Stewart式六維力傳感器輕量化設計

王 晨，高 波，楊 旭

（1.陜西工業職業技術學院航空工程學院，陜西 咸陽 712000；2.中國航天科技集團公司陜西電器研究所，陜西 西安 710065；3.北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）

六維力傳感器能實現對空間力學環境的實時監控，有效地解決空間復合力測量問題。常見的六維力傳感器按結構可分為Stewart式和一體式。其中，Stewart式六維力傳感器具有量程大、精度高和質量小等優點，被廣泛應用于航空航天領域。

2003年，燕山大學的趙現朝［1］對Stewart式六維力傳感器的性能指標定義、樣機設計及靜力標定等進行了詳細研究。2008年，浙江大學的王宣銀等［2］提出了一種新型的Stewart式六維力傳感器標定方法。2009年，燕山大學的姚建濤等［3］設計了一種大量程預緊式六維力傳感器。2017年，陜西電器研究所的劉曉宇等［4］、高波等［5］設計了一款基于局部去耦的重載型Stewart式六維力傳感器。然而，目前針對Stewart式六維力傳感器的研究主要集中在其精度、各同向性等方面［6-9］，雖有關于其質量方面的理論分析，但缺乏工程應用層面的研究。

鑒于高強度、輕量化為航空航天設備的重要技術目標，筆者擬通過理論推導、數值仿真及實驗驗證相結合的方式，在滿足Stewart式六維力傳感器靈敏度和剛度要求的基礎上，設計一種新型的減重結構，以實現其輕量化設計。

1 Stewart式六維力傳感器各向同性優化設計

Stewart式六維力傳感器是由上、下加載盤和6個支路傳感器（通常每個支路傳感器均看作“二力桿”）組成的裝配體。其中，上、下加載盤為主要支撐部件，支路傳感器為彈性敏感元件。如圖1所示，決定Stewart式六維力傳感器性能的主要參數為支路傳感器與上、下加載盤的鉸接點到對應加載盤中心的距離R2、R1，支路傳感器在上、下加載盤上的定位角φ2、φ1以及上、下加載盤中心之間的距離Hc［10-12］。圖中：ui、Ui（i=1，2，…，6）為各支路傳感器與上、下加載盤的鉸接點。

圖1 Stewart式六維力傳感器結構簡圖Fig.1 Structural diagram of Stewart type six-axis force sensor

根據螺旋理論，建立各支路傳感器的軸向力與作用于上加載盤中心的力和力矩的平衡方程：

式中：fi為第i個支路傳感器的軸向力；li為第i個支路傳感器軸線指向坐標系原點（以上加載盤中心為原點構建坐標系）的單位矢量；Fw、Mw分別為作用于上加載盤中心的力和力矩，

將式（1）簡化為矩陣形式，可表示為：

式中：F為廣義外力矢，F=［FwMw］；G為Stewart式六維力傳感器的一階靜力影響系數矩陣；f為支路傳感器反作用力矩陣。

研究表明，Stewart式六維力傳感器的一階靜力影響系數矩陣G僅與其結構參數R2、R1、φ2、φ1及Hc有關。若G非奇異，則G可逆，即有：

式中：J為Stewart式六維力傳感器的雅克比矩陣；G1、G2和J1、J2分別為Stewart式六維力傳感器的一階力/力矩影響系數矩陣和力/力矩雅克比矩陣。

則廣義外力矢F與支路傳感器反作用力f的關系可表示為：

由此可得，Stewart式六維力傳感器所受力/力矩的各向同性度及其靈敏度的各向同性度為：

式中：η1、η2和η3、η4分別為Stewart式六維力傳感器所受力/力矩的各向同性度及其靈敏度的各向同性度。

以Stewart式六維力傳感器所受力/力矩的各向同性度及其靈敏度的各向同性度為主要參數，建立其綜合性能目標函數：

式中：k1、k2和k3、k4分別為力/力矩的各向同性度η1、η2及其靈敏度的各向同性度η3、η4的權重系數，權重矩陣k=[k1k2k3k4]；φ12為支路傳感器在上、下加載盤上的定位角之差。

結合式（7）所示的Stewart式六維力傳感器各結構參數的約束條件，利用MATLAB工具箱對所構建的綜合性能目標函數［13］進行優化求解，得到該傳感器各向同性度理論最優時的結構參數。

表1所示為Stewart式六維力傳感器各向同性度理論最優時的結構參數，其理論最優各向同性度如表2所示。

表1 Stewart式六維力傳感器各向同性度理論最優時的結構參數Table 1 Structural parameters of Stewart type six-axis force sensor with optimum theoretical isotropy

表2 Stewart式六維力傳感器的理論最優各向同性度Table 2 Theoretical optimum isotropy of Stewart type sixaxis force sensor

根據表1所示的結構參數以及表3所示的量程，制作Stewart式六維力傳感器的初始樣機，其主要由上加載盤、下加載盤和支路傳感器（鉸座、彈性體及去耦件）組成（不計外部濾波放大組件），如圖2所示。

表3 Stewart式六維力傳感器量程Table 3 Range of Stewart type six-axis force sensor

圖2 Stewart式六維力傳感器初始樣機Fig.2 Initial prototype of Stewart type six-axis force sensor

2 Stewart式六維力傳感器有限元模型構建

鑒于Stewart式六維力傳感器為裝配體，其組件數量較多且約束關系復雜，故采用Pro/E軟件建立其三維模型，并以SAT文件格式導入ABAQUS有限元分析軟件。在ABAQUS軟件中進行約束關系設置時，為更接近實際Stewart式六維力傳感器各組件間的連接方式，采用Tie約束。

網格設置會直接影響數值仿真的可靠性。由于所設計的Stewart式六維力傳感器的組件均以圓柱體或圓槽形結構為主，其尺寸為30～100 mm，為提高數值仿真的計算時效性和準確性，選取四面體二次單元C3D10M作為各組件的主要單元。對傳感器整體采用自由網格劃分技術，對彈性體應變測量區采用掃瓊網格劃分技術。上、下加載盤的材料為超硬鋁7A04，支路傳感器（鉸座、彈性體及去耦件）的材料為鈦合金TB9。為滿足計算精度要求，對Stewart式六維力傳感器有限元模型進行網格密度影響無關性分析，結果如圖3所示。

圖3 Stewart式六維力傳感器有限元模型的網格密度影響無關性分析結果Fig.3 Analysis results of grid density influence independence of Stewart type six-axis force sensor finite element model

由圖3可知，當近似全局尺寸小于4 mm時，Stewart式六維力傳感器有限元模型的計算精度不受網格密度的影響，最終共生成150萬個C3D10M網格單元，劃分效果如圖4所示。此外，外力矢的傳導是通過上、下加載盤的螺孔和銷孔實現的，為更接近真實的力矢傳導，采用梁約束方式進行等效，并在下加載盤的螺紋處施加固支約束，完成荷載狀態設置。

圖4 Stewart式六維力傳感器有限元模型Fig.4 Finite element model of Stewart type six-axis force sensor

3 Stewart式六維力傳感器初始樣機性能分析

利用所構建的Stewart式六維力傳感器有限元模型，計算其初始樣機在不同工作荷載下的強度、剛度和靈敏度，同時參照設計要求對其剛度和靈敏度進行測試，對比結果如表4所示。表中：σmax為最大應力，εmax為最大應變，σeav為彈性體工作區的平均應力，KF為拉壓剛度，KM為扭轉剛度，T為靈敏度。值得注意的是，相同荷載工況下，上、下加載盤的應力僅為彈性體應力的7%～12%，故不計入統計。由表4可知，通過數值仿真得到的Stewart式六維力傳感器初始樣機的最大應力遠小于材料的屈服極限1 050 MPa，無論是仿真剛度還是實測剛度均遠大于設計要求，靈敏度遠小于最佳靈敏度2 mV/V。

表4 Stewart式六維力傳感器初始樣機的性能對比Table 4 Performance comparison of initial prototype of Stewart type six-axis force sensor

經實測，Stewart式六維力傳感器初始樣機的質量為6.437kg，其質量分布如表5所示。由表5可知，Stewart式六維力傳感器初始樣機的上、下加載盤質量占總質量的77.54%，而支路傳感器（鉸座、彈性體及去耦件）和標準件（螺釘、螺母）的質量僅占22.46%。

表5 Stewart式六維力傳感器初始樣機的質量分布Table 5 Mass distribution of initial prototype of Stewart type six-axis force sensor

綜上可知，Stewart式六維力傳感器初始樣機的剛度過大、靈敏度欠佳且加載盤質量占比高。考慮到支路傳感器結構復雜，結合濺射工藝、加工工藝和生產成本，選取上、下加載盤作為傳感器輕量化設計的主體。

4 Stewart式六維力傳感器加載盤輕量化設計

4.1 加載盤尺寸參數優化

Stewart式六維力傳感器初始樣機中上、下加載盤的主要尺寸參數如圖5和圖6所示。

圖5 上加載盤半剖視圖Fig.5 Half-section diagram of upper loading plate

圖6 下加載盤半剖視圖Fig.6 Half-section diagram of lower loading plate

由圖5和圖6可知，上加載盤的可優化參數為通孔直徑φ1（初始值為182 mm）及沉臺深度H1（初始值為2.5 mm），下加載盤的可優化參數為通孔直徑φ2（初始值為202 mm）及沉臺深度H2（初始值為2.5 mm）。因此，下文主要分析加載盤尺寸參數φ1、φ2、H1和H2對 Stewart式六維力傳感器強度、剛度及質量的影響。

由于機械接口、制造工藝等因素的影響，尺寸參數φ1的可優化范圍為182～188 mm，φ2的可優化范圍為202～212 mm，H1的可優化范圍為2.5～8.0 mm，H2的可優化范圍為2.5～5.0 mm。經分析計算可知，φ1、φ2對Stewart式六維力傳感器質量的影響不到2.2%，對剛度的影響不到1.5%，而H1、H2對質量的影響達13%～15%。因此，設定φ1=188 mm，φ2=212 mm，分析H1、H2對 Stewart式六維力傳感器強度、剛度和質量的影響規律。為便于分析，定義K1和K2分別為：

式中：KFx、KFy、KFz分別為沿x、y、z方向的拉壓剛度；KMx、KMy、KMz分別為沿x、y、z方向的扭轉剛度。

根據H1、H2的可優化范圍，利用ABAQUS軟件對Stewart式六維力傳感器在不同H1、H2下的強度（滿量程、全荷載作用下的最大應力）、剛度（拉壓剛度K1和扭轉剛度K2）和質量進行數值仿真分析，結果如圖7至圖10所示。

圖7 H1、H2對Stewart式六維力傳感器最大應力的影響Fig.7 Effect of H1,H2on maximum stress of Stewart type six-axis force sensor

圖8 H1、H2對Stewart式六維力傳感器拉壓剛度的影響Fig.8 Effect of H1,H2on tension stiffness of Stewart type six-axis force sensor

圖9 H1、H2對Stewart式六維力傳感器扭轉剛度的影響Fig.9 Effect of H1,H2on torsional stiffness of Stewart type six-axis force sensor

圖10 H1、H2對Stewart式六維力傳感器質量的影響Fig.10 Effect of H1,H2on mass of Stewart type sixaxis force sensor

由圖7至圖10可知，隨著H1、H2的增大，Stewart式六維力傳感器的最大應力不斷增大，而其剛度和質量不斷減小。根據其設計要求，H1、H2可分別優化為4.5 mm和4.0 mm。優化后Stewart式六維力傳感器的最大應力為987.6 MPa，拉壓剛度KFx=0.672 5×108N/m，KFy=0.653 1×108N/m，KFz=1.057 7×108N/m，扭轉剛度KMx=1.167 5×106Nm/rad，KMy=1.003 1×106Nm/rad，KMz=1.756 8×106Nm/rad，質量為5.991 kg。

4.2 加載盤減重結構優化設計

Stewart式六維力傳感器上、下加載盤的原減重結構如圖11所示。

圖11 原加載盤減重結構示意Fig.11 Schematic diagram of original weight reduction structure of loading plate

由圖11可知，Stewart式六維力傳感器加載盤減重結構為分布于加載盤上端面的單層矩形槽，該結構可加工性較好且抗拉壓能力強，但抗扭轉性較差、質量分布均勻性欠佳及質量利用率低。為改善上述問題，須對加載盤減重結構進行優化設計。鑒于球形結構具有良好的抗拉壓/抗扭轉能力且抗各向變形的同性度高，以及正四面體具有良好的結構穩定性，設計了一種具有一定對稱性的“半球形”減重結構，如圖12所示，即以半球形區域（半徑為R）作為材料移除部位，4個半球形區域位于正四面體的4個頂點處，共同構成一個半球形減重單元，正四面體的高度等于優化區域厚度。半球形減重結構除具有球形結構和正四面體的優點外，還可改善加載盤的質量分布狀態，提高了其質量分布的均勻性。

圖12 半球形減重結構示意Fig.12 Schematic diagram of hemispherical weight reduction structure

由加載盤結構可知，上、下加載盤可優化區域為圓環形區域，考慮到工藝需求及加工的可行性，上加載盤可優化區域為直徑等于182～308 mm的圓環狀區域，下加載盤可優化區域為直徑等于202～364 mm的圓環狀區域。結合加工效率，針對上、下加載盤各提出2種優化方案。為方便分析，在加載盤端面環形區域標記等間距圓（定義為位置圓），如圖13所示。半球形區域的球心均布于位置圓上，同時為保證半球形減重單元的正四面體特性，加載盤上、下端面位置圓的數量相差1。將位置圓1（基準）定義在位置圓個數為奇數的加載盤端面上，其半徑等于環形優化區域最小半徑與最大半徑之和的一半；相鄰位置圓之間半徑差等于正四面體邊長。同理，可確定位置圓個數為偶數的加載盤端面上的減重結構。

圖13 半球形減重結構位置圓定義Fig.13 Definition of position circle of hemispherical weight reduction structure

1）上加載盤優化方案1。

上加載盤的優化方案1為：上加載盤上端面設置3列等間距半球形減重單元，下端面設置4列等間距半球形減重單元，如圖14所示。

圖14 上加載盤優化方案1Fig.14 Optimization scheme 1 of upper loading plate

2）上加載盤優化方案2。

上加載盤的優化方案2為：上加載盤上端面設置4列等間距半球形減重單元，下端面設置5列等間距半球形減重單元，如圖15所示。

圖15 上加載盤優化方案2Fig.15 Optimization scheme 2 of upper loading plate

3）下加載盤優化方案1。

下加載盤的優化方案1為：下加載盤上端面設置4列等間距半球形減重單元，下端面設置5列等間距半球形減重單元，如圖16所示。

圖16 下加載盤優化方案1Fig.16 Optimization scheme 1 of lower loading plate

4）下加載盤優化方案2。

下加載盤的優化方案2為：下加載盤上端面設置5列等間距半球形減重單元，下端面設置6列等間距半球形減重單元，如圖17所示。

圖17 下加載盤優化方案2Fig.17 Optimization scheme 2 of lower loading plate

取半球形區域半徑為設計變量，參照4個優化方案，依據設計要求建立Stewart式六維力傳感器加載盤結構參數的優化數學模型：

式中：V為加載盤體積。

根據上、下加載盤的優化方案，利用ABAQUS軟件對加載盤減重結構不同的Stewart式六維力傳感器進行仿真分析，具體過程如圖18所示。

圖18 加載盤減重結構優化設計過程Fig.18 Optimization design process of loading plate weight reduction structure

設半球形區域半徑的初始值為10 mm，以0.1 mm為間隔依次遞減；加載盤材料為7A04，網格單元為C3D10M，網格單元尺寸為4 mm；螺釘、銷釘處施加固定約束，利用MPC模塊中的梁約束進行外荷載施加等效設置，荷載值參見表2，仿真至最大應力、剛度不滿足設計要求時結束。經反復驗證，最終確定上加載盤采取優化方案1，下加載盤采取優化方案2，即上加載盤半球形區域半徑取8.2 mm，下加載盤半球形區域半徑取7.8 mm。優化后上、下加載盤的端面結構如圖19所示。

圖19 優化后的加載盤端面結構示意Fig.19 Schematic diagram of end face structure of loading plate after optimization

優化后Stewart式六維力傳感器的質量為5.216 kg，相較于優化前下降了18.97%。通過仿真可得其主要性能如表6所示。

由表 6 可知，在單向力/力矩（Fx、Fy、Fz、Mx、My、Mz）作用下，相較于優化前，優化后Stewart式六維力傳感器，最大應力依次變化了11.98%，10.89%，10.43%，14.96%，-5.17%和8.64%，平均應力依次變化了8.46%，12.13%，8.91%，13.19%，-3.31%和8.12%，剛度依次變化了-7.42%，-5.84%，-16.57%，-12.07%，-7.16%和-10.53%，靈敏度依次變化了12.50%，16.00%，15.71%，20.34%，-2.79%和12.51%。

表6 優化后Stewart式六維力傳感器的性能Table 6 Performance of Stewart type six-axis force sensor after optimization

圖20所示為優化后Stewart式六維力傳感器在滿量程、全荷載作用下的應力云圖。由圖可知，優化后其最大應力為930.4 MPa，滿足設計要求（小于1 000 MPa）。

圖20 優化后Stewart式六維力傳感器的應力云圖Fig.20 Stress cloud diagram of Stewart type six-axis force sensor after optimization

5 Stewart式六維力傳感器優化樣機性能實驗與分析

參照優化結果，制作Stewart式六維力傳感器優化樣機，如圖21所示。

圖21 Stewart式六維力傳感器優化樣機Fig.21 Optimized prototype of Stewart type six-axis force sensor

5.1 質量分析

對Stewart式六維力傳感器優化樣機進行整機質量測定，可得優化后的整機質量為5.738 kg，相較于初始樣機（整機質量為6.967 kg，含約0.530 kg的外部放大組件）下降了17.65%，滿足設計要求（小于6.000 kg）。

5.2 靜態標定及測量誤差分析

假設Stewart式六維力傳感器為線性系統，則其靜態標定實質上是利用施加的廣義力F和通過采集卡采集的6個輸出信號所構成的向量組U求得標定矩陣C［14-15］，C=F(UTU)-1UT。

為此，研制了專用的Stewart式六維力傳感器標定裝置（滿足宇航產品技術指標實驗要求），如圖22所示，其主要由校準中心臺、S型力傳感器、滑輪、螺紋加力組件及加載盤構成。

圖22 Stewart式六維力傳感器標定裝置Fig.22 Calibration device of Stewart type six-axis force sensor

在特制的標定裝置上對Stewart式六維力傳感器優化樣機進行標定，具體步驟如下［16］：

1）參照校準中心臺上的位置標記，使用力矩扳手將傳感器優化樣機安裝至校準中心臺上。

2）傳感器優化樣機按規定激勵電源供電（±12 V）并預熱30 min，顯示儀表等預熱15 min以上。

3）在傳感器優化樣機量程范圍內選6個測量點（包含零點和滿量程點）。

4）針對6個方向（沿x、y、z軸向和繞x、y、z軸旋轉方向），完成傳感器優化樣機的加載與記錄，每個方向上需完成3次有效加載與記錄。加載方式為：將荷載按測量點從零逐漸加載至滿量程，然后減小至零，再逐漸增加至負方向滿量程，然后減小至零，完成一個測試循環。到達各加載點時保持5～10 s后記錄相應的輸出值（每個方向正式標定前須按上述方法預加載3次）。

5）采用最小二乘法求解得到3組標定矩陣并進行平均化處理，最終得到平均標定矩陣。

6）參照不同使用工況進行耦合補償，得到各工況下的（標準）標定矩陣。

式（11）為求解得到的常溫常壓狀態下優化后Stewart式六維力傳感器樣機的標定矩陣C：

通常以Stewart式六維力傳感器的標定誤差矩陣作為其單維精度和維間耦合的度量。單維精度由Ⅰ類誤差表示，即測量力/力矩與實際施加力/力矩的差值，其為標定誤差矩陣中的對角線元素；維間耦合由Ⅱ類誤差表示，由非對角線元素表示不同維間耦合程度。標定誤差矩陣δ［17-18］可表示為：

式中：Fs為施加于Stewart式六維力傳感器的6×6維標定力/力矩矩陣；Fj為基于標定數據理論計算得到的6×6維力/力矩矩陣；Fk為由各維滿量程力/力矩構成的6×6維對角矩陣。

結合式（2）、式（11）和式（12），求得Stewart式六維力傳感器優化樣機的標定誤差矩陣δu：

由式（13）可知，對于Stewart式六維力傳感器優化樣機，其x、y、z方向的力測量精度分別為0.97%，0.89%和1.34%，其x、y、z方向的力矩測量精度分別為0.58%，0.46%和0.33%，最大I類誤差為1.34%，出現在z方向上。其中：當加載My時，x方向上產生的維間耦合誤差為2.48%；當加載Mz時，y方向上產生了2.72%的維間耦合誤差，維間耦合較明顯。綜上可知，Stewart式六維力傳感器優化樣機的測量精度為2.72%，滿足設計要求。

5.3 剛度及靈敏度分析

按照國家軍用測試標準，對Stewart式六維力傳感器優化樣機進行剛度及靈敏度測試，結果如表7所示。由表7可知，相較于初始樣機，Stewart式六維力傳感器優化樣機在單向力/力矩（Fx、Fy、Fz、Mx、My、Mz）的作用下，其剛度依次變化了-7.34%，-5.61%，-16.15%，-12.13%，-6.31%和-10.61%，靈敏度依次變化了8.00%，11.54%，17.65%，19.85%，-3.51%和7.76%，這與仿真結果基本吻合。

表7 Stewart式六維力傳感器優化樣機的剛度、靈敏度Table 7 Stiffness and sensitivity of optimized prototype of Stewart type six-axis force sensor

5.4 工作帶寬分析

對Stewart式六維力傳感器優化樣機進行整機工作帶寬測試。通過測量得到，優化后整機的工作帶寬約為1 kHz，與優化前的基本相同，符合設計要求。由此可見，輕量化設計并未對Stewart式六維力傳感器整機的工作帶寬產生明顯影響。

6 結論

本文對Stewart式六維力傳感器進行了輕量化設計，所得結果如下。

1）基于螺旋理論，建立了Stewart式六維力傳感器的力映射模型，并結合多目標綜合性能優化函數，有效解決了該傳感器多項力學性能難以綜合優化的問題，極大地減少了仿真分析的運算量，并能獲取特定約束條件下傳感器的最優結構參數。

2）設計了一種具有正四面體特征的半球形減重結構，其具備良好的抗拉壓/抗扭轉能力且抗各向變形同性度高、結構穩定性好及可加工性強，可有效改善Stewart式六維力傳感器上、下加載盤質量分布不均以及質量利用率低的問題。

3）經理論推導、數值仿真及實驗驗證結果可知，優化后Stewart式六維力傳感器的整機質量下降了17.65%，靈敏度提升了7.76%～19.85%，且測量精度、剛度、強度及工作帶寬均符合設計要求。

研究結果可為Stewart式六維力傳感器性能的綜合優化提供一定的參考。