學不同于其他學科，它是一門要求學生多動腦思考，多分析推理，多動筆計算的邏輯性極強的一門學科。三重積分作為大學本科課程“高等數學(下)”的一個教學內容，是定積分思想和理論在多元函數情形下的推廣。三重積分的計算需要將其化成累次積分，雖然教材中給出了計算公式，但要具體實現公式的計算，需要學生具有較強的幾何直觀能力，又需要靈活的選擇計算公式和方法，這就要求學生在此知識內容的學習過程中非常主動投入。而很多學生學習“高等數學”時感覺晦澀難懂，定積分和二重積分的計算已經讓他們感覺焦頭爛額，再加上學生經歷嚴峻高考過后，相當一部分同學一下子松懈了下來，學習積極性變差，目的不明確，教師再考慮到教學內容多，課時安排少，學生數學基礎參差不齊等原因，在教學三重積分過程中往往無法講授透徹，甚至對此部分教學內容進行舍棄。這些實際問題都使得學生在學習三重積分時困難重重，備感艱難。席卷全球成為教育界關注熱點的翻轉課堂模式為大學生提供了一種自主合作的學習形式，更好地解決了學生積極性不高、參與程度低等問題。因此，本文將基于翻轉課堂模式，對三重積分的教學內容進行探討，以期提高學生學習三重積分的效率，培養學生分析和解決問題的能力。翻轉課堂是一種新的教與學的模式，對于老師和學生都是一種挑戰！如何設計三重積分的教學內容以實施翻轉課堂的教學方法？以下將結合平日教學特點設計如下具體教學內容，以期將翻轉課堂功能發揮至最大。

(一)課前準備，設置引導性問題

在學習三重積分之前，學生已有定積分、二重積分教學內容基礎：定積分概念的引入可以講到日耳曼著名天文學家Kepler的三大行星定律，其中第二大定律就是太陽到行星的向徑在相同時間內所掃過的面積相等，當時就是利用“分割近似求和”的思想，這正是定積分思想早期的萌芽，接著為解決曲邊梯形面積問題以及做變速直線運動的物體在某一時段[，]內所運動的路程問題；二重積分概念的引入為解決曲頂柱體體積問題，二者在解決問題時均采用了同一思想：分割、近似、求和、取極限。那么為了激發學生學習三重積分的熱情，這里可拋出引導性疑問：三重積分是為了解決什么實際問題？在解決實際問題時又采用了怎樣的思想？通過定積分概念的背景導入，既讓學生了解了這個背景，又增添了課堂趣味，大大激發了學生學習的興趣。要通過翻轉課堂引導學生從不同的實例中分析數學思想上的共性，然后得出抽象的數學概念，而這正是學習數學尤其是基礎數學的關鍵所在；同學們思考三重積分的引入是否和定積分、二重積分一致呢？它們有什么共同特征？

提問：設在空間有限閉區域Ω內分布著某種不均勻的物質，密度函數為(，，)，求分布在Ω內的物質質量。

分割：將空間有限閉區域Ω分割成個小閉區域，，…。

近似：第小塊不均勻閉區域近似看成均勻物質，則其質量計算為=(，，)。

至此，學生通過自主學習已知道三重積分的概念是因何引入，反復提到的“分割、近似、求和、取極限”思想讓學生清楚地認識到定積分、二重積分、三重積分三者之間的一脈相承，通過對比分析，學生更有信心進入下一個教學環節的學習中去。

(二)課前視頻學習，注重分析重點問題

共享教學資源是教學工作開展的基礎。翻轉課堂打破傳統課堂在教學資源的單一性，通過教學視頻平臺和信息技術支持，把分散的教學資源聚合在一起，為教學主體提供最優質服務。翻轉課堂教學模式的關鍵在于制作微視頻。視頻一定要做到短而精，既要通俗易懂又要主題鮮明，這樣既符合了當代大學生學習認知的規律，又保證了學生隨時隨地進行學習的靈活性，有效地達到了見微知著的效果。

“三重積分的概念與計算”作為三重積分的第一堂課，可制作兩個教學微視頻，即三重積分的概念和三重積分在直角坐標系下的計算。為保證學生對視頻講解內容產生興趣、主動吸收消化其中的知識點，教師制作微視頻時務必要使其具備美感，錄制使用的語言盡量生動活潑。在上課之前，教師將已做好的微視頻發布到教學平臺，學生可根據自身情況進行重復觀看。

學生是否觀看了微視頻，是否理解了微視頻中的教學內容，這些都是翻轉課堂是否順利開展的重要依據。因此教師有必要檢測學生在課堂前的學習情況。可通過如下練習進行測試：

直角坐標下計算三重積分的方法有兩種：投影法和截面法。此練習向學生明確了本堂課的教學內容，有助于加深三重積分計算方法及其運用的理解。在此測試中，要求學生將自己不明白的、計算過不去的地方作上標記，以便后期課堂中進行重點討論。

(三)課堂探究，深化理論認知

此堂課的重中之重為三重積分在直角坐標系下的計算。結合學生的實際情況可提出具有探究意義的問題在課堂進行分析討論以鞏固學習目標：(1)三重積分在直角坐標系下的計算方法有哪些？(2)每種計算方法的解題步驟是哪幾步？

學生根據提問，以6人為單位的小組進行討論，分工合作給出回答，這既促進了學生嚴謹的數學語言表達能力，也在無形中提高了學生主動學習、主動應對問題以及面對問題時的解決分析總結能力，這對學生以后無論是面對生活還是面對工作都大有裨益。

以投影法為例，投影法實則先一后二法，即將三重積分轉化為先一重積分后二重積分形式：

可是其中，(，)，(，)該如何確定呢？這至關重要。投影法顧名思義就是要先找到給定幾何體的投影，具體思路如何？此時教師可一步一步地引導學生思考，學生結合自身微視頻的學習在小組討論中積極發表自己的想法，從而在探討中總結得出相應的結論。

截面法則是先二后一法，即將三重積分轉化為先二重積分后一重積分形式：

在計算一些實際三重積分問題時，有時候用投影法會計算量很大，甚至可能積分困難計算不出來，此時如果采用截面法則會極大地簡化計算過程。此時教師可提問：什么時候使用截面法？什么時候使用投影法？通過提問引導學生進行深入思考：如果三重積分中被積函數與,無關，用平行于坐標面的平面去截空間閉區域，所得截面面積比較容易計算，此時可以優先采用截面法。而在其他情況，即被積函數與有關，則通常選用投影法進行計算。

課堂的后半段，教師應該對表現不錯的小組給予肯定表揚，對三重積分的計算及解題步驟進行梳理、總結和提升，最大化師生面對面的教學效率。反復提及闡述本課堂的教學目標，有助于本堂課知識的內化，也讓學生意識到做好課前必需充分的準備，才能在翻轉課堂中達到預期的教學效果，促使學生在下堂課前進行充分的學前研究。

(四)課后總結及鞏固練習

有限的課堂時間沒法保證所有學生學習透徹，因此課后總結及鞏固練習也是非常關鍵的。此時微視頻作為移動學習工具，能輔助學生在課堂探究之余再次學習，結合小組討論及教師梳理，相信一定能做到知識內化。同時還需布置相應練習題，強化學生的理論應用與實踐能力，檢驗學生的學習效果。因此本堂三重積分教學下來需布置如下習題供學生進行鞏固練習：利用合適的坐標計算下列三重積分。

結語

綜上所述，以上設計環節符合翻轉課堂的教學特點，在教學實踐中效果不錯，學生反應良好，既實現了學生的高效自主學習，又引領學生進入了一個全新的課堂境界。翻轉課堂設計真正做到了“以人為本，以生為本”，做到了學生自己掌控學習節奏，實現跨空間跨時間的自主學習。但該教學模式自身存在的缺陷也是不容忽視的：(1)需要建立在學生具有較強的自學能力以及較好的自律性，而這正是大多數學生所缺乏的；(2)需要教師具有較好的計算機操作能力，這對于某些教師或者某些地區的硬件資源是嚴重的考驗；(3)需要教師搜集更多的教學資源，勢必會占用更多的工作時間，而且務必保證教學資源的準確性，否則無法及時傳遞。

因此，將翻轉課堂模式引入三重積分乃至整個高等數學內容，作為傳統模式教學的一個有益補充，將有助于提高學生的運算能力、總結分析能力及邏輯思維能力，以期完善學生的專業素養，達到新時期人才的培養要求。