與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的最值(值域)問題

宋月英

(甘肅省蘭州市第十四中學(xué))

本文擬通過歸類舉例的形式,具體說明如何準(zhǔn)確求解以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體的最值(值域)問題,旨在幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識,并靈活應(yīng)用所學(xué)方法求解問題,進(jìn)一步提高處理此類問題的能力,進(jìn)而提升數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等核心素養(yǎng).

1 求函數(shù)的最值

例1已知函數(shù)y＝4－x＋21－x－5,當(dāng)－1≤x≤0時,求該函數(shù)的最小值和最大值.

求解本題的關(guān)鍵在于通過換元變形將原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的一元二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題,再借助“配方”變形即可順利獲解.

例2已知函數(shù)f(x)＝2－log3x(x∈[1,9]),且函數(shù)g(x)＝[f(x)]2＋f(x2),求函數(shù)g(x)的最小值和最大值.

注意到函數(shù)f(x)與f(x2)必須同時有意義,從而應(yīng)滿足解得x∈[1,3].因此,函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇1,3].

因?yàn)間(x)＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2－log3x)2＋2－log3x2＝(log3x)2－6log3x＋6,所以令t＝log3x,則由x∈[1,3],可得t∈[0,1],且

于是,當(dāng)t＝1,即x＝3 時,g(x)取得最小值,gmin(x)＝1;當(dāng)t＝0,即x＝1時,g(x)取得最大值,gmax(x)＝6.

求解本題需要關(guān)注兩點(diǎn):一是準(zhǔn)確分析函數(shù)g(x)的定義域,要注意該函數(shù)的定義域并不是函數(shù)f(x)的定義域;二是在實(shí)施換元變形的基礎(chǔ)上,需要等價轉(zhuǎn)化目標(biāo)問題.

2 求函數(shù)的值域

例3求下列函數(shù)的值域:

(1)因?yàn)閤2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2,所以,所以根據(jù)指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減,可得

求解復(fù)合函數(shù)的值域時,需要先求出復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)值的取值范圍,然后靈活運(yùn)用外層函數(shù)——指數(shù)函數(shù)(或?qū)?shù)函數(shù))的單調(diào)性加以靈活分析.

3 由給定的最值，求參數(shù)的值

例4已知當(dāng)x∈[1,3]時,函數(shù)y＝ax2－3x＋3(a＞0,a≠1)有最大值8,求實(shí)數(shù)a的值.

因?yàn)閤2－3x＋3＝,所以當(dāng)x∈[1,3]時,易知,從而可得

又因?yàn)榈讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定,所以需要進(jìn)行分類討論.

若a＞1,則ax2－3x＋3≤a3,所以根據(jù)已知條件“當(dāng)x∈[1,3]時,函數(shù)有最大值8”可得a3＝8,解得a＝2(滿足前提條件a＞1).

若0＜a＜1,則,所以根據(jù)已知條件“當(dāng)x∈[1,3]時,函數(shù)有最大值8”可得,解得a＝16,這與前提條件0＜a＜1矛盾.

綜上,實(shí)數(shù)a的值為2.

盡管本題給定函數(shù)的最大值,但是仍要按照求函數(shù)最大值的方式去思考.利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解題時,如果不能確定底數(shù)a與1的大小關(guān)系,那么需要分兩種情況(a＞1和0＜a＜1)進(jìn)行討論.

4 由給定的值域，求參數(shù)的取值范圍

例5已知函數(shù)f(x)＝log2023[(a2－1)x2＋2(a＋1)x＋1]的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

要滿足函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽,則應(yīng)使g(x)＝(a2－1)x2＋2(a＋1)x＋1的函數(shù)值能夠取遍所有的正數(shù).

又因?yàn)閍2－1與0的大小關(guān)系不確定,所以需要進(jìn)行分類討論.

當(dāng)a＝1時,因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝4x＋1,其函數(shù)值的值域?yàn)樗械恼龜?shù)(此時f(x)的定義域?yàn)椋?),所以a＝1滿足題意.

當(dāng)a＝－1時,因?yàn)間(x)＝1,其函數(shù)值不能夠取遍所有的正數(shù),所以a＝－1不滿足題意.

當(dāng)a≠±1時,因?yàn)間(x)是二次函數(shù),所以由題意可知該二次函數(shù)的圖像開口向上,且與x軸相切或相交.設(shè)方程g(x)＝0 的兩個實(shí)數(shù)根為x1,x2,且x1≤x2,此時原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤x1或x≥x2},因而可得不等式組

解得a＞1.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,＋∞).

1)本題易出現(xiàn)錯解:根據(jù)函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽,先得到不等式(a2－1)x2＋2(a＋1)x＋1＞0恒成立,再據(jù)此進(jìn)行分析.請思考:如此對函數(shù)的值域進(jìn)行轉(zhuǎn)化,為什么是不可行的.

2)如果對數(shù)型函數(shù)f(x)＝logm(ax2＋bx＋c)的值域是R,那么當(dāng)a＝0 時,有b≠0;當(dāng)a≠0 時,有

結(jié)合上述舉例剖析可知:準(zhǔn)確理解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),有助于順利破解有關(guān)函數(shù)的最值(值域)問題.此外,解題時還需靈活應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)等.

鏈接練習(xí)

1.定義max{a,b,c}為a,b,c中的最大值,設(shè)M＝max{2x,2x－3,6－x},則M的最小值是( ).

4.已知函數(shù)f(x)＝|log3x|,0＜m＜n,且f(m)＝f(n),若函數(shù)f(x)在[m2,n]上的最大值為2,則

鏈接練習(xí)參考答案

(完)