例談指數型函數的參數取值范圍問題

王麗馨

(黑龍江省大慶市第二十三中學)

求參數的取值范圍問題通常已知一個變量的取值范圍,要求另一個變量的取值范圍,既是高考的熱點問題,也是難點問題,對學生的能力要求較高,綜合考查了學生的邏輯推理能力和運算求解能力,同時也考查了數學思想與數學方法.本文從指數型函數的參數取值范圍問題入手進行研究,對解決此類問題的方法進行歸納總結,以期幫助學生快速突破此類問題.

1 數形結合

例1若a＞0且a≠1,函數f(x)＝x2－ax,當x∈(－1,1)時,均有則a的取值范圍是( ).

圖1

綜上,a的取值范圍是,故選C.

對于不等式恒成立問題,可構建兩個函數,利用函數圖像比較兩個函數的大小關系時,可先列出相應的不等式,再進行求解.

2 參變分離

例2若(m－m2)4x＋2x＋1＞0在(－∞,－1]上恒成立,則實數m的取值范圍是( ).

由(m－m2)4x＋2x＋1＞0,得

對于給定的不等式恒成立問題,常通過恒等變換分離出參數進行求解,即若m≥f(x)恒成立,則m≥fmax(x);若m≤f(x)恒成立,則m≤fmin(x).

3 利用函數的單調性與奇偶性求解

例3設f(x)是定義在R上的偶函數,且當x≤0時,f(x)＝2－x,若f(x)≥[f(x－m)]2在[m,m＋1]恒成立,則正數m的取值范圍為( ).

因為函數f(x)是定義在R 上的偶函數,且當x≤0 時,f(x)＝2－x,則當x≥0 時,－x≤0,f(x)＝f(－x)＝2x,故對任意的x∈R,f(x)＝2|x|.對任意的x∈[m,m＋1],f(x)≥[f(x－m)]2恒成立,即2|x|≥22|x－m|,則|x|≥2|xm|對任意的x∈[m,m＋1]恒成立,且m為正數,則x≥2(x－m),解得x≤2m,所以m＋1≤2m,解得m≥1.故選A.

例4已知定義在R 上的函數f(x)＝是奇函數.

(1)求n的值,并寫出f(x)的單調遞減區間(不必證明);

(2)若對任意的t∈[1,2],不等式f(t2)＋f(ta＋2a)≤0恒成立,求實數a的取值范圍.

解析(1)因為f(x)是定義在R 上的奇函數,則,解得n＝－1,此時f(x)＝,經檢驗函數f(x)為奇函數,且

所以函數f(x)的單調遞減區間為(－∞,＋∞),無單調遞增區間.

(2)因為f(t2)≤f(－ta－2a),且函數f(x)在R上單調遞減,所以t2≥－ta－2a,即t2＋ta＋2a≥0,令g(t)＝t2＋at＋2a,該函數的圖像開口向上,對稱軸為直線

點評根據函數的奇偶性,對不等式進行參變分離得出關于變量的不等式,進而求解.也可以將所求問題轉化為函數的最值問題,轉化方式如下:若f(x)≤0恒成立,則fmax(x)≤0;若f(x)≥0恒成立,則fmin≥0.

4 雙變量問題轉化為函數的最值問題求解

例5已知函數,g(x)＝2x＋a,若,?x2∈[2,3],使 得f(x1)≥g(x2),則實數a的取值范圍是( ).

例6已知函數f(x)＝x2,若?x1∈[0,2],?x2∈[－1,3],使得g(x1)＝f(x2)成立,求實數m的取值范圍.

當x∈[－1,3]時,fmin(x)＝f(0)＝0,fmax(x)＝f(3)＝9,所以當x∈[－1,3]時,函數f(x)的值域為[0,9].因為在區間[0,2]上單調遞減,則gmax(x)＝g(0)＝1－m,由題意可知,函數g(x)在[0,2]的值域是函數f(x)在區間[－1,3]上的值域的子集,所以解得－8≤m≤.

對于不等式恒成立問題,解題關鍵是轉化為求函數的最值,轉化時要注意全稱量詞與存在量詞對題意的影響,可按如下規則等價轉化.

一般地,已知函數y＝f(x),x∈[a,b],y＝g(x),x∈[c,d].

1)若?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],有f(x1)＜g(x2)成立,故fmax(x)＜gmin(x);

2)若?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],有f(x1)＜g(x2)成立,故fmax(x)＜gmax(x);

3)若?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],有f(x1)＜g(x2)成立,故fmin(x)＜gmax(x);

4)若?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],有f(x1)＜g(x2)成立,故fmin(x)＜gmin(x);

5)若?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],有f(x1)＝g(x2)成立,則f(x)的值域是g(x)值域的子集.

(完)