條形基礎下成層砂土地基破壞機理及承載力計算

陳 華，沈 軍 輝

(1.四川省交通勘察設計研究院有限公司，四川 成都 610059； 2.成都理工大學 地質災害防治與地質環境保護國家重點實驗室，四川 成都 610059)

0 引 言

自從Terzaghi[1]發表關于均質地基上淺基礎承載力估算理論以來，許多研究人員對天然地基承載力進行了研究。然而，問題的復雜性導致層狀地基上淺基礎的承載力估算的難度較大，所推導出的封閉形式塑性解十分繁瑣，不便于工程應用。因此，提出簡單的承載力表達式是十分有必要的。現有的研究成果多集中在軟黏土上的密實砂土地基：Meyerhof[2]首先采用半經驗方法計算了軟黏土上覆致密砂的條形和圓形基礎的承載力，并且同時考慮了硬黏土上覆疏松砂的情況。Meyerhof提出的沖剪模型后來在許多試驗、數值分析和解析法分析研究中得到了改進，主要改進者包括Hanna和Meyerhof[3]、Griffiths[4]、Das和Dallo[5]、Michalowski和Shi[6]、Kenny和Andrawes[7]、Burd和Frydman[8]、Okamura等[9]、Shiau等[10]、秦會來[11]、Salimi等[12]。

與單層砂土地基相比，成層砂土地基力的傳遞更為復雜，得出封閉解析解的難度很大，因此導致層狀砂土地基上淺基礎承載力的相關研究工作較少。比較經典的方法為建筑研究指南BRE 470-2004[13]中的方法和Hanna[14]提出的半經驗方法。實際上，BRE 470-2004中的方法是Hanna方法的簡化，而Hanna方法又基于Meyerhof的沖剪模型。基于特定的簡化地基破壞模式，研究人員采用極限平衡和極限分析方法對成層砂土地基的承載力計算問題進行了研究。Ghazavi和Eghbali[15]對Richards等[16]提出的地基失效模式進行了擴展，推導得出兩層砂土地基上的承載力系數。對于兩層黏性土上的基礎，Purushothamaraj等[17]得到了上限解析解。Florkievicz[18]、Huang[19]、Khatri[20]等使用有限元塑性極限分析方法(FELA)計算極限承載力的上下限，在計算過程中可以結合使用圓錐優化方法[21-24]。此外也可以通過試驗方法對成層砂土地基承載力進行研究，如Hanna[14]，Das和Munoz[25]，Kumar等人[26]進行了層狀砂土地基的縮尺模型試驗研究。然而，考慮到砂土力學性質與圍壓應力水平的相關性，比例效應可能導致高估極限荷載[27-28]，因此縮尺模型試驗的結果不能盲目推廣到現場足尺地基的情況，但是可以采用試驗結果對地基失效模式及機理進行探索。

為明確成層砂土地基失效破壞機理及相應的地基承載力計算方法，考慮不同的幾何參數和土體力學參數，本文對成層砂土采用有限元塑性極限分析方法(簡稱FELA方法)進行了一系列分析，除了得出極限荷載的上限和下限外，還分析了地基破壞機制隨幾何參數和土體力學參數的變化。在與已有成果進行對比的基礎上，本文提出一種實用方法以確定過渡破壞模式下成層砂土地基上條形基礎的承載力。

1 層狀砂土地基承載力計算的沖剪模型

如前所述，Hanna[14]將Meyerhof[2]所提出的半經驗沖剪模型推廣到了松砂上覆密砂淺基礎的情況。基礎沿圖1所示假定的上層砂土中破壞錐形插入底層砂層中，底部砂土發生剪切破壞。地基承載力包括上部砂層和下部砂層的極限抗剪強度兩部分。具體地，上部砂層的貢獻與作用在如圖1所示垂直破壞面上的被動壓力PP有關，其大小取決于破壞面上的動摩擦角δ。被動壓力PP可表示為

(1)

式中：γ1表示上部砂層重度；H和D分別表示上部砂層厚度和基礎埋深；KP表示側向土壓力系數。底部砂層的貢獻等于圖1所示的均質砂土上虛擬基礎的極限承載力qb。因此，層狀砂上條形基礎的承載力qu為

(2)

式中：qb和qt分別表示均勻松砂和致密砂層上條形基礎的承載力，對應的埋深分別為H+D和D。

qb=0.5γ2BNγ2+γ1(H+D)Nq2

(3)

qt=0.5γ1BNγ1+γ1DNq1

(4)

圖1 沖剪破壞示意Fig.1 Schematic diagram of punching shear failure

式(2)表明，承載力qu不能超過位于均質密實砂上的地基承載力qt。因此應該存在一臨界厚度Hcr，一旦超過Hcr，底層砂土的性質將不影響地基承載力，而地基破壞完全發生在上層砂土中。式(3)和式(4)中的承載力系數Nγ2、Nq2、Nγ1和Nq1可以根據文獻[29]計算。綜合式(1)和式(2)易得

(5)

式(5)中的一個十分關鍵的參數為動摩擦角δ，它不恒定，而是隨著上層砂土的厚度而發生變化[2]。Hanna[14]采用實驗方法確定了δ的拋物線分布形式，其是兩層砂土相對剪切強度的函數。為進行承載力qu簡化估算，Hanna借鑒Meyerhof的方法，引入抗沖剪系數KS，令

KStanφ1=KPtanδ

(6)

則式(5) 轉化為

(7)

其中，抗沖剪系數KS可以通過上層砂土內摩擦角φ1和下層砂土內摩擦角φ2由Hanna提供的圖得出[14]。

BRE 470-2004指南采用了基于上述沖剪模型的方法，并且引入一些偏保守的假設：①在計算底部砂土對承載力貢獻qb時，將埋深D取為0，忽略超載項γ1HNq2的影響；② 動摩擦角取為δ=2φ/3，Kptanδ項使用庫侖被動土壓力系數計算；③ 采用Vesic[30]提出的承載力系數Nγ公式，該公式計算結果略大于Meyerhof[29]提出的公式。

當上層砂土厚度小于臨界厚度時，通過BRE 470-2004指南方法估計的承載力值始終低于式(5)得出的承載力值，該方法可用于快速估算成層砂土地基承載力。然而，使用該方法的前提條件是成層砂土地基的失效模式為沖剪模式，這與工程實際并不一定符合。如當上層砂土厚度足夠大時，失效模式應該為傳統剪切模式，而且沖剪模式和傳統剪切模式之間必然存在一過渡破壞模式。此外，地基失效模式應該與兩層砂土的相對強度以及與上層砂土的厚度有關。因此開展成層砂土地基失效模式和承載力計算工作對具體工程設計具有很重要的指導意義。

2 有限元塑性極限分析

2.1 計算參數

極限分析法是一種嚴格確定地基極限承載力上限和下限的方法[31]。因為復雜的幾何結構會得出復雜的方程，復雜的方程不容易得出解析解，因此這種方法最初的應用較為局限。而使用有限元法求解極限平衡方程，可將極限分析法的應用領域擴展到復雜幾何和非均質土壤地層[32]，相應的方法可以稱之為有限元塑性極限分析(FELA)方法。該方法可以求解得出極限荷載的上限和下限，上限和下限之差可以理解為實際極限荷載的誤差。假設極限荷載精確解為上限qupper和下限qlower的平均值qult，則相對誤差可定義為[33]：

(8)

本文采用FELA方法計算成層砂土上條形基礎的承載力。為了減小承載力計算中的相對誤差，采用自適應重劃分網格技術[34]。采用FELA方法分析地基承載力時需要假定砂土中發生塑性變形，而且本構模型采用的是相關聯流動法則。對莫爾-庫侖屈服準則而言，這意味著砂土膨脹角等于內摩擦角，顯然這種假設不符合粒狀材料實際。雖然相關聯流動法則這一假設會影響極限荷載的計算值，但影響程度有多大目前仍沒有定量分析方法。Davis[35]建立了關聯流動法則引起的極限荷載誤差與運動約束度間的關系。Drescher和Detournay[36]建議使用如式(9)和式(10)所示的等效強度參數和關聯流動法則計算非關聯流動的巖土類材料的極限荷載的上限和下限。

(9)

(10)

式中：φ，ψ和c分別表示內摩擦角、膨脹角和黏聚力，而φ*，ψ*和c*分別表示等效摩擦角、等效膨脹角和等效黏聚力。

對雙層砂土地基采用莫爾-庫侖模型和相關聯流動法則，基底位于表層砂土的頂部。基礎和地基間采用庫侖摩擦，摩擦系數取tanφ1。為將相對誤差RE控制在5%以內，每次分析中采用4次自適應重劃分網格迭代。邊界條件包括地基底處的固定水平和豎向位移以及地基的左右邊界處的固定水平位移。根據Salgado等的研究[33]，對每個模型進行兩次求解，以獲得極限承載力的下限和上限，并據此估算平均極限承載力。高功率耗散強度區域代表剪切破壞平面，節點的速度矢量圖則描述了地基破壞機理[37]。具體在計算中所采用的幾何參數和材料參數如表1所列。

表1 FELA方法計算參數Tab.1 Calculation parameters of FELA method

2.2 承載力計算誤差

在保持其余參數不變的情況下(φ1=40°，B=3.0 m，γ1=18 kN/m3，γ2=15 kN/m3)，增大上層砂土厚度H和下層砂土內摩擦角φ2，使用FELA數值方法結合自適應重劃分網格技術計算極限承載力的上限和下限，計算結果如表2所列。從表中可以明顯看出，相對誤差RE隨著底層砂土抗剪強度的增加而增加，但仍低于控制誤差5%。因此，極限承載力qult可以近似取上限qupper和下限qlower的平均值，即qult=(qupper+qlower)/2。

表2 FELA方法計算的極限承載力上下限及誤差Tab.2 Calculation of upper and lower limits of ultimate bearing capacity and error by FELA method

2.3 計算結果對比及分析

為驗證FELA數值計算方法的有效性并確定現有的半經驗公式的適用范圍，將FELA數值計算結果和試驗結果、半經驗公式計算結果進行對比。Meyerhof和Hanna[38]、 Das和Munoz[25]進行了成層砂土的物理模型試驗，其中Meyerhof和Hanna[38]的試驗采用0.05 m寬的條形基礎，基底位于上層砂土表面，上層和下層砂土的內摩擦角分別為φ1=47.7°和φ2=34.0°，對應干重度分別為γ1=16.3 kN/m3和γ2=13.8 kN/m3。上層的相對厚度H/B取值從0～5.0，FELA計算結果與該試驗結果的對比如圖2(a)所示。Das和Munoz[25]的試驗采用0.101 6 m寬的條形基礎，基底位于上層砂土表面，上層和下層砂土的內摩擦角分別為φ1=43.0°和φ2=36.0°，對應干重度分別為γ1=17.06 kN/m3和γ2=15.25 kN/m3，FELA計算結果與該試驗結果的對比如圖2(b)所示。圖2(a)和圖2(b)中同時列出了Hanna[14]半經驗計算方法和BRE 470-2004指南方法的計算結果對比。

圖2 FELA計算結果與試驗結果和半經驗公式計算結果對比Fig.2 Comparison of FELA calculation results with test results and semi empirical formula calculation results

如圖2(a)所示，FELA方法和Hanna方法計算的承載力最為接近，當相對厚度滿足H/B≤3時，試驗結果與兩種方法計算的結果較為吻合。當H/B≤3時，BRE 470方法計算值比較低，但與試驗結果最為接近。當H/B>3時，即上部砂層厚度大于臨界厚度時，即破壞完全發生在表層砂土中時，3種方法均低估了地基承載力，這可能是因為采用的是縮尺模型試驗，而3種方法均假定砂土內摩擦角不隨深度而變化。實際上，砂土表層由于固結應力較低因此摩擦角較高，在密砂中摩擦角隨平均應力水平的變化更為明顯[28]。因此，在縮尺模型試驗中，基礎寬度較小，對應的臨界厚度也比較小，即使上部砂層厚度超過臨界厚度也是比較薄的，在3種方法計算中均假定內摩擦角恒定，這顯然會導致對極限荷載的保守預測。當H/B≤3時，表層密砂層對地基承載力的貢獻相對較小，因此砂土摩擦角(包括膨脹角)與平均應力水平的非線性變化影響較小。從圖2(b)中也可以得出類似的結論。當承載力不隨著上層砂土的厚度的增加而進一步增加時即達到了臨界厚度，通過FELA方法可以很好地得出臨界厚度，而且臨界厚度隨著上層砂土內摩擦角的增加而增加。總體上，Hanna方法高估了地基承載力，BRE 470方法低估了承載力。

為明確分層砂土地基承載力發揮機理，選取FELA計算得出如圖3所示的3種比較典型的地基失效機理圖，速度云圖間接反映了地基破壞機理。圖3(a)～(c)所示的3種失效機制分別為：① 沖剪破壞機制，發生在上層砂土的剪切強度明顯高于下層，且上層的厚度小于臨界厚度的情況，該機制與Hanna[14]所考慮的破壞機制基本一致；② 過渡破壞機制，介于沖剪破壞機制和一般剪切破壞機制之間；③ 一般剪切破壞機制，上層砂土的厚度大于臨界厚度的情況。

圖3 成層砂土地基3種破壞模式Fig.3 Three failure modes of layered sand foundation

上述分析結果表明，沖剪破壞機制無法描述所有可能的破壞模式，考慮到沖剪破壞和一般剪切破壞均已有較為成熟的計算方法，提出一種適用于過渡失效機制的計算方法是十分有必要的。

3 承載力過渡失效模式計算

3.1 過渡失效模式機理

為了明確在滿足何種情況下，地基失效模式會從圖4(a)所示的沖剪模式轉變為圖4(b)所示的過渡模式，本文進行了如表1所列的大量FELA計算，從每次分析結果確定失效機理。具體地，可以用如圖4(a)所示的上層剪切面的傾角θ來描述基底下形成的理想楔形，而傾角θ可以采用能量耗散強度等值線計算得出。傾角θ可以表示為砂層相對強度和相對厚度H/B的函數：

(11)

式中：傾角θ的單位為度；a，b和c是結合FELA計算結果進行函數擬合得出的參數，具體如表3所列。

圖4 兩種破壞模式示意Fig.4 Schematic diagram of two failure modes

表3 函數擬合參數

如圖4(a)所示，根據式B′=B-2Htanθ結合式(11)計算等效寬度B′。當B′<0時即可能出現如圖4(b)所示的過渡失效模式；B′>0即出現沖剪破壞模式。通過對FELA計算結果進行統計可以得出如圖5所示的3種失效模式的分區，該圖可以用來對失效模式加以判別。

圖5 3種失效模式分區Fig.5 Failure mode zoning

3.2 過渡失效模式對應的地基承載力系數

圖5展示的3種破壞模式。沖剪破壞模式可以采用Hanna[14]方法，即式(7)加以計算；一般剪切破壞模式，可以采用均質砂土地基承載力計算方法加以計算；過渡失效模式缺乏相應的承載力計算方法。可以定義相應的承載力為

(12)

圖6 過渡失效模式下的地基承載力系數Fig.6 Bearing capacity coefficient of foundation under transient failure mode

4 承載力確定流程

綜上，對成層砂土地基在確定地基承載力前需先確定其剪切破壞模式，具體破壞模式的確定可以參考圖5進行。沖剪破壞時的承載力可以按照式(7) 計算，過渡破壞模式的承載力按照式(12)計算，一般破壞模式可以采用傳統土力學方法加以計算。

5 結 論

本文采用FELA方法研究了層狀砂土地基承載力，然后借鑒前人的研究成果，采用理論分析法對地基破壞模式和承載力計算方法加以研究，得到以下結論：

(1) 層狀砂土地基破壞模式可以分為沖剪破壞、過渡破壞和一般剪切破壞，當上層砂土的厚度不足以將破壞面包括在內但可以將錐形破壞錐體包括在內時發生過渡破壞模式。

(2) Hanna 方法和BRE 470方法只適用于沖剪破壞情況下地基承載力計算，而且BRE 470方法的地基承載力計算結果偏于保守。

(3) 本文所提出的過渡破壞模式下層狀砂土地基承載力計算方法可以應用于具體的工程設計，具有校強實用性。