函數(shù)極限的一點思考

倪梓原，丁 衛(wèi)*

（南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南通 220019）

函數(shù)極限的相關(guān)知識在高中階段的學(xué)習(xí)過程中就有所涉及，但大學(xué)的數(shù)學(xué)思維方式與高中存在著很大的區(qū)別，極限是其中典型的標(biāo)志之一。對極限定義的理解和應(yīng)用困擾著一屆又一屆的大學(xué)生，不僅影響了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進程，還影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。與此同時，極限的定義在大學(xué)數(shù)學(xué)分析和學(xué)習(xí)中又是極為重要的，是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，例如后面的導(dǎo)數(shù)、定積分等定義都蘊含極限在里面。因此，對于每一位大學(xué)生來說，極限的定義是必須掌握的知識，教師要將理論化的知識具象化，幫助學(xué)生更直觀地理解極限的相關(guān)概念。我們先給對極限的基本定義進行分析，接著對極限的相關(guān)定理和應(yīng)用進行講解。

1 極限的基本定義

從本質(zhì)上來說，極限就是指在一組函數(shù)關(guān)系中將自變量變化任意數(shù)值，相應(yīng)地，因變量會產(chǎn)生什么樣的變化。賦予自變量某種動態(tài)變化的趨勢，因變量會隨之無限向一個既定的數(shù)值靠近，而這個數(shù)值就是對極限的界定。具體來說，極限可以劃分為數(shù)列形式和函數(shù)形式，不管是何種形式，都是極限定義的解釋，但是在實際應(yīng)用過程中仍然存在著不同之處，下面就先給出數(shù)列極限的定義。

上面給出的定義就是數(shù)列定義的標(biāo)準(zhǔn)型，等學(xué)生對這一定義的理解比較深入之后能夠發(fā)現(xiàn)，在這條定義中的可以對其中有些地方做出修改，從而擴大定義的適用范圍，也讓定義使用起來更加方便，例如可以將“任意的”調(diào)整為“任意的”，在這里就意味著是一個任意大于0的數(shù)；“存在正整數(shù)N”也可以調(diào)整為“存在正數(shù)N”等等。總之，隨著對定義理解程度的加深，就能夠根據(jù)需求對定義的內(nèi)容作出相應(yīng)的變化和調(diào)整，進而用定義解決問題就越順手。理解該定義的關(guān)鍵就在于是如何說明“正整數(shù)”的存在性，因此一個最直接的手段就是，取任意的，算出一個。

2 定理分析及應(yīng)用

類似的，將柯西準(zhǔn)則由數(shù)列極限向函數(shù)極限擴展，也證明存在函數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則，這兩個柯西準(zhǔn)則通過歸結(jié)原則能夠得到統(tǒng)一。但是，大學(xué)生在大學(xué)階段的學(xué)習(xí)過程中，態(tài)度和意識方面存在一定欠缺，尤其是對于那些剛接觸極限定義不久的學(xué)生而言，要想熟練地理解、掌握這兩個定理的應(yīng)用技巧并將其在理論推導(dǎo)和實際解題中進行應(yīng)用，還需要費點功夫，做大量的相關(guān)練習(xí)，畢竟本身柯西準(zhǔn)則這種極限證明方法就具有一定代表性，證明過程也更為很復(fù)雜。受到這些因素的阻礙，將導(dǎo)致初學(xué)者將極限學(xué)習(xí)看成是非常困難的一件事情。為此，本文想要在極限定義和相關(guān)定理的基礎(chǔ)上，拓展一些關(guān)于函數(shù)極限的其他知識，希望能通過對這些知識的闡述讓學(xué)生能夠更加深入地理解函數(shù)的定義，也為理解極限的相關(guān)概念增添更多的趣味性，讓教學(xué)內(nèi)容更寬泛一點，更深入一點。

值得一提的是，函數(shù)極限的相關(guān)定理及思考方式在大學(xué)數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也能得到非常廣泛的應(yīng)用，是幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)思維方式和解題思路的重要步驟，根據(jù)實踐教學(xué)了解，在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，就對極限的相關(guān)定理和思考方式有過介紹，但涉及的深度較淺，難以讓學(xué)生對此形成全面認知，有必要加深對極限定理的闡述。

為此，我們在極限的定義中引入如下具體的函數(shù)條件。若定義在零點附近的函數(shù) 滿足如下三個條件，則稱其在零點附近滿足條件，

通過本文講述的極限定義，以及在此基礎(chǔ)之上證明的定理，我們得到了某種可以在特殊情況下驗證極限是否存在的有效方法。此方法在實際解題過程中，比其他的方法更加簡便，可以快速地證明函數(shù)的極限是否存在并確定具體的極限值。不過有一定的局限性。實踐證明，在大學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，本文介紹的極限證明方法和求值方法是切實可行的，并且按照這種方法和思路，能夠更加快捷和準(zhǔn)確地求出函數(shù)的極限值，提高了學(xué)生的解題速度和準(zhǔn)確性。綜合上述分析，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，函數(shù)極限是其他領(lǐng)域?qū)W習(xí)的基礎(chǔ)知識，只有對此有了充分地掌握和了解后，才能順利完成高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅是幫助學(xué)生應(yīng)對考試和日常聯(lián)系，還有助于幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。