函數零點與導數的完美邂逅

于廣續

(山東省濟南市章丘中學)

函數的零點問題是函數的重要內容之一,通過導數的學習,不難發現,利用導數工具來研究函數的零點是常用的方法,該類試題不僅能夠較好地考查學生的數學核心素養,還能夠較好地考查學生的運算求解能力和轉化與化歸能力,因此受到命題者的青睞.

1 證明函數的零點個數

例1已知函數f(x)＝xlnx－4x,g(x)＝

(1)求函數f(x)的最小值;

(2)證明:函數h(x)＝f(x)＋g(x)僅有一個零點.

解析(1)函數f(x)的定義域為(0,＋∞),且f′(x)＝lnx－3.

當0＜x＜e3時,f′(x)＜0,函數f(x)在(0,e3)上單調遞減;當x＞e3時,f′(x)＞0,函數f(x)在(e3,＋∞)上單調遞增,所以

當0＜x＜1時,F′(x)＜0;當x＞1時,F′(x)＞0,即函數F(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,＋∞)上單調遞增,所以當x＞0時,F(x)≥F(1)＝0(當且僅當x＝1時取等號),即當x＞0時,h′(x)≥0(當且僅當x＝1時取等號),所以函數h(x)在(0,＋∞)上單調遞增,h(x)至多有一個零點.

因為h(1)＝0,則x＝1 是函數h(x)唯一的零點,所以函數h(x)＝f(x)＋g(x)僅有一個零點.

點評函數零點個數的判定與證明主要通過三種方法進行處理,一是直接求解f(x)＝0,該方程的解的個數即為零點的個數;二是圖像法,通過函數的圖像,觀察圖像與x軸交點的個數或是轉化為兩個函數圖像,觀察兩個函數圖像的交點個數;三是利用零點存在定理進行判定,也可結合最值、極值進行處理.

2 零點偏移問題

例2已知函數)在點(1,f(1))處的切線方程與x軸平行.

(1)求函數f(x)的極值;

(2)若函數g(x)＝f(x)－k有兩個不同的零點x1,x2.

(ⅰ)求k的取值范圍;

(ⅱ)證明:x1x2＜1.

解析(1),f′(1)＝,故a＝0,,當0＜x＜1時,f′(x)＜0;當x＞1時,f′(x)＞0,故f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,＋∞)上單調遞增,故f(x)在x＝1處有極小值f(1)＝e,無極大值.

(2)(ⅰ)g(x)＝f(x)－k有兩個零點等價于h(x)＝ex－kx有兩個零點,又h′(x)＝ex－k,當k≤1時,h′(x)＝ex－k＞0在R 上恒成立,所以h(x)在R 上單調遞增,不可能有兩個零點.

當k＞1 時,令h′(x)＞0,解得x＞lnk;令h′(x)＜0,解得0＜x＜lnk,所以h(x)在(0,lnk)上單調遞減,在(lnk,＋∞)上單調遞增.

因為函數h(x)＝ex－kx有兩個零點,所以h(lnk)＜0,k＞1,所以elnk－klnk＜0,解得k＞e.

令h(k)＝ek－k2,h′(k)＝ek－2k,h″(k)＝ek－2,所以h′(k)在(e,＋∞)上單調遞增,故h′(k)＞h′(e)＝ee－2e＞0,故h(k)在(e,＋∞)上單調遞增,故h(k)＝ek－k2＞ee－e2＞0,故h(x)在(1,k)上存在唯一零點.

綜上,k的取值范圍為k＞e.

點評解決此類問題的關鍵在于消參,常見的消參方法是對所給式子進行變形,然后引入新的變量,此目的在于減少變量的個數,進而構建新的函數,通過研究新函數的單調性求解問題.

3 隱零點問題

例3若函數f(x)＝axex(a∈R).

(1)當a＜0時,求函數f(x)的單調區間;

(2)設b為實數,若不等式f(x)≥2x2＋bx對任意的a≥1及任意的x＞0恒成立,求b的取值范圍;

(3)若函數g(x)＝f(x)＋x＋lnx(x＞0)有兩個相異的零點,求a的取值范圍.

解析(1)函數f(x)的單調遞增區間為(－∞,－1),單調遞減區間為(－1,＋∞).

(2)b≥2－2ln2(求解過程略).

(3)由g(x)＝axex＋x＋lnx,得g′(x)＝,其中x＞0.

當a≥0時,g′(x)＞0,函數g(x)在(0,＋∞)上單調遞增,函數g(x)至多有一個零點,不符合題意.

當a＜0時,令g′(x)＝0,得,求導可知,當x＞0時,ex－2x≥2－2ln2＞0,所以ex＞2x,則xex＞2x2,所以當x＞0時,函數xex的值域為(0,＋∞),所以存在x0＞0,使得ax0ex0＋1＝0,即

當x＜x0時,g′(x)＞0,當x＞x0時,g′(x)＜0,所以函數g(x)在(0,x0)上單調遞增,在(x0,＋∞)上單調遞減.

因為函數g(x)有兩個零點x1,x2,所以

設φ(x)＝－1＋x＋lnx(x＞0),則0,所以φ(x)在(0,＋∞)上單調遞增,由于φ(1)＝0,所以當x＞1時,φ(x)＞0,所以式②中的x0＞1.

點評導數是研究函數的有力工具,其核心是由導數值的正、負確定函數的單調性.用導數研究函數f(x)的單調性,往往需要解方程f′(x)＝0.若該方程不易求解,這就是隱零點問題,這類問題的解決關鍵是要明確所研究函數的零點所在的區間.

(完)