“教學(xué)相長(zhǎng)”在數(shù)字電路實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的實(shí)踐

李 峭 何 鋒 張玉璽 熊華鋼

(北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 北京 100191)

自從2017年以來(lái)，教育部積極推進(jìn)新工科建設(shè)，全力探索能夠領(lǐng)跑全球工程教育的中國(guó)模式、中國(guó)經(jīng)驗(yàn)；其中，在“‘新工科’建設(shè)行動(dòng)路線(xiàn)”[1]中，包含“問(wèn)學(xué)生志趣變方法，創(chuàng)新工程教育方法與手段”的倡議，提倡增強(qiáng)師生互動(dòng)、改革教學(xué)方法。與此同時(shí)，翻轉(zhuǎn)課堂[2]、基于學(xué)習(xí)產(chǎn)出的教育OBE(Outcome-Based Education)[3]等教學(xué)理念以及MOOC、SPOC等教學(xué)手段也被廣泛借鑒，并在實(shí)踐中改進(jìn)，改進(jìn)中實(shí)踐。

數(shù)字電路是電工電子和信息專(zhuān)業(yè)本科生的專(zhuān)業(yè)課程，也關(guān)系到智能制造、集成電路等新興專(zhuān)業(yè)的基礎(chǔ)知識(shí)培養(yǎng)，需要秉持有利于培養(yǎng)學(xué)習(xí)者獨(dú)立、創(chuàng)新和實(shí)踐精神的理念進(jìn)行教學(xué)改革。近年來(lái)，在“數(shù)字電路”教育和教學(xué)實(shí)踐中，涌現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容層次劃分[4]、適應(yīng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的教學(xué)內(nèi)容調(diào)整[5]等教學(xué)模式創(chuàng)新，采用了虛擬仿真[4]和虛擬實(shí)驗(yàn)儀器[5]等教學(xué)手段，并且結(jié)合新的設(shè)計(jì)方法探索“提問(wèn)-啟發(fā)-思考-解答”的教學(xué)過(guò)程[6]。

“數(shù)字電路與系統(tǒng)”是北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院大三年級(jí)本科生的專(zhuān)業(yè)核心課，也采取理論課與實(shí)驗(yàn)課統(tǒng)一授課的模式[5]。在教學(xué)實(shí)踐中，深切地體會(huì)到學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力關(guān)系到教學(xué)模式、手段和過(guò)程改革的效果，也關(guān)系到能否在未來(lái)順利實(shí)施OBE等教學(xué)理念。

為了啟發(fā)學(xué)生的自主思考，引導(dǎo)養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，教師一方面將課程實(shí)驗(yàn)與學(xué)科特色相結(jié)合提高學(xué)生的志趣[6]，另一方面，以“教學(xué)相長(zhǎng)”的精神持續(xù)地改進(jìn)教學(xué)過(guò)程和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。

作為一種雙向的啟發(fā)，“教學(xué)相長(zhǎng)”[7]以平等的研討和互動(dòng)激發(fā)了學(xué)生的專(zhuān)業(yè)思考能力，也使教師及時(shí)且鮮活地得到學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)出的反饋。下面以“電子連環(huán)”FPGA實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)為案例，說(shuō)明“教學(xué)相長(zhǎng)”在教育教學(xué)改革中的實(shí)踐情況。

1 實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 課程的基本情況

經(jīng)過(guò)2016年的籌備，2017年小范圍試用，自2018年全面推廣至今，基于硬件描述語(yǔ)言編程、EDA工具和FPGA實(shí)現(xiàn)的課內(nèi)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)被納入2019年底修訂的“數(shù)字電路與系統(tǒng)”教學(xué)大綱。該課程每學(xué)期授課32次，每次2課時(shí)；其中課內(nèi)實(shí)驗(yàn)安排8次課，如表 1所示。統(tǒng)一授課模式使基礎(chǔ)知識(shí)和實(shí)驗(yàn)技能的學(xué)習(xí)過(guò)程有機(jī)地結(jié)合，教師也可以根據(jù)學(xué)生知識(shí)掌握的情況進(jìn)行微調(diào)。

表1 課內(nèi)實(shí)驗(yàn)課時(shí)的安排

在有限的實(shí)驗(yàn)課時(shí)中，進(jìn)行Verilog HDL編程的精講，以及實(shí)驗(yàn)的引導(dǎo)、講評(píng)和演示；學(xué)生則分為3～4人的小組，使用便攜式實(shí)驗(yàn)板在課下完成實(shí)驗(yàn)，不占課時(shí)。這種實(shí)驗(yàn)板由本學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心開(kāi)發(fā)，核心為50萬(wàn)門(mén)規(guī)模的FPGA芯片，并集成有編程器，直接用USB電纜連接計(jì)算機(jī)就能實(shí)現(xiàn)JTAG編程和調(diào)試。實(shí)驗(yàn)板外形尺寸參照arduino，便于與其他課程中的微控制器板接口并堆疊使用[8]。

課程中安排三次課內(nèi)實(shí)驗(yàn)，前兩次分別針對(duì)數(shù)字邏輯和有限狀態(tài)機(jī)，第三次為綜合實(shí)驗(yàn)。其中，數(shù)字邏輯實(shí)驗(yàn)雖然不是“零起點(diǎn)”(“零起點(diǎn)”的學(xué)生已經(jīng)在EDA工具教學(xué)后，以作業(yè)的形式根據(jù)例程實(shí)踐了基本開(kāi)發(fā)流程)，但不僅承擔(dān)著使學(xué)生熟悉實(shí)驗(yàn)器材、掌握FPGA開(kāi)發(fā)流程、培養(yǎng)后續(xù)實(shí)驗(yàn)的先備技能的入門(mén)作用，而且具有將當(dāng)時(shí)所傳授的邏輯代數(shù)和組合邏輯課本知識(shí)融會(huì)貫通于硬件實(shí)現(xiàn)的職能，更是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)志趣，熏陶專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

在2018年，根據(jù)“九連環(huán)”與格雷碼的關(guān)系設(shè)計(jì)了數(shù)字邏輯實(shí)驗(yàn)，并且切實(shí)經(jīng)歷了師生相互啟發(fā)的過(guò)程，在2020年更新了實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，完善并擴(kuò)展了與數(shù)字編碼、組合邏輯設(shè)計(jì)有關(guān)的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，是能夠?qū)嵶C“教學(xué)相長(zhǎng)”的典型案例。

1.2 數(shù)字邏輯實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

1) 實(shí)驗(yàn)背景

在進(jìn)行數(shù)字邏輯實(shí)驗(yàn)(即第一次課內(nèi)實(shí)驗(yàn))之前，學(xué)生先修的數(shù)字電路理論知識(shí)為：數(shù)制與編碼、邏輯代數(shù)基礎(chǔ)、門(mén)電路。

在數(shù)字編碼中，格雷碼(Gray code)具有單位距離等特性，且與邏輯代數(shù)基礎(chǔ)中卡諾圖有關(guān)，是需要掌握的知識(shí)點(diǎn)。傳統(tǒng)玩具“九連環(huán)”恰好與格雷碼序列的變化規(guī)律有關(guān)，如圖 1所示，它由“釵”“板”以及連鎖的環(huán)組成。如果以環(huán)套在“釵”上為“1”，取下落在“板”上為“0”，則將環(huán)從“釵”上全部取下的變化過(guò)程是格雷碼的逆序。

圖1 “九連環(huán)”玩具

布置實(shí)驗(yàn)只需要1個(gè)課時(shí)，在隨后的3周期限內(nèi)學(xué)生在課下完成實(shí)驗(yàn)。便攜式實(shí)驗(yàn)期間可以通過(guò)課堂教學(xué)繼續(xù)傳授理論知識(shí)，而且實(shí)驗(yàn)開(kāi)始后課堂教學(xué)內(nèi)容恰好是組合邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)，且講解了格雷碼與自然二進(jìn)制碼轉(zhuǎn)換的例題。

因此，通過(guò)硬件描述語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)“電子連環(huán)”，模擬“九連環(huán)”的求解原理，既能鞏固課堂所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，又是非常有趣的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。

2) 實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)

除了在數(shù)字邏輯知識(shí)體系上獲得鞏固和發(fā)展的深層次教學(xué)目標(biāo)之外，具體的實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)為：

(1) 熟練掌握數(shù)字電路EDA編程、綜合、仿真測(cè)試和硬件下載的流程；

(2) 掌握Verilog HDL的模塊語(yǔ)法結(jié)構(gòu)，以及模塊的實(shí)例化方法，認(rèn)識(shí)到模塊封裝的設(shè)計(jì)思想；

(3) 掌握通過(guò)連續(xù)賦值assign和帶有電平敏感表的always過(guò)程塊實(shí)現(xiàn)組合邏輯的編程方法；

(4) 在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，注意督促學(xué)生養(yǎng)成良好的編程習(xí)慣(如縮進(jìn)、變量命名等)，并培養(yǎng)他們仿真測(cè)試和調(diào)試的技巧。

3) 實(shí)驗(yàn)要求

(1) 要求使用便攜式實(shí)驗(yàn)板上的LED數(shù)碼段，分別表示“九連環(huán)”中每個(gè)環(huán)的“1”“0”狀態(tài)，約定以點(diǎn)亮LED段表示“1”，熄滅表示“0”；(注：由于外設(shè)限制，2018年的實(shí)驗(yàn)只模擬了“八連環(huán)”)

(2) 要求具有“電子連環(huán)”求解功能，即初始狀態(tài)為全“1”，按動(dòng)一下按鍵，就按照格雷碼序列的逆序，改變某個(gè)環(huán)的狀態(tài)，連續(xù)按動(dòng)按鍵，直至使所有的環(huán)都為“0”；

(3) 采用Verilog HDL語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)“電子連環(huán)”求解的組合邏輯，且不允許使用查表法；

(4) 要求對(duì)關(guān)鍵的數(shù)字邏輯進(jìn)行功能仿真測(cè)試；

(5) 要求最終下載到便攜式實(shí)驗(yàn)板實(shí)現(xiàn)并演示。

上述僅為實(shí)驗(yàn)的基本要求，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，可分階段地安排自動(dòng)求解，以及從任意初始狀態(tài)求解等內(nèi)容。

4) 實(shí)驗(yàn)實(shí)施過(guò)程中教師的引導(dǎo)

教師和助教在課下投入大量的精力進(jìn)行答疑和個(gè)別輔導(dǎo)。

在2018年的第一代“電子連環(huán)”實(shí)驗(yàn)中，教師想到的只是將格雷碼轉(zhuǎn)換為自然二進(jìn)制數(shù)，減1操作后再轉(zhuǎn)換回格雷碼的方案；經(jīng)過(guò)“教學(xué)相長(zhǎng)”的過(guò)程，在2020年推出的“第二代”實(shí)驗(yàn)中已經(jīng)能夠模擬“九連環(huán)”的機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解。

因此，在2018年的輔導(dǎo)中只需要提示格雷碼與自然二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并可以聯(lián)系課堂所學(xué)的組合邏輯例題。而在2020年的輔導(dǎo)中，明確鋪墊出“自由環(huán)”和“使能環(huán)”的概念(參見(jiàn)4.1)，并建議學(xué)生通過(guò)格雷碼“單位距離”的證明(參見(jiàn)4.2)自主地發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。

在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，學(xué)生難免產(chǎn)生畏難情緒，需要教師從技巧上和心理上進(jìn)行引導(dǎo)和鼓勵(lì)：

(1) 對(duì)于便攜式實(shí)驗(yàn)板上的數(shù)碼管動(dòng)態(tài)掃描、按鍵去抖等功能均提供成熟的模塊供實(shí)例化，使學(xué)生集中精力設(shè)計(jì)關(guān)鍵的數(shù)字邏輯，并養(yǎng)成有意識(shí)地封裝功能模塊積累“元件庫(kù)”的好習(xí)慣；

(2) 以學(xué)生真正學(xué)會(huì)學(xué)懂為目的，在答疑的時(shí)候?qū)拠?yán)適度，如果實(shí)驗(yàn)小組確實(shí)用心地進(jìn)行了設(shè)計(jì)與調(diào)試，只是卡在某個(gè)具體問(wèn)題上，可以給他們看看參考設(shè)計(jì)，捅破“窗戶(hù)紙”，避免過(guò)分以實(shí)驗(yàn)成績(jī)?yōu)閷?dǎo)向造成師生的對(duì)立，使學(xué)生樂(lè)于參與“教學(xué)相長(zhǎng)”過(guò)程。

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中典型的“教學(xué)相長(zhǎng)”過(guò)程

成語(yǔ)“教學(xué)相長(zhǎng)”出自《禮記·學(xué)記》，本意是指教師自身的教與學(xué)，后引申為師生之間相互促進(jìn)[8]。“教學(xué)相長(zhǎng)”的精髓在于“自反”，即所謂“…學(xué)然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后自強(qiáng)也”。而且，反饋的內(nèi)容并不是教師事先預(yù)設(shè)好的，更不是為了取悅學(xué)生，而是歷經(jīng)了長(zhǎng)期的相互啟發(fā)和改進(jìn)。

最初“九連環(huán)”的引入是為了配合格雷碼和自然二進(jìn)制碼的組合邏輯分析的課堂教學(xué)，引起了學(xué)生們的廣泛興趣。當(dāng)基礎(chǔ)知識(shí)課程教學(xué)與課內(nèi)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)一安排之后，教師不失時(shí)機(jī)地在2018年秋季學(xué)期設(shè)計(jì)并布置了第一代“電子連環(huán)”實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)施的過(guò)程中，教師耐心地答疑，虛心地聽(tīng)取學(xué)生的反饋，細(xì)心地評(píng)閱實(shí)驗(yàn)報(bào)告，重視并落實(shí)“教學(xué)相長(zhǎng)”中重要的“自反”環(huán)節(jié)。其中，對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的改進(jìn)起到?jīng)Q定作用的“自反”環(huán)節(jié)為：

(1) 評(píng)閱2018年實(shí)驗(yàn)報(bào)告時(shí)發(fā)現(xiàn)，一組學(xué)生提到模擬“九連環(huán)”的機(jī)械結(jié)構(gòu)(見(jiàn)第4.1節(jié))進(jìn)行電路實(shí)現(xiàn)的想法，但沒(méi)有給出具體方案，這種新穎的想法得到了教師的重視；但是，單純從解“九連環(huán)”的民間口訣入手，由于存在遞歸，并不適宜硬件描述語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，這個(gè)問(wèn)題的確使教師“教然后知困”。

(2) 2020年課堂教學(xué)第1周，剛講到格雷碼性質(zhì)的時(shí)候，學(xué)生提問(wèn)格雷碼序列的“單位距離”特性是如何證明的；對(duì)于這個(gè)在教學(xué)參考書(shū)上沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)的證明，教師接受挑戰(zhàn)，在自主給出證明的同時(shí)，縈繞在心頭的模擬“九連環(huán)”機(jī)械結(jié)構(gòu)的問(wèn)題突然豁然開(kāi)朗，由此設(shè)計(jì)升級(jí)得到第二代“電子連環(huán)”實(shí)驗(yàn)。

可見(jiàn)，只要教師真正重視學(xué)生的反饋，就可以充分利用“教學(xué)相長(zhǎng)”過(guò)程發(fā)揚(yáng)學(xué)生思維靈活的優(yōu)勢(shì)，提高教學(xué)的專(zhuān)業(yè)水平和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)質(zhì)量。

3 第一代“電子連環(huán)”實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

設(shè)n比特格雷碼和自然二進(jìn)制碼被分別記為為“gn-1gn-2…g0”和“bn-1bn-2…b0”，格雷碼到自然二進(jìn)制碼的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(1)

自然二進(jìn)制碼到格雷碼的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(2)

由于當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)板顯示外設(shè)的限制，要求用FPGA實(shí)現(xiàn)“電子八連環(huán)”的模擬求解。圖 2給出了一種參考設(shè)計(jì)——環(huán)的位置用格雷碼表示，以寄存器變量存儲(chǔ)，將它轉(zhuǎn)換為自然二進(jìn)制數(shù)，用戶(hù)通過(guò)按鍵觸發(fā)“減1”操作后，再將得到的數(shù)值轉(zhuǎn)換回格雷碼，更改原寄存器的值。

圖2 第一代“電子連環(huán)”參考設(shè)計(jì)模塊圖

由于在入門(mén)階段并沒(méi)有系統(tǒng)地講授時(shí)序邏輯電路知識(shí)，用按鍵脈沖作為觸發(fā)信號(hào)會(huì)使EDA工具報(bào)“門(mén)控時(shí)鐘”(gated clock)警告，也有可能由于競(jìng)爭(zhēng)冒險(xiǎn)造成轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤。這些都在預(yù)料之中，經(jīng)過(guò)引導(dǎo)，讓學(xué)生“理解其局限性”[10]，能夠成為他們工程教育中的寶貴經(jīng)歷。

然而，該實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)真正的缺陷在于，完全套用了轉(zhuǎn)換公式(1)和(2)，與實(shí)際的“九連環(huán)”結(jié)構(gòu)并沒(méi)有關(guān)系。曾有一份實(shí)驗(yàn)報(bào)告提到了以機(jī)械結(jié)構(gòu)模擬的思想，但并未給出方案。真正合理的設(shè)計(jì)尚需教師和學(xué)生們?cè)跈C(jī)緣巧合下相互啟發(fā)。

4 改進(jìn)的“電子連環(huán)”實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

4.1 機(jī)械結(jié)構(gòu)約束

設(shè)g0為離手柄最遠(yuǎn)的環(huán)，則由機(jī)械結(jié)構(gòu)限定，g0總是可以通過(guò)一步操作自由地套在“釵”上或從“釵”上取下，我們稱(chēng)之為“自由環(huán)”。

如果設(shè)i>0，對(duì)于某個(gè)環(huán)gi，如果緊挨著它的低位環(huán)是套在“釵”上(即gi-1=1)，并且要么gi-1是g0且為0或g0=g1=…gi-2=0，此時(shí)的gi可以只通過(guò)一步操作套在“釵”上或者從“釵”上取下，我們稱(chēng)之為“使能環(huán)”。

對(duì)于“n連環(huán)”(n為整數(shù))，“自由環(huán)”總是存在，“使能環(huán)”除了“全零”和“10…0”兩種情況之外都存在。除了“自由環(huán)”和“使能環(huán)”，其他環(huán)都不能隨意地套上或取下。

4.2 數(shù)字邏輯與“九連環(huán)”的解法

從格雷碼單位距離特性的證明中，可以找到解開(kāi)“九連環(huán)”的數(shù)字邏輯規(guī)律。

性質(zhì)1(單位距離特性)格雷碼相鄰的碼字之間只有1位比特不同。

證明：

設(shè)兩個(gè)相鄰的n比特格雷碼符號(hào)分別為Gk和Gk+1(注：如果k=2n-1，則后者為Gn)，則它們所對(duì)應(yīng)的自然二進(jìn)制碼Bk和Bk+1的數(shù)值只相差1，即Bk比Bk+1遞減1。以下分情況討論：

情況1——如果Bk+1為奇數(shù)，則Bk和Bk+1只有最低位不同；

情況2——如果k<2n-1，且Bk+1為偶數(shù)，即可表示為“x…x10…0”形式，它的第i-1位到第0位為0，第i位為1；由Bk=Bk+1-1，則Bk的第i-1位到第0位為1，第i位為0；且此時(shí)Bk和Bk+1從第n位到第i+1位相同；

情況3——如果k=2n-1，Bk為全1，Bn相當(dāng)于Bk+1。

根據(jù)式(2)將Bk+1和Bk分別轉(zhuǎn)換為Gk+1和Gk，則在上述三種情況下，分別存在：

情況1——Gk+1和Gk只有最低位不同，其他位相同；

情況2——Gk+1和Gk只有第i位不同，其他位相同；

情況3——k=2n-1，Gk為“10…0”，Gn為全0，它們循環(huán)相鄰，只有最高位不同。

綜合上述三種情況，得證。

格雷碼單位距離特性的證明對(duì)于解開(kāi)“n連環(huán)”的啟示為：情況1對(duì)應(yīng)著操縱“自由環(huán)”，情況2對(duì)應(yīng)著操縱“使能環(huán)”，而情況3對(duì)應(yīng)著兩種不存在“使能環(huán)”的編碼狀態(tài)，其中Gn意味著“釵”和“板”完全分離。

4.3 自動(dòng)求解“電子連環(huán)”

在實(shí)驗(yàn)布置中，聽(tīng)取了教學(xué)名師的建議，采用分類(lèi)要求的方式兼顧不同能力水平的學(xué)生。基本要求為：模擬“九連環(huán)”機(jī)械結(jié)構(gòu)的約束規(guī)律進(jìn)行數(shù)字邏輯設(shè)計(jì)。要求以邏輯值表示環(huán)的狀態(tài)并用LED字段顯示；用一個(gè)按鍵循環(huán)移位選中某個(gè)環(huán)，用另一個(gè)按鍵對(duì)選中的環(huán)發(fā)出翻轉(zhuǎn)信號(hào)；若選中的環(huán)不能隨意翻轉(zhuǎn)，則保持當(dāng)前值并輸出提示信號(hào)。提示并鼓勵(lì)學(xué)生在編程中采用Verilog-2001標(biāo)準(zhǔn)的生成塊語(yǔ)句，使得可以根據(jù)參數(shù)n(n為整數(shù))實(shí)例化得到“電子n連環(huán)”。

擴(kuò)展要求是對(duì)于“電子連環(huán)”自動(dòng)求解。在《實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)》中，教師并未直接給出求解的通用方法，但提示學(xué)生通過(guò)研討單位距離特性的證明自主探索。實(shí)際上，由式(1)，如果Bk+1為奇數(shù)，即b0=1，則Gk+1一定含有奇數(shù)個(gè)“1”，對(duì)應(yīng)情況1；反之則對(duì)應(yīng)情況2；情況3中的Gn則可以作為停止求解的條件。換言之，存在：

情況1下的一步求解操作——如果當(dāng)前“釵”上套有偶數(shù)個(gè)環(huán)，則翻轉(zhuǎn)“使能環(huán)”；

情況2下的一步求解操作——如果當(dāng)前“釵”上套有奇數(shù)個(gè)環(huán)，則翻轉(zhuǎn)“自由環(huán)”。

表2和表3分別給出情況1和情況2一步求解的例子，并注明了對(duì)應(yīng)的格雷碼和自然二進(jìn)制編碼。

表2 情況1下翻轉(zhuǎn)“使能環(huán)”的例子

表3 情況2下翻轉(zhuǎn)“自由環(huán)”的例子

交替地在情況1和情況2下執(zhí)行一步求解操作，直至將所有的環(huán)從“釵”上解下，出現(xiàn)情況3，即 “釵”上環(huán)的個(gè)數(shù)為零，零也是偶數(shù)，但此時(shí)不存在“使能環(huán)”，求解自動(dòng)停止。

對(duì)于改進(jìn)的“電子連環(huán)”設(shè)計(jì)，圖 3給出自動(dòng)求解的參考方案。其中，仍以寄存器變量存儲(chǔ)格雷碼，表示環(huán)的狀態(tài)。根據(jù)機(jī)械結(jié)構(gòu)約束和當(dāng)前的格雷碼得到“使能環(huán)”位置的比特矢量，即“使能環(huán)”對(duì)應(yīng)的比特為“1”，其他為“0”；而“自由環(huán)”位置的比特矢量為常量“00…01”；根據(jù)格雷碼中“1”的個(gè)數(shù)的奇偶性選擇位置比特矢量——如果為偶數(shù)則選擇前者，否則選擇后者。將所選位置比特矢量作為寄存器變量中各比特的選通信號(hào)。由低頻脈沖的邊沿觸發(fā)，每次使寄存器變量中被“1”選通的比特位翻轉(zhuǎn)，直至變量為全零，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)求解。與圖2中的方案相比，該方案不需要多位格雷碼和自然二進(jìn)制碼的反復(fù)變換，避免了競(jìng)爭(zhēng)冒險(xiǎn)。

5 實(shí)驗(yàn)效果方面“教學(xué)相長(zhǎng)”的貢獻(xiàn)

在學(xué)期結(jié)束的時(shí)候，進(jìn)行了無(wú)記名問(wèn)卷調(diào)查，2018年秋和2020年秋的問(wèn)卷與本實(shí)驗(yàn)案例有關(guān)，分別收回101份和136份問(wèn)卷。學(xué)生選擇0～10分值，評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)質(zhì)量和課程滿(mǎn)意度，統(tǒng)計(jì)得到各分值樣本所占比例，如圖4(a)和圖4(b)。

圖3 “電子連環(huán)”自動(dòng)求解參考設(shè)計(jì)模塊圖

(a) 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的質(zhì)量

(b) 課程滿(mǎn)意度圖4 問(wèn)卷調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果

如果比較更加靈敏的凈推薦值(Net Promoter Score，NPS)指標(biāo)[11]，如表 4，可以發(fā)現(xiàn)2020年秋的指標(biāo)比前者有了較大幅度的提高。

表4 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)質(zhì)量和的滿(mǎn)意度的NPS指標(biāo) %

考察學(xué)生們的匿名書(shū)面評(píng)教意見(jiàn)，在2018年秋季學(xué)期，學(xué)生們贊許了教師的認(rèn)真態(tài)度；而在2020年秋季學(xué)期，則欣喜地發(fā)現(xiàn)學(xué)生在肯定教師認(rèn)真態(tài)度的同時(shí)，認(rèn)為課內(nèi)實(shí)驗(yàn)使“開(kāi)發(fā)FPGA的能力有了明顯的提高”。這種教師的“苦勞”到“功勞”的轉(zhuǎn)化是與“教學(xué)相長(zhǎng)”的反饋?zhàn)饔梅植婚_(kāi)的。

可見(jiàn)，不僅統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)體現(xiàn)了“教學(xué)相長(zhǎng)”對(duì)于持續(xù)提升實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)質(zhì)量的正向作用，而且學(xué)生的參與增強(qiáng)了他們駕馭專(zhuān)業(yè)知識(shí)的能力與信心。

6 知識(shí)體系方面“教學(xué)相長(zhǎng)”的貢獻(xiàn)

以格雷碼序列的實(shí)際應(yīng)用為例，高速異步FIFO緩沖器[12]以它被作為的緩沖隊(duì)列指針的編碼，需要實(shí)現(xiàn)格雷碼序列的“加1”和“減1”操作。

以往在“數(shù)字電路與系統(tǒng)”的教學(xué)中，傳授的格雷碼性質(zhì)包括：?jiǎn)挝痪嚯x特性、循環(huán)相鄰特性、鏡像反射特性，以及格雷碼與自然二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換方法(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“轉(zhuǎn)換法”)；以往只能依賴(lài)最后這條性質(zhì)實(shí)現(xiàn)格雷碼序列的遞增和遞減[13]。

通過(guò)師生之間“教學(xué)相長(zhǎng)”的相互啟發(fā)，不但通過(guò)模擬“九連環(huán)”的機(jī)械結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)了格雷碼序列遞增和遞減的新方法(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“機(jī)械模擬法”)，邏輯證明了單位距離特性，豐富了教學(xué)內(nèi)容，而且與“轉(zhuǎn)換法”相比，具有如下的優(yōu)勢(shì)：

(1) 雖然相鄰的格雷碼之間只有一位比特不同，但“轉(zhuǎn)換法”將格雷碼轉(zhuǎn)換到自然二進(jìn)制的組合邏輯存在著多位比特的同時(shí)變化，而“機(jī)械模擬法”能夠選定真正需要變化的一位，僅對(duì)它進(jìn)行翻轉(zhuǎn)操作；

(2) 當(dāng)碼長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí)，“轉(zhuǎn)換法”在計(jì)算式(1)和自然二進(jìn)制數(shù)減1(或加1)的超前進(jìn)位時(shí)需要多變量扇入的組合邏輯，而“機(jī)械模擬法”只需要在判斷“使能環(huán)”和判斷當(dāng)前碼字是否含有奇數(shù)個(gè)“1”的時(shí)候需要多變量扇入的組合邏輯，其實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度不高于前者；

(3) 還可以模擬機(jī)械結(jié)構(gòu)的約束，添加監(jiān)督控制機(jī)制，被錯(cuò)誤選定的位不會(huì)被使能，進(jìn)一步增強(qiáng)可靠性。

可見(jiàn)，學(xué)生思維活躍，善于提出問(wèn)題，教師從知識(shí)體系的角度，在引導(dǎo)他們解決問(wèn)題的過(guò)程中擴(kuò)展了專(zhuān)業(yè)能力，促成了新的知識(shí)發(fā)現(xiàn)。

7 結(jié)語(yǔ)

三年級(jí)本科生處于專(zhuān)業(yè)知識(shí)初步積累且思維活躍的階段，“教學(xué)相長(zhǎng)”使部分學(xué)生自主參與到教學(xué)過(guò)程中，進(jìn)而對(duì)其他學(xué)生起到帶動(dòng)作用。圍繞著一個(gè)數(shù)字電路實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)實(shí)例，展示了“教學(xué)相長(zhǎng)”使基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)與課內(nèi)實(shí)驗(yàn)建設(shè)在學(xué)生們的自主參與下得到了統(tǒng)一和持續(xù)提升。

與經(jīng)過(guò)預(yù)先設(shè)計(jì)的啟發(fā)式教學(xué)方法相比，通過(guò)“教學(xué)相長(zhǎng)”達(dá)到師生間相互啟發(fā)的境界也許會(huì)經(jīng)歷很長(zhǎng)的時(shí)間，具有“可遇而不可求”的缺點(diǎn)。但是，在“教學(xué)相長(zhǎng)”過(guò)程中，教師孜孜以求的精神，對(duì)待科學(xué)技術(shù)不恥下問(wèn)的態(tài)度，起到了“身教勝于言教”的作用，對(duì)于學(xué)生自主能力的培養(yǎng)，以及“課程思政”的建設(shè)均有裨益；與其他教育教學(xué)方法和手段融合，將有利于建設(shè)對(duì)學(xué)生現(xiàn)在和未來(lái)發(fā)展有重要影響力的課程。