點源擴散燃燒時的形狀函數研究

孟 杰，辛長范，馬連澤，楊宇青，魏志芳，張樹霞

(中北大學， 太原 030051)

1 引言

為了掌握槍炮膛內壓力變化規律和彈丸速度變化規律[1]，了解燃燒時的形狀函數變得尤為重要，目前在燃燒形狀函數推導方面的相關研究很少，本研究提出了一種小尺寸、片狀圓柱體的規則形狀燃燒物，為了解其燃燒性能與形狀函數，得到形狀特征量，建立了燃燒模型，通過數值模擬計算，分析了燃燒過程，旨在為片狀圓柱體的燃燒性能研究提供理論支持[2]。

2 形狀函數

對于一定形狀的易燃物來說，其燃燒具有一定的規律性。因此，已燃相對質量ψ、相對燃燒面σ和已燃相對厚度Z之間存在一定的函數關系。

將已燃相對厚度Z取為自變量，則：

ψ=f1(Z)

(1)

σ=f2(Z)

(2)

稱為形狀函數。

在以上2個形狀函數關系式中，根據氣體生成速率規律，只要知道其中的一個關系式，經過積分或者微分，便能得到另一個關系式[3]。

3 燃燒模型的建立

3.1 形狀函數計算的基本假設

片狀圓柱體結構如圖1所示。

圖1 片狀圓柱體結構示意圖Fig.1 Flake cylindrical structure diagram

為方便計算，做出如下假設[4]：

1) 圓柱體燃燒遵循幾何燃燒定律；

2) 在t=0時刻，燃燒點在圓柱中心線上，以點源擴散的方式從燃燒點開始燃燒；

3) 燃燒物的結構為圓柱體，直徑為D，高度為H[5]。

3.2 燃燒過程

某一圓柱體的直徑為5 mm、高度為1 mm，由于圓柱體為軸對稱圖形，并且從燃燒點開始所燃燒過的體積和燃燒面的面積也為軸對稱圖形，為了便于計算，取圓柱體對稱軸右側部分進行分析，把片狀圓柱體燃燒分為以下3個階段[6]。

第1階段：燃燒面未到達圓柱體下底面階段(0

圖2 第1階段燃燒平面示意圖Fig.2 First stage combustion diagram

第2階段：燃燒面到達圓柱體下底面但未到達圓柱體側面階段(H/Rmax

圖3 第2階段燃燒示意圖Fig.3 Second stage combustion diagram

第3階段：燃燒面到達圓柱體側面但圓柱體未燃盡(D/2Rmax

圖4 第三階段燃燒平面示意圖Fig.4 Third stage combustion diagram

4 形狀函數推導

從圖2、圖3、圖4可知，燃燒部分為一定形狀的旋轉體，所以從旋轉體入手推導形狀函數。

4.1 實際公式推導

實際公式的推導采用微元法。

4.1.1 旋轉體體積微元

假設某一小矩形塊長為dx、寬為y，距離旋轉軸Y的距離為x，如圖5(a)所示。讓該小矩形塊繞Y軸旋轉一周，得到的是一個柱殼，如圖5(b)所示。接下來要做的是求一個柱殼的體積。柱殼的半徑為x、高為y、厚度為dx。將它展開平鋪成一個矩形狀金屬片，因為壁厚很小，可以將它考慮成一個長方體。理想柱殼的展開圖，其厚度為dx、高度為柱殼的高度y、其長度等于柱殼的底圓周長2πx，所以柱殼的體積與2πxydx很接近[7]。

圖5 旋轉體體積微元示意圖Fig.5 The volume element diagram of a rotating body

4.1.2 旋轉體表面積微元

假設s是距離Y軸為x的圓弧段上的小段圓弧，如圖6(a)中藍色曲線部分，將該圓弧繞Y軸旋轉一周，得到一個曲邊環，如圖6(b)所示。

為了計算方便，用直邊代替曲邊，如圖6(c)藍色線段所示。設線段在Y軸上的投影為L，藍色線段與其投影線的夾角為θ，則線段的長度為L/cosθ。用該直線代替弧段旋轉時，得到的是一個直邊環。此時，雖然得到的是直邊環，但環的邊并不平行于Y軸，所以得到的環實際上是圓錐表面的一部分。這個表面積是可以計算的，但是比較麻煩。因此為了簡化，可以進一步近似，近似成為一個邊長都相等的環，即這個環是圓柱形的[8]。最終的結果，得到了一個半徑為x、寬度為L/cosθ的圓柱形環，如圖6(d)所示，其表面積為2πxL/cosθ。

圖6 旋轉體表面積微元示意圖Fig.6 The surface area element diagram of a rotating body

實際公式下的形狀函數ψ-Z與σ-Z關系由上述2個部分推導得到。

4.2 理論公式推導

理論公式的推導采用球的常用表面積、體積公式，用來與實際公式形成對比。

如果孩子通過語言等表達不滿，仍然無法阻止對方的欺負行為，那就要馬上離開，跑去一個安全的區域，比如小朋友很多的地方，或者家長聊天的區域，或者老師身邊。即便一時找不到自己熟悉的小朋友或者成人也沒關系。越是惡劣的、有主觀意圖的欺負甚至校園霸凌，都越是隱藏在那些陰暗的死角不能曝光，因此跑到其他人能注意到的地帶，就相對安全很多。

4.2.1 旋轉體體積公式

當燃燒到達第3階段時，燃燒二維狀態圖如圖7所示。其中A點為燃燒面與圓柱下表面交線上的一點，B點為燃燒面與圓柱右側面交線上的一點，角θ1為燃燒點和B點的連線與上表面的夾角，角θ為燃燒點和A點的連線與上表面的夾角。

圖7 第3階段時的燃燒二維狀態圖Fig.7 The combustion state diagram of the third stage

假設此時燃燒面的半徑為R，則θ1角處的圓面半徑為Rcosθ1，當角度增加dθ時，其所增加的高度h為Rdθcosθ1。因此體積微元為[9]：

dV=π(Rcosθ1)2Rcosθ1dθ

(3)

角θ1與角θ所夾得這部分體積即為：

(4)

積分得：

(5)

根據式(5)，便可以得到燃燒時每個階段的體積公式[10]，即：

(6)

4.2.2 旋轉體表面積公式

dS=2πRcosθ1Rdθ=2πR2cosθ1dθ

(7)

角θ1與角θ所夾得這部分表面積即為：

(8)

燃燒時每個階段的表面積公式為：

(9)

理論公式下的形狀函數ψ-Z與σ-Z關系由式(6)和式(9)所得。

5 數值模擬

片狀圓柱體的直徑為5 mm、高度為1 mm，定義沿著徑向為X軸，沿著高度方向為Y軸，在二維平面上劃分網格(網格單位長度可以根據燃燒速率劃分)，沿著X軸方向網格以0.01 mm為一個單位長度，沿著Y軸方向網格以0.01 mm為一個單位長度[12]。

假設物體燃燒速率為一個單位時間燃燒一個網格單位長度，t時刻時燃燒面為圖8中的曲線部分，將已燃燒完的每個小網格標記為0，未燃燒或未燃燒完的小網格標記為1。

那么，實際公式下旋轉體的體積就轉換為由圖8中標記為0的每一個相同于圖5中小矩形塊繞Y軸旋轉一周的體積相加所得，取dx為網格的長、y為網格的寬，則：

(10)

式(10)中：i為標記為0的網格數；n為標記為0的網格總數。將圖8中圓弧按每一行劃分成多個圓弧段，實際公式下的旋轉體表面積就轉換為由相同于圖6中每一個圓弧段繞Y軸旋轉一周的表面積相加所得，取L為網格的寬，則：

(11)

式(11)中：j為燃燒面所經過的網格行數；m為燃燒面所燃燒過的總行數。

圖8所示的燃燒狀態標記圖則需要在Matlab中進行一系列編程得到。

圖8 t時刻燃燒狀態標記圖Fig.8 Burning status diagram at time t

5.1 形狀特征量

在Matlab中編寫程序，以燃燒面半徑每增加一單位時的厚度除以最大燃燒面半徑，即已燃相對厚度Z作為橫軸；分別以所燃燒過的體積除以片狀圓柱的總體積，即已燃相對質量ψ和以燃燒處表面積除以片狀圓柱的總表面積，即相對燃燒面σ作為縱軸畫曲線，并擬合得出其對應函數關系式[13]。

圖9反映了形狀函數ψ-Z關系與擬合關系，其中黑色線為ψ-Z關系，紅色線為擬合關系，圖10反映了σ-Z關系。圖10中綠點為第1階段過渡到第2階段的特殊標注點，藍點為第2階段過渡到第3階段的特殊標注點。

圖9 形狀函數ψ-Z關系與擬合關系曲線Fig.9 The shape function ψ-Z relation and fitting relation diagram

圖10 形狀函數σ-Z關系曲線Fig.10 The shape function σ-Z relation diagram

圖9擬合所得出的已燃相對質量ψ與已燃相對厚度Z之間的函數關系為：

ψ=0.220 1Z3+0.981 3Z2-0.087 7Z

(10)

同時對應

ψ=χZ(1+λZ+μZ2)

(11)

便可求得3個形狀特征量χ、λ、μ，即：

(12)

由于2個形狀函數式存在積分或者微分關系，只需求出一個即可。

5.2 實際與理論的對比分析

將實際形狀函數推導與理論形狀函數推導所得關系進行畫圖比較[14]。其中，圖11中黑色線為實際推導形狀函數ψ-Z關系，紅色線為理論推導形狀函數ψ-Z關系；圖12中黑色線為實際推導形狀函數σ-Z關系，紅色線為理論推導形狀函數σ-Z關系[15]。

圖11 形狀函數ψ-Z實際與理論曲線Fig.11 Comparison diagram of actual and theoretical shape function ψ-Z

圖12 形狀函數σ-Z實際與理論曲線Fig.12 Comparison diagram of actual and theoretical shape function σ-Z

由圖11、圖12可看出，實際推導所得曲線與理論推導所得曲線幾乎重合，由此本文的實際公式是正確的。

6 結論

1) 實際燃燒形狀函數與理論分析吻合較好，為了得到更準確的形狀函數及其形狀特征量，可以在劃分網格時將網格劃分的更小更細；

2) 可以考慮改變程序，通過改變程序中步長，即相當于改變燃燒速率，得到相應的形狀函數，所以此研究可以對計算多種燃燒速率下的形狀函數提供參考；

3) 由于實際推導下的體積與表面積求解方法為微元法，因此可以對求解多種規則形狀物體以及不規則形狀物體的形狀函數的數值模擬與計算提供參考。