多關節機械臂神經網絡超螺旋滑?？刂?/h1>
2022-09-13 04:46:36張潤梅董必春姜懷震李佳祥
兵器裝備工程學報 2022年8期
張潤梅，夏 旭，袁 彬，董必春，姜懷震，李佳祥
(1.安徽建筑大學 機械與電氣工程學院， 合肥 230601； 2.工程機械智能制造安徽省重點實驗室， 合肥 230601)
1 引言
近年來，隨著現代化工業的快速發展，機械臂被廣泛應用在眾多領域中。在機械臂日常應用的場景中，往往需要高精度的軌跡跟蹤控制。但由于機械臂動力學模型存在建模誤差等許多不確定因素，難以建立精確的數學模型，不滿足機械臂的精確控制的要求。針對上述問題，許多學者已經提出了先進控制方法，如PID控制[1-2]，自適應控制[3-4]，模糊控制[5-6]以及滑模控制[7-8]等方法。在眾多控制方法中，由于滑?？刂茖δＰ筒淮_定性、未知干擾和參數變化具有強魯棒性，因此被廣泛應用于機械臂的軌跡跟蹤領域。然而當系統狀態到達滑模面時，滑?？刂品椒ň蜁憩F出高頻振蕩，稱為抖振。抖振的存在對控制系統具有負面影響，不僅會影響機器的使用壽命，還會影響軌跡跟蹤精度問題。針對機械臂抖振問題，許多方法可以用來削弱抖振，在一階滑模控制中，抖振可以通過飽和函數或雙曲正弦函數替換符號函數[9-10]，但跟蹤精度和魯棒性也會隨之下降。同時，采用線性滑模面會有響應速度慢，后期輸出力矩有較大波動等問題。為此，張瑞民等[11]提出了一種自適應高階滑?？刂品椒ǎ岣吡藱C械臂控制系統的收斂速度，削弱了系統中后期輸出力矩的抖振。在高階滑?？刂浦校Ｕ`差和摩擦的存在會產生抖振，由于RBF神經網絡能很好地逼近非線性函數，有學者提出采用神經網絡來進行優化。徐傳忠等[12]采用徑向基神經網絡自適應方法在線估計不確定因素的上界，解決了多關節機械臂控制系統存在的軌跡跟蹤問題，但由于其依賴機械臂的模型，限制了實際應用場景。吳愛國等[13]采用徑向基神經網絡來逼近帶有未知干擾的非線性動力學模型，并加入自適應項作為補償機構，減小了逼近誤差，實現無模型控制。劉凌等[14]提出了一種參數可調RBF神經網絡控制方法，運用梯度下降法修正RBF神經網絡的中心參數，并結合模糊補償器對誤差進行補償，縮短了穩定時間，提高了控制過程中的精度和魯棒性。RBF神經網絡能夠減小了建模誤差和干擾帶來的影響，但滑?？刂频氖諗克俣群途冗€取決于滑模面的選擇。為解決上述問題，最近，Van等[15]提出了比例積分微分滑?？刂破?SMC-PIDs)，將積分項引入了滑模面的設計中，利用積分滑模的積分特性和全局滑模特性消除穩態誤差，對干擾具有很好的魯棒性。Kali等[16]提出一種基于超螺旋算法(STA)的高階滑模控制方法，其將不連續符號隱藏在積分項中，有效地抑制了抖振，并確保了閉環系統穩定。文獻[17-18]提出終端滑模面，采用非線性項設計滑模面，相比傳統線性滑模面，提高了系統的收斂速度。上述研究為多關節機械臂軌跡跟蹤控制提供了理論基礎和工程應用價值，但仍然存在跟蹤精度低、收斂速度慢、無法有效抑制抖振等問題。
在上述研究的基礎上，本文提出了基于徑向基神經網絡(RBF)超螺旋非奇異積分終端滑模(NFSTSM)軌跡跟蹤控制方法。為克服干擾帶來的不確定項，在RBF神經網絡基礎上加入自適應算法，從而準確地估計了系統的不確定性；為克服控制系統的抖振問題，采用高階滑模面結合超螺旋算法并采用特殊冪次函數代替傳統符號函數，有效地抑制了抖振的產生，提高軌跡跟蹤精度。
2 機械臂數學建模
基于拉格朗日方程可以建立n關節機械臂的動力學方程：
(1)
機械臂軌跡跟蹤的控制目標：使得關節輸出q盡可能好的跟蹤關節角矢量。qd∈Rn為期望軌跡且是一個連續二階可微的函數。
定義系統跟蹤誤差及其導數為:
(2)
3 滑模控制器設計
控制器的設計共分為：① 設計非奇異積分終端滑模面；② 設計RBF神經網絡來估計帶有未知干擾的機械臂動力學模型；③ 采用自適應算法對逼近誤差進行補償?？刂葡到y結構如圖1所示。
3.1 滑?？刂坡稍O計
考慮系統(1)的結構，為了確保產生理想的滑動模態，加快狀態跟蹤誤差的收斂速度，消除系統的穩態誤差，設計一種新的非奇異積分終端滑模面：
(3)
式中:kp1、kp2、kd、ki均為正數,r1、r2、r3、r4為正奇數，1r3/r4。
當跟蹤誤差靠近平衡點時，即時，忽略高次項，故式(3)可以改寫為：
(4)
當到達滑模面時，即s=0，得到誤差導數為：
(5)
故收斂速度遠大于同參數的線性滑模面。同理可以得到當時，收斂速度高于線性滑模面。
建立了合適的滑模面，下一步設計控制率來使系統到達滑模面。式(3)對時間求導可得:
(6)
將式(1)和式(2)代入可以得到：
(7)
式中:f為機械臂未知非線性函數。
若機械臂未知非線性函數f精確可知則可取控制律：
τ=fNN+τeq+τsmc
(8)
式中:τeq為等效控制項，τsmc為切換控制項。
將式(7)代入式(6)中
kie(t)+kd(f-τ)
(9)
得等效控制律為：
(10)
對于切換控制項部分，傳統控制系統由于切換控制項函數的不連續而產生抖振。本文中提出了新型超螺旋算法，將不連續項放入積分項中，使得切換控制項函數更為連續，以增強系統的魯棒性。設計如式(11)：
(11)
傳統的符號函數在邊界層處切換不光滑，會加劇抖振的產生，為增強系統的魯棒性。擬采用一種新型特殊冪次函數如式(12)代替傳統符號函數:
(12)
其中0<δ<1,α>0。δ為fal函數原點附近正負對稱線性的區間長度。
故切換項可改寫為：
(13)
3.2 徑向基(RBF)神經網絡設計
(14)
fNN=wTδ(x)
(15)
式中:f為神經網絡的實際輸出；w為神經網絡最優權重w*的估計；δ為神經網絡的基函數；L為神經網絡隱含層的節點數。
基函數采用高斯函數，高斯基函數表達式為:
(16)
ci=[ci1,ci2,…,ciL]T
bi=[bi1,bi2,…,biL]T
式中:xi為第i個神經網絡的輸入向量;ci為第i個神經網絡的中心矩陣;bi為第i個神經網絡的基寬向量。
由式(7)可得，機械臂未知非線性函數：
(17)
(18)
(19)
3.3 穩定性分析
對于整個閉環系統，可以取Lyapunov函數V
(20)
(21)
將式(9)代入到式(20)可得
(22)
令
(23)
(24)
(25)
4 仿真
為了驗證所設計的控制方法的有效性，使用一個2-DOF的機械臂結構作為仿真對象如圖2所示。其動力學方程如下：
圖2 二自由度機械臂結構示意圖Fig.2 Two-degree-freedom robotic manipulator structure diagram
(26)
(27)
(28)
(29)
利用Matlab進行仿真，仿真時間設置為10 s，仿真采用式(8)的控制律，自適應律采用式(18)、式(19)，系統仿真相關參數如表1，隱含層中心矢量c和高斯基函數b分別取為：
肥胖水腫：維生素B1、B2、B3 可減輕激素引起的各種新陳代謝反應失常；也可減輕激素引發的副作用，如滿月臉、向心性肥胖、痤瘡、多毛癥、水腫、高血脂、高血壓、肌萎縮、骨質疏松等。
表1 仿真參數Table 1 Simulation parameters
為說明所設計的方法的有效性，設置以下2種控制方法對比。
控制器1：該控制器的滑模面為式(30)、控制律為式(31)，記為SMC-S-RBF。
(30)
τ=wTδ(x)+Kvs-(εN+bd)sgn(s)
(31)
控制器2：該控制器的滑模面為式(32)、控制律為式(33)，記為NET-S。
(32)
w1s+w2sr5/r6+w3sr7/r8)
(33)
圖3表示利用RBF神經網絡對帶有未知干擾的機械臂非線性函數曲線。由圖3可以看出，結合自適應律的RBF很好地估計了非線性模型。圖4為各個方法的關節軌跡跟蹤曲線。圖5為各個方法的關節軌跡跟蹤誤差曲線。圖6為各個方法的關節控制力矩曲線。為了便于比較控制器的性能，取均方根(RMS)為性能指標：
圖3 不確定項估計曲線Fig.3 Estimation of uncertainty
圖4 關節軌跡跟蹤曲線Fig.4 Trajectory tracking curves of joints
圖5 關節軌跡跟蹤誤差曲線Fig.5 Tracking error curves of joints
(34)
式中:N為系統的總采樣數。
對比控制器1和控制器2，由圖6可以得出，控制器2產生了很大的抖振，這是受到建模誤差和外部干擾所影響。又由圖4、圖5可以看出，控制器2雖然產生很大的抖振，但收斂速度，跟蹤精度遠好于控制器1。以上分析表明，控制系統的響應速度和跟蹤精度在于滑模面的選取。
對比本文中所設計的控制器和控制器1，兩者都采用了RBF神經網絡對非線性函數進行估計，在存在建模誤差和未知干擾的情況下，兩者的控制力矩都較為光滑并且連續。說明采用RBF神經網絡來估計系統模型可以大大削弱抖振的產生。由圖5看出，SMC-S-RBF跟蹤精度低，而由于在滑模面上選用非奇異積分終端滑模面，由表2可以看出，本文中所設計的控制器的跟蹤誤差最大值為9.287 1×10-4，遠小于控制器1的最大值0.424 0。各關節的跟蹤誤差均方根分別降低了90.2%和81.2%。故本文中所設計的控制器具有更快的響應速度與更好的跟蹤精度。綜上所述非奇異積分終端滑模面提高了系統的響應速度和精度。
表2 控制器的性能參數Table 2 Performance parameters for controller
對比本文中所設計的控制器與控制器2，由圖4可以看出，本文中所設計的控制器的調節時間在0.2 s以內，而控制器2的調節時間遠大于0.2 s，故本文中所設計的控制器擁有良好的響應速度。其次，由表2可以得出控制器2的跟蹤最大誤差為0.013 5，遠大于本文中所設計的控制器。相比之下，本文中所設計的控制器，跟蹤誤差均方根分別降低了69.4%和61.3%。故在滑模面中引入積分項，能很好地消除了系統的穩態誤差。由圖6中NET-S控制器的控制力矩圖可以看出，控制器2的控制力矩產生劇烈的抖振。這是由于機械臂的建模誤差和切換控制項函數的不連續造成的，而本文中所設計的控制器采用結合自適應律的RBF神經網絡和新型超螺旋算法，控制力矩則更為平滑，同時控制力矩也更小。以上分析可以得出，本文中所設計的控制器能夠有效地削弱系統抖振和消除系統的穩態誤差。
仿真結果表明，本文中所提出的方法在存在建模誤差和外界干擾情況下表現出更好的跟蹤控制性能，提高了機械臂軌跡跟蹤的響應速度和精度，并抑制了抖振的產生，增強了魯棒性。
5 結論
針對具有不確定性和外部干擾的多關節機械臂系統，提出了徑向基神經網絡超螺旋非奇異積分終端滑?？刂撇呗浴Ｔ谠O計控制器時，采用非奇異終端滑模面，加入積分項消除系統的穩態誤差，加快系統的響應速度。引入RBF神經網絡并結合自適應律估計干擾作用下的機械臂動力學模型，提高了控制系統的魯棒性。采用新型超螺旋算法作為切換控制項，并用特殊冪次函數代替符號函數，抑制抖振。仿真結果表明，相比線性滑模面，本文所設計的控制器調節時間在0.2 s內，響應速度快，跟蹤誤差均方根分別降低了90.2%和81.2%，跟蹤精度高。本文所設計的控制器能較好地抑制系統的抖振，增強控制系統的魯棒性和抗干擾能力。
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在上述研究的基礎上，本文提出了基于徑向基神經網絡(RBF)超螺旋非奇異積分終端滑模(NFSTSM)軌跡跟蹤控制方法。為克服干擾帶來的不確定項，在RBF神經網絡基礎上加入自適應算法，從而準確地估計了系統的不確定性；為克服控制系統的抖振問題，采用高階滑模面結合超螺旋算法并采用特殊冪次函數代替傳統符號函數，有效地抑制了抖振的產生，提高軌跡跟蹤精度。
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(6)
將式(1)和式(2)代入可以得到：
(7)
式中:f為機械臂未知非線性函數。
若機械臂未知非線性函數f精確可知則可取控制律：
τ=fNN+τeq+τsmc
(8)
式中:τeq為等效控制項，τsmc為切換控制項。
將式(7)代入式(6)中
kie(t)+kd(f-τ)
(9)
得等效控制律為：
(10)
對于切換控制項部分，傳統控制系統由于切換控制項函數的不連續而產生抖振。本文中提出了新型超螺旋算法，將不連續項放入積分項中，使得切換控制項函數更為連續，以增強系統的魯棒性。設計如式(11)：
(11)
傳統的符號函數在邊界層處切換不光滑，會加劇抖振的產生，為增強系統的魯棒性。擬采用一種新型特殊冪次函數如式(12)代替傳統符號函數:
(12)
其中0<δ<1,α>0。δ為fal函數原點附近正負對稱線性的區間長度。
故切換項可改寫為：
(13)
3.2 徑向基(RBF)神經網絡設計
(14)
fNN=wTδ(x)
(15)
式中:f為神經網絡的實際輸出；w為神經網絡最優權重w*的估計；δ為神經網絡的基函數；L為神經網絡隱含層的節點數。
基函數采用高斯函數，高斯基函數表達式為:
(16)
ci=[ci1,ci2,…,ciL]T
bi=[bi1,bi2,…,biL]T
式中:xi為第i個神經網絡的輸入向量;ci為第i個神經網絡的中心矩陣;bi為第i個神經網絡的基寬向量。
由式(7)可得，機械臂未知非線性函數：
(17)
(18)
(19)
3.3 穩定性分析
對于整個閉環系統，可以取Lyapunov函數V
(20)
(21)
將式(9)代入到式(20)可得
(22)
令
(23)
(24)
(25)
4 仿真
為了驗證所設計的控制方法的有效性，使用一個2-DOF的機械臂結構作為仿真對象如圖2所示。其動力學方程如下：
圖2 二自由度機械臂結構示意圖Fig.2 Two-degree-freedom robotic manipulator structure diagram
(26)
(27)
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(29)
利用Matlab進行仿真，仿真時間設置為10 s，仿真采用式(8)的控制律，自適應律采用式(18)、式(19)，系統仿真相關參數如表1，隱含層中心矢量c和高斯基函數b分別取為：
肥胖水腫：維生素B1、B2、B3 可減輕激素引起的各種新陳代謝反應失常；也可減輕激素引發的副作用，如滿月臉、向心性肥胖、痤瘡、多毛癥、水腫、高血脂、高血壓、肌萎縮、骨質疏松等。
表1 仿真參數Table 1 Simulation parameters
為說明所設計的方法的有效性，設置以下2種控制方法對比。
控制器1：該控制器的滑模面為式(30)、控制律為式(31)，記為SMC-S-RBF。
(30)
τ=wTδ(x)+Kvs-(εN+bd)sgn(s)
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控制器2：該控制器的滑模面為式(32)、控制律為式(33)，記為NET-S。
(32)
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圖3表示利用RBF神經網絡對帶有未知干擾的機械臂非線性函數曲線。由圖3可以看出，結合自適應律的RBF很好地估計了非線性模型。圖4為各個方法的關節軌跡跟蹤曲線。圖5為各個方法的關節軌跡跟蹤誤差曲線。圖6為各個方法的關節控制力矩曲線。為了便于比較控制器的性能，取均方根(RMS)為性能指標：
圖3 不確定項估計曲線Fig.3 Estimation of uncertainty
圖4 關節軌跡跟蹤曲線Fig.4 Trajectory tracking curves of joints
圖5 關節軌跡跟蹤誤差曲線Fig.5 Tracking error curves of joints
(34)
式中:N為系統的總采樣數。
對比控制器1和控制器2，由圖6可以得出，控制器2產生了很大的抖振，這是受到建模誤差和外部干擾所影響。又由圖4、圖5可以看出，控制器2雖然產生很大的抖振，但收斂速度，跟蹤精度遠好于控制器1。以上分析表明，控制系統的響應速度和跟蹤精度在于滑模面的選取。
對比本文中所設計的控制器和控制器1，兩者都采用了RBF神經網絡對非線性函數進行估計，在存在建模誤差和未知干擾的情況下，兩者的控制力矩都較為光滑并且連續。說明采用RBF神經網絡來估計系統模型可以大大削弱抖振的產生。由圖5看出，SMC-S-RBF跟蹤精度低，而由于在滑模面上選用非奇異積分終端滑模面，由表2可以看出，本文中所設計的控制器的跟蹤誤差最大值為9.287 1×10-4，遠小于控制器1的最大值0.424 0。各關節的跟蹤誤差均方根分別降低了90.2%和81.2%。故本文中所設計的控制器具有更快的響應速度與更好的跟蹤精度。綜上所述非奇異積分終端滑模面提高了系統的響應速度和精度。
表2 控制器的性能參數Table 2 Performance parameters for controller
對比本文中所設計的控制器與控制器2，由圖4可以看出，本文中所設計的控制器的調節時間在0.2 s以內，而控制器2的調節時間遠大于0.2 s，故本文中所設計的控制器擁有良好的響應速度。其次，由表2可以得出控制器2的跟蹤最大誤差為0.013 5，遠大于本文中所設計的控制器。相比之下，本文中所設計的控制器，跟蹤誤差均方根分別降低了69.4%和61.3%。故在滑模面中引入積分項，能很好地消除了系統的穩態誤差。由圖6中NET-S控制器的控制力矩圖可以看出，控制器2的控制力矩產生劇烈的抖振。這是由于機械臂的建模誤差和切換控制項函數的不連續造成的，而本文中所設計的控制器采用結合自適應律的RBF神經網絡和新型超螺旋算法，控制力矩則更為平滑，同時控制力矩也更小。以上分析可以得出，本文中所設計的控制器能夠有效地削弱系統抖振和消除系統的穩態誤差。
仿真結果表明，本文中所提出的方法在存在建模誤差和外界干擾情況下表現出更好的跟蹤控制性能，提高了機械臂軌跡跟蹤的響應速度和精度，并抑制了抖振的產生，增強了魯棒性。
5 結論
針對具有不確定性和外部干擾的多關節機械臂系統，提出了徑向基神經網絡超螺旋非奇異積分終端滑?？刂撇呗浴Ｔ谠O計控制器時，采用非奇異終端滑模面，加入積分項消除系統的穩態誤差，加快系統的響應速度。引入RBF神經網絡并結合自適應律估計干擾作用下的機械臂動力學模型，提高了控制系統的魯棒性。采用新型超螺旋算法作為切換控制項，并用特殊冪次函數代替符號函數，抑制抖振。仿真結果表明，相比線性滑模面，本文所設計的控制器調節時間在0.2 s內，響應速度快，跟蹤誤差均方根分別降低了90.2%和81.2%，跟蹤精度高。本文所設計的控制器能較好地抑制系統的抖振，增強控制系統的魯棒性和抗干擾能力。
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