突破函數與導數問題的幾種策略

李紅磊

(寧夏回族自治區銀川市靈武市第一中學)

對于同一問題的思考,不同的學生可能會有不同的想法,而且導數與函數的綜合問題題型多變、方法靈活,不同的方法繁簡差異很大,因此筆者建議學生在解題之前要多想少算,先想再算.

1 對數分離，指數合并

利用導數處理函數問題的關鍵是求函數的單調區間、極值和最值.求函數的單調區間需要判斷導函數的正負,求導函數的零點,即求解導函數為0的方程.若此方程為超越方程,處理時需先觀察函數結構特征,將之轉化變形構造新函數再求解.

例1設函數f(x)＝xlnx,若(a≠0)在區間(0,＋∞)上恒成立,求a的取值范圍.

若直接作差構造函數g(x)＝xlnx－ax2－,對其求導得g′(x)＝1＋lnx－2ax,令g′(x)＝0,即1＋lnx－2ax＝0,此方程無法求解,所以在求導之前可以先對函數進行變形,然后構造函數,借助所構造函數的單調性解決問題.

原函數中含有xlnx,求導后仍然含有lnx,在求導之前可先將二者分離.

本題所涉及的函數中含有xlnx,因此可先將lnx分離,再構造函數.但恰恰相反的是若函數中含有指數式ex,因其求導后仍為ex,故將ex與其他函數式合并后,反而會簡化計算.

2 特值檢驗，先猜后證

不等式恒成立、能成立問題是高考函數與導數綜合問題的常考題型.不等式恒成立,即對于所給區間內的任意x,不等式都成立,那么從給定區間內選取一個特殊值,一定能使不等式成立.類似地,若不等式不是恒成立,則存在某一個值使不等式不成立.因此,在相關問題的求解中,通過選取某些特殊值,往往可以簡化計算過程.

例2已知函數f(x)＝aex－1－lnx＋lna,若f(x)≥1恒成立,求實數a的取值范圍.

本題屬于不等式恒成立問題,可通過構造同構函數處理,但計算煩瑣,且對學生解題技能要求較高,因此采用直接求最值的方法求解.

函數f(x)的定義域為(0,＋∞),即任意的x∈(0,＋∞),f(x)≥1恒成立.將x＝1代入不等式f(x)≥1,得a＋lna≥1,即a≥1,接下來只需證明當a≥1時,f(x)≥1即可.

因為當a≥1 時,f(x)＝aex－1－lnx＋lna≥ex－1－lnx,因此只需證明ex－1－lnx≥1即可.

設g(x)＝ex－1－lnx,則,易得當x＝1時,g′(x)＝0,又,所以g′(x)單調遞增,所以x＝1是g′(x)＝0唯一的根.所以在(0,1)上,g′(x)＜0,g(x)單調遞減,在(1,＋∞)上,g′(x)＞0,g(x)單調遞增,所以g(x)≥g(1)＝1.

本題也可采用放縮法證明,即利用不等式ex≥x＋1,當x＝1時,取等號,將其中的x換為lnx,得x≥lnx＋1,綜合上面兩個不等式可得ex－1－lnx≥x－lnx≥1.

3 三思后行，不盲目求導

在處理函數與導數的綜合問題時,很多學生習慣直接求導,導致求導后對參數的討論情況較多,甚至不易討論.其實有些情況在求導之前就能討論清楚,因此我們要克服這種思維定勢,三思后行.

例3判斷函數f(x)＝acosx＋xsinx,x∈的零點個數.

直接求導可得f′(x)＝－asinx＋sinx＋xcosx＝(1－a)sinx＋xcosx,此時欲判斷導函數的符號,需要討論的情況較多.

對于沒有限制條件的參數問題,分類的標準通常是三類,即大于0、小于0、等于0.

當a＝0時,f(x)＝xsinx,易知其在上只有一個零點,即x＝0.

當a＞0時,在上,acosx＞0,xsinx≥0,即f(x)＞0恒成立,所以此時f(x)沒有零點.

這兩種情況在求導之前就完全能夠討論清楚,下面只需對a＜0的情況進行判斷即可.

當a＜0時,f′(x)＝(1－a)sinx＋xcosx,易知f′(0)＝0,且在)上,f′(x)＜0,f(x)單調遞減;在)上,f′(x)＞0,f(x)單調遞增.又f(0)＝,所以此時函數f(x)在上有兩個零點.

求解以三角函數為背景的導數綜合問題常用的方法是分區間討論法,即尋找原函數或導函數恒正或恒負的區間,而有些情況需要在求導之前討論,因此解答此類問題時切不可盲目求導.

4 變量設參，反客為主

與導數有關的問題,大多含有參數,通常我們是將x視為主元.在某些情況下,若將參數視為主元,往往可起到化繁為簡的功效.

例4已知a＞0,函數f(x)＝ax2－x,g(x)＝lnx.若不等式f(x)≥g(ax)在(0,＋∞)上恒成立,求a的值.

f(x)≥g(ax),則ax2－x－ln(ax)≥0,令m(x)＝ax2－x－ln(ax),則

令m′(x)＝0,即2ax2－x－1＝0,此方程為一元二次方程,要結合判別式及根與系數的關系討論其零點的存在情況,因此不妨將a視為主元,進而構造函數,利用導數研究所構造函數的單調性進行求解.

將ax2－x－ln(ax)≥0 中的a視為主元,令m(a)＝ax2－x－ln(ax),則問題轉化為mmin(a)≥0.

設h(x)＝1－x－ln＝1－x＋lnx,則,所以在(0,1)上,h′(x)＞0,h(x)單調遞增;在(1,＋∞)上,h′(x)＜0,h(x)單調遞減,所以hmax(x)＝h(1)＝0,mmin(a)≤0.

但我們所要的關系式是mmin(a)≥0,故只有mmin(a)＝0時,同時滿足兩式,此時且x＝1,故a＝1.

題目中的常量與變量是相對的,并沒有指定哪個量一定為主元,因此根據解題的需要,若將常量與變量易位思考,可能會起到化難為易之效.

當然,類似的問題還有很多,比如求導之前觀察所給函數是否能直接得出零點,這些點就是我們后續解題的關鍵.函數是否具有奇偶性,若具有,則求函數的單調區間、極值和最值,判斷其零點個數均在y軸右側即可.動筆之前先將這些問題考慮清楚,可收獲事半功倍的效果.

(完)