基于FHN神經元電路的研究性教學探索

陳 墨 武花干 徐 權

(常州大學 微電子與控制工程學院， 常州 213164)

“電子技術課程設計”是電子信息類本科專業一門重要的實踐類課程。課程旨在融合“電路分析”“模擬電子技術”“數字電子技術”等多門專業課程的核心知識，提高學生應用理論知識解決實際電路問題的能力，啟發學生的創新意識和創新思維[1]。國內學者已經基于虛擬仿真教學[2]、項目化教學[3]、混合式教學[4]等對該課程進行了非常有意義的探索與改革。

針對“電子技術課程設計”選題過于陳舊、缺乏創新性與時代性的問題，可引入以Fitzhugh-Nagumo(FHN)神經元電路為核心的研究性教學案例。生物神經元是神經系統處理信號的基本單元，在外界刺激的作用下可以呈現靜息態、尖峰放電、簇發放電以及混沌放電等多種放電模態[5]。對生物神經元模型的復雜放電模態進行動力學分析，有助于探索生物神經網絡的反應機制和工作原理。近年來，生物神經元模型的建立與應用得到了越來越多的關注，成為電子信息科學與計算神經科學領域的研究熱點。在本科教學中拓展神經形態電路相關研究內容，對開拓學生的創新性思維具有重要作用，符合國家《“十四五”規劃》提出的“瞄準人工智能、量子信息、基礎電路、生命健康、腦科學等前沿領域，實施一批具有前瞻性、戰略性的國家重大科技項目”的指導原則。

FHN神經元模型是由經典Hodgkin-Huxley模型簡化得到的二維神經元模型[5]，數學模型相對簡單，適合用作本科實踐教學的典型案例。以FHN神經元模型中膜電位非線性關系的電路實現為切入點，設計一類改進的FHN神經元電路，并開展數學建模分析和電路仿真驗證研究，內容涉及“電路分析”課程的基本元件特性和電路分析方法、“模擬電子技術”課程的運算放大器應用電路、基于Matlab的數值仿真技術，以及基于Multisim的電路仿真技術。所設計的研究性教學案例可作為“電子技術課程設計”以及電子信息類其他實踐類課程的研究案例。

1 教學方案設計

(1)布置FHN神經元模型相關綜述文獻和研究性論文，指導學生掌握科技文獻的閱讀方法，了解FHN神經元模型相關研究背景和研究現狀，啟發學生的創新意識和創新思維[6]。

(2)以FHN神經元模型中膜電位非線性關系的電路實現為切入點，利用“模擬電子技術”中所學的半導體元器件及應用電路，對FHN神經元模型進行電路實現，得到改進的FHN神經元電路。

(3)利用“電路分析”中所學的基本元件特性和電路分析方法，推導所構建FHN神經元電路的狀態方程，開展數值仿真分析。進一步的，利用Multisim電路仿真軟件開展仿真驗證研究。鼓勵學有余力的學生，開展基于數字或模擬電路的實驗測試研究。

(4)科學地分析數值仿真和電路仿真得到的數據，探尋其中存在的誤差、引起誤差的主要原因及其解決方案，得到一般性結論，形成邏輯嚴密、格式規范、語言專業的研究報告。選取優秀作品，進行研討總結。

(5)基于研究報告、中期檢查和驗收匯報，從科技文獻閱讀能力、電路設計能力、理論分析能力、仿真軟件應用和調試能力、報告撰寫能力五個方面綜合評定課程研究內容的完成情況。

2 FHN神經元電路實現方案

FHN神經元模型是由經典Hodgkin-Huxley模型簡化得到的二維神經元模型，其數學模型為

(1)

其中含有膜電位V和恢復變量W兩個狀態變量，以及a、b、c、z四個系統控制參數。該模型可以模擬陽極突變激活(anode break excitation)現象和輸入適應性(accommodation)，但是無法產生自發混沌或簇放電現象[5]。因此，研究者們通過施加噪聲激勵、引入憶阻突觸等方式對經典FHN模型或電路進行改進[7]，以獲得更加豐富的動力學特性。

以FHN神經元模型中膜電位非線性關系的改進和電路實現為切入點，利用反向并聯二極管對的對稱非線性伏安特性、運算放大器的非線性飽和特性等替換式(1)中膜電位的非線性關系，可以得到改進的FHN神經元電路。此外，亦可采用憶阻元件含有內部狀態變量的特殊非線性[8]，描述FHN神經元中膜電位的非線性特性，得到更高維度、更為復雜的FHN神經元電路。基于這些特性各異的非線性元器件，可以構造出具有不同動力學特征的FHN神經元電路，為“電子技術課程設計”實踐教學的開展提供豐富的研究實例，同時啟發學生開展神經形態電路設計的創新思維。

3 基于分段線性電阻的FHN神經元電路

以基于運算放大器飽和特性實現的分段線性電阻為例，進行FHN神經元電路的設計，構造了一種結構簡單、容易電路實現的二階非自治FHN神經元電路，其電路結構如圖1所示。為了規避交流電流源的使用，便于后續開展硬件電路測試，電路中采用交流電壓源vS串聯電阻R0實現非自治FHN神經元電路所需要的外加交流激勵信號。

圖1所示FHN神經元電路電路由電容C，電感L，線性電阻R0和R，交流電壓源vS，以及非線性電阻RN構成。左側虛線框內的非線性電阻RN利用運算放大器的飽和特性實現，當R2=R3時，其伏安關系可以描述為[9]

iN=G2vC+0.5(G1-G2)(|vC+Bp|-|vC-Bp|)

(2)

圖1 基于分段線性電阻的FHN神經元電路

其中

(3)

Esat是運算放大器的飽和輸出電壓。當運算放大器的電源電壓為15 V時，飽和輸出電壓Esat約為13 V。

根據基爾霍夫電壓和電流定律，以及電容和電感的伏安關系，推導得到電路的狀態方程為

(4)

其中，交流電壓激勵信號為vS=vmsin(2πft)，vm和f分別為外加激勵信號的幅度和頻率。

將圖1的電路參數設置為vm=20 V，f=5 kHz，C=0.1 nF，E=1 V，L=10 mH，R0=20 kΩ，R=3 kΩ，R1=5 kΩ，R2=R3=10 kΩ。數值仿真時，選擇電路方程的初始狀態為(0 V, 0 mA)，采用Matlab仿真軟件和龍格-庫塔ODE23算法對電路方程(4)進行求解，進而繪制出狀態變量vC或iL隨外加激勵幅度vm和頻率f、平衡電位E等參數變化的分岔圖。據此解析FHN神經元的放電模態及其隨相關參數轉化的情況。根據分岔圖揭示的動力學演化規律，繪制出vC-iL平面的相軌圖、狀態變量vC的時域波形圖，更為直觀地觀測電路的放電模態。

以平衡電位E為例。隨著E的增加，FHN神經元電路由雙邊簇發，演化為單邊簇發。而且，單邊簇發的激發態持續時間隨著E的增加逐漸縮短，最終演化為單周期狀態。簇發放電是神經元的主要放電節律之一，其時域波形表現為靜息態和激發態(即具有較大振幅的重復尖峰行為)之間的相互轉遷。圖2給出了E=1 V和E=0.3 V時，vC-iL平面投影的相軌圖和狀態變量vC的時域波形圖。從圖中，可以清晰地觀察到神經元電路工作模態在靜息態和激發態之間的轉遷。而且，vC的時域波形規律地周期性重復，說明電路產生了周期簇發放電行為，而不是雜亂無章的混沌簇發放電行為。

基于Multisim電路仿真軟件，搭建圖3所示的電路仿真模型，對圖2給出的數值仿真結果進行電路仿真驗證。仿真模型中采用AD711AH運算放大器，偏置電壓為± 15 V時，其飽和輸出電壓測量值為± 12.95 V，與數值仿真中設置的Esat基本接近。

設置仿真步長為“1e-007”，設定動態元件狀態初值由任意值起振，運行仿真軟件，并采用雙蹤示波器對電容電壓vC和電感電流iL進行監測。得到的相軌圖和時域波形仿真結果如圖4所示。圖4的電路仿真結果與圖2所示的數值仿真結果，在行為特性上完全一致，但是相軌圖的拓撲結構存在細微的差別。需要注意的是，當采用憶阻來構建FHN神經元電路時，可能產生依賴于動態元件狀態初值的復雜放電模態[7]。對這類初值敏感的放電模態進行電路仿真時，需要為電容、電感等動態元件設定初始電壓、初始電流，并將“Simulate-Interactive Simulation Setting”中的“Initial conditions”設為“User-defined”，使電路按照設定的狀態初值起振，才能得到對應的放電模態。

(a) E=1 V時的周期簇發放電行為

(b) E=0.3 V時的周期簇發放電行為圖2 數值仿真得到的周期簇發放電行為

結合Matlab數值仿真和Multisim電路仿真，可以對圖1所示FHN神經元電路隨電路參數和動態元件狀態初值變化的放電行為做系統的分析。進一步地，可以利用商用元器件，制作出硬件電路開展電路測試研究。

將實驗結果與數值仿真和電路仿真的結果進行對比，總結其中相吻合的特性、存在的偏差，以及引起偏差的原因及改進措施，得到一般性結論，并形成系統的研究報告。研究報告的撰寫不僅要保證結果的正確性，還要注重報告格式的規范性、邏輯的嚴密性和語言的專業性。從細節做起，培養學生逐步養成嚴謹求實、認真負責、精益求精的工程素養和科學精神。

4 結語

針對“電子技術課程設計”課程選題過于陳舊、缺乏創新性與時代性的問題，提出基于FHN神經元電路的研究性教學案例，并以基于分段非線性電阻的FHN神經元電路為例，進行了數學建模、數值仿真和電路仿真研究。所設計的研究性教學案例可作為“電子技術課程設計”以及電子信息類其他實踐類課程的設計內容，以有效地貫通理論課程的關鍵知識點，建立理論知識與實際應用之間的橋梁，也有利于啟發學生的創新意識和創新思維。

圖3 Multisim電路仿真模型

(a) E=1 V時的周期簇發放電行為

(b) E=0.3 V時的周期簇發放電行為圖4 電路仿真得到的周期簇發放電行為