函數圖像及性質在解題中的應用

董夢茹

(山東省鄒平市第一中學)

函數圖像及性質是高考中的重要考點.部分習題較為抽象,解題需要運用一定的技巧.為提高學生的解題能力,教師應結合近年來高考常考題型,為學生講解函數圖像及性質在解題中的具體應用,進一步深化學生對函數圖像及性質的理解,促使其積累不同題型的解題經驗與技巧,促進其解題能力的提升.

1 比較數值大小

解答該類習題主要運用函數的單調性,部分問題還會涉及函數的奇偶性、對稱性等,當題目中給出的函數為抽象函數時往往還需要學生結合題干已知條件構造新的函數,判斷函數的單調性.

例1已知f(x)是定義在(0,＋∞)上的減函數,其導函數為f′(x).若,則下列不等式成立的是( ).

解析該題涉及的函數為抽象函數,具有一定的難度.解題時應認真觀察,冷靜分析.因題干中涉及導函數,因此可考慮構造函數.

2 確定零點個數

函數零點問題是近年來高考的熱點,主要考查學生運用數形結合思想求解問題的能力.解答該類問題首先應明確零點表示的含義,能夠根據已知條件對零點問題進行合理轉化,化陌生為熟悉,如將復雜函數進行拆分,將零點問題轉化成函數圖像交點問題.同時,在繪制函數圖像時應注重把握兩個細節:其一,明確不同定義域內函數的表達式;其二,能夠結合題干條件繪制準確的函數圖像.

例2已知函數f(x)的定義域為R,且滿足f(1＋x)＝f(x－1),當x∈[－1,1]時,f(x)＝1－則函數h(x)＝f(x)－g(x)在區間[－5,5]內的零點個數為( ).

解析題目僅給出了f(x)在[－1,1]上的表達式,需要研究其周期.分段函數給出的函數較為常見,不難畫出其圖像,因此,解題時可在同一直角坐標系中畫出f(x)和g(x)的函數圖像,再觀察其在[－5,5]內的交點個數即可.

因為f(1＋x)＝f(x－1),所以將x換為x＋1,可得f(x＋2)＝f(x),所以f(x)的周期為2.畫出兩個函數的圖像,如圖1所示.

圖1

由函數圖像可以清晰地看到兩個函數圖像在[－5,5]內的交點個數為8,因此,函數h(x)的零點個數為8,故選B.

3 解不等式

不等式是高考的必考知識點.問題類型多樣且靈活多變,難度也存在較大差別,解題時應注重聯系函數性質,充分挖掘題干隱含條件,對要求解的問題進行合理轉化.同時,運用函數的單調性、對稱性等性質,化復雜為簡單.

例3已知f(x)＝ex－1－e1－x＋(x－1)3＋x是定義在R 上的函數,則不等式f(x－4)＋f(2－3x)≥2的解集為( ).

A.(－∞,－2] B.(－∞,2]

C.[－2,2] D.[2,＋∞)

解析根據經驗需要借助函數的奇偶性、對稱性以及單調性,將比較函數值的大小問題轉化為比較函數自變量的大小問題.

令t＝x－1,則f(t)＝et－e－t＋t3＋t＋1,令g(t)＝et－e－t＋t3＋t,顯然其為單調遞增的奇函數,則f(x)關于點(1,1)對稱,滿足f(2－x)＋f(x)＝2,又因為f(x－4)＋f(2－3x)≥2,所以f(x－4)≥2－f(2－3x)＝f(3x),即x－4≥3x,解得x≤－2,故選A.

4 求解函數值

該類問題要求學生求解較大自變量的函數值或求多個函數值之和,解答該類題一般不要直接將自變量的值代入,應充分運用已知條件找到函數的周期,借助函數的周期性進行解答.

例4已知f(x)是定義在R 上的奇函數,且滿足f(x)＝f(2－x),當x∈[0,1]時,f(x)＝4x－1,則的值為( ).

解析題目僅給出了當x∈[0,1]時函數f(x)的解析式,而并不在該定義域中,因此,需要根據已知條件“f(x)＝f(2－x)”推導出函數的周期性.

因為f(x)＝f(2－x),所以將x換成x＋2可得f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x).再將x換成x＋2可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x),則f(x)的周期為4,所以,又x∈[0,1]時,f(x)＝4x－1,則,故選C.

5 求解參數的范圍

求解參數的范圍是高中數學的熱門考點,問題情境復雜多變.該類問題常常要轉化為求解函數的最值問題.需要注意的是該類問題中的恒成立與存在性問題之間的區別與聯系,避免將兩個問題混淆,確定求解問題是求最大值還是最小值.

例5若關于x的不等式在[2,4]上有解,則實數m的取值范圍是( ).

解析需要注意的是該題屬于存在性問題,分離變量后應注重求解對應函數的最大值而非最小值.運用導數研究函數的單調性時,若求導后無法判斷導函數與零的關系,需再次構造函數,直到能夠判斷出函數在給定區間的單調性為止.

6 小結

高中數學函數圖像以及性質內容較多,教師既要鼓勵學生積極動手畫出常見的函數圖像,進一步加深其印象,又要鼓勵學生推導、總結函數的單調性、奇偶性、周期性以及對稱性的數學表達式,真正吃透函數性質,進而在解題中能夠從已知條件中迅速地判斷出函數的性質.另外,針對較為復雜的函數,應注重提高導數應用意識,借助導數判斷其單調性,力求高效、順利地求解相關問題.

(完)