依問題情境，用函數性質解一類問題

林自強 黃 華

(1.廣西來賓市第八中學 2.廣西南寧市賓陽縣新橋鎮大仙學校)

眾所周知,函數是備受高考命題者青睞的核心內容,而函數性質歷來是高考命題的一個重點,學生在做題中要不斷積累經驗,做到融會貫通方能應對自如.通常來說,函數性質包括單調性、奇偶性、周期性與對稱性等,但因函數性質伴隨函數圖像出現,因此本文借用函數定義域、值域和圖像等指導解題.本文創設問題情境,整合一類問題,靈活運用函數性質,以期幫助讀者在問題解決中,獲得解一類問題的技能,達成數學思維的訓練.

1 單調性指向數值、函數值大小比較等問題

高考對指數函數、對數函數和冪函數這三類函數的考查,主要聚焦在大小比較問題上,要求學生依問題情境中數值形式構造函數,并利用所構造函數的單調性來比較大小,必要時需要引進中間量進行比較.

例1(2020 年全國Ⅲ卷理12)已知55＜84,134＜85.設a＝log53,b＝log85,c＝log138,則( ).

解題流程:問題情境(數值大小的比較)—思路構建(依情境構造函數)—解題技巧(必要時引入中間量等或利用基本不等式)—函數性質(利用單調性解題).

解析由問題情境知a,b,c均是對數形式,因此構造對數函數y＝logmx來指導解題.已知55＜84,134＜85,分別以8,13為底取對數得log855＜log884,log13134＜log1385,即亦即,從而得到b＜c.

點評本題考查邏輯思維能力和運算求解能力,作為選擇題的壓軸題,具有一定的難度.若能快速識別出指數函數和對數函數的特征,構造函數、引入中間量、結合單調性等,便可精準解答.

例2(2019年全國Ⅲ卷理11)設f(x)是定義域為R的偶函數,且在(0,＋∞)單調遞減,則( ).

解題流程:利用函數的奇偶性將所有的自變量轉化到單調區間內—比較自變量的大小—根據單調性比較函數值.

點評本題以抽象函數f(x)為載體,考查函數單調性、奇偶性及比較指數、對數值的大小.求解關鍵在于將所要比較的三個自變量值轉化到同一單調區間,再比較該單調區間內三個值的大小,最后根據單調性進行解答即可.

2 奇偶性指向函數值、解析式的參數等問題

關于函數奇偶性的問題,較為常見的是求函數值,只要打通求解這類題的思維脈絡,難度不大.但含參數的問題相對來說具有一定的難度,所以有“談參色變”之說,對于這類問題往往需要較強的數學思維能力,要善于挖掘隱藏在恒成立中的函數的性質.函數的奇偶性定義實則就是一個恒等式,而在已知函數單調性的前提下,函數的導數與零的關系又是一個不等式恒成立問題.

善于捕捉題中的關鍵信息會給解題帶來事半功倍的效果.例如,f(x)是定義在R 上的奇函數,則f(0)＝0,f(－(x＋a))＝－f(x＋a);若f(x＋a)是奇函數,則f(－x＋a)＝－f(x＋a);若f(x＋m)是定義在R上的奇函數,則f(x＋m)的圖像關于原點(0,0)對稱,向左或向右平移|m|個絕對值單位,亦有f(x)的圖像關于點(m,0)對稱,即f(m)＝0.

例3(2021年全國甲卷理12)設函數f(x)的定義域為R,f(x＋1)為奇函數,f(x＋2)為偶函數,當x∈[1,2]時,f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6,則

解題流程:從問題情境中捕捉關鍵信息—構建關系式—確定解析式中的參數—將自變量轉化到指定區間,求相關函數值.

解析由f(x＋1)為奇函數可知f(x＋1)的圖像關于原點(0,0)對稱,將f(x＋1)的圖像向右平移1個單位得到f(x)的圖像,同時,f(x＋1)圖像的對稱點(0,0)也跟隨向右平移1個單位,即f(x)圖像的對稱點為(1,0),即f(1)＝0;當x∈[1,2]時,f(x)＝ax2＋b,所以f(1)＝a＋b＝0.

由f(x＋1)為奇函數,得f(－x＋1)＝－f(x＋1),由f(x＋2)為偶函數,得f(－x＋2)＝f(x＋2),繼而有f(0)＝－f(2),f(1)＝f(3).當x∈[1,2]時,f(x)＝ax2＋b,所以

即－f(2)＋f(1)＝－(4a＋b)＋a＋b＝6.

由f(x＋2)為偶函數,得f(－x＋2)＝f(x＋2),即f(－x)＝f(x＋4);由f(x＋1)為奇函數,得f(－x＋1)＝－f(x＋1),即f(－x)＝－f(x＋2),所以f(x＋4)＝－f(x＋2),得f(x＋6)＝－f(x＋4)＝－[－f(x＋2)],即f(x＋6)＝f(x＋2),則f(x＋4)＝f(x),所以函數f(x)的周期是4,故

點評本題是選擇題的壓軸題,具有一定的難度,但只要學會獲取題中的關鍵信息,加上平時的訓練,解題思路就水到渠成.一般而言,解析式含參數,可以先定參數,對超出給定區間的自變量,通常用周期性、奇偶性將其轉化到指定的區間,再應用解析式解題.

3 周期性指向函數的解析式、函數值等問題

我們要理解函數周期性的定義及一些常用的二級結論,特別是初次接觸周期性,要學會利用“整體取代”的思想推導驗算,例如,?x∈R:

1)若f(x＋a)＝－f(x),則f(x)周期為2a.

3)若f(a＋x)＝f(a－x),當f(x)是偶函數時,f(x)周期為2a;當f(x)是奇函數時,f(x)周期為4a.

例4設函數f(x)是周期為2的奇函數,當0≤x≤1時,f(x)＝2x(1－x),則

解題流程:由題干信息,利用奇偶性、周期性將自變量值轉化到已知函數解析式的定義域,用已知解析式求函數值.

解析由函數f(x)是周期為2 的奇函數,有f(x＋2)＝f(x),f(－x)＝－f(x),則

點評解題的關鍵在于充分利用奇偶性、周期性將自變量轉化到已知函數的定義域,然后借助解析式求值.

4 用函數性質判斷函數圖像與解不等式問題

函數的性質對函數圖像特征起著決定性作用,在判斷函數圖像問題時,我們要分析函數的函數值、定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、對稱性、極限、函數的零點等,方可得出函數的大致圖像.同時借助函數的圖像特征可以解決一類與抽象函數相關的不等式問題.解決有關不等式問題時,常利用函數的單調性,而某些函數單調性的確定需要根據題設構造恰當的函數,常用的構造技巧如下.

1)已知“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”型,可構造H(x)＝f(x)g(x).

2)已知“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”型,可構造

比如，在引導學生對“感應電流產生條件”的授課過程中，教師就能采用搖動繩子進行發電的實驗：如課本中的插圖所示，找幾位學生輪流進行搖動導線的操作，并在此同時找其他學生觀察電流表指針的變化情況。通過這樣戶外實驗活動的開展，可以讓學生在其中了解地磁場存在這一現象，并體驗依靠其產生感應電流這一現象。應該說物理這一學科的確非常充滿魅力，物理學的魅力不僅在于它可以在具體的操作中印證自己所掌握的相關知識，而且還能通過我們對相關自然現象的分析從而得出新的物理學知識。所以說，讓學生更好地理解物理學知識，更好地培養其核心素質，我們有必要在自己的授課過程中增加學生獨立探究的內容。

例5設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(－1)＝0,當x＞0時,則xf′(x)－f(x)＜0,則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( ).

解題流程:由題設構造新的函數并判斷新函數的奇偶性—判斷新函數的單調性—結合已知條件求解相關不等式.

根據f(－1)＝f(1)＝0、單調性以及偶函數性質作出函數H(x)草圖(如圖1),使得f(x)＞0成立的x取值范圍:

圖1

綜上,使得f(x)＞0 成立的x的取值范圍為(－∞,－1)∪(0,1),故選A.

點評在構造函數時,還有一些如下特殊情形的構造.1)條件中含有f′(x)＋f(x),可構造H(x)＝exf(x);2)條件中含有f′(x)－f(x),可構造;3)條件中含有f′(x)＋2f(x),可構造H (x)＝e2xf(x);4)條件中含有f′(x)－2f(x),可構造

5 函數基本性質的綜合應用與函數零點問題

含有參數的函數零點問題主要考查函數性質與函數圖像的綜合應用,難度較大,在高考試題中有著很強的區分度.但若能熟練運用函數的性質,通過數形結合的數學思想方法此類難題就能迎刃而解.

例6(2019年江蘇卷14)設f(x),g(x)都是定義在R上的兩個周期函數,f(x)的周期為4,g(x)的周期為2,且f(x)是奇函數.當x∈(0,2]時,有

其中k＞0.若在區間(0,9]上,關于x的方程f(x)＝g(x)有8 個不同的實數根,則k的取值范圍是_________.

解題流程:根據題干中的函數的相關性質作出草圖—將方程f(x)＝g(x)的不同實數根轉化成圖像交點問題—利用數形結合思想方法解題.

解析根據函數的解析式、周期性在同一直角坐標系中作出f(x),g(x)的大致圖像(如圖2).

圖2

圖3

綜上,k的取值范圍為

點評本題是填空壓軸題,涉及的知識點比較多,有分段函數、函數與方程、函數的圖像、函數的性質、點到直線的距離、直線的斜率等,解題時往往需要以“形”輔助“數”.

本文介紹的問題情境下的函數性質應用,僅是冰山一角,但希望能起到拋磚引玉的作用,學生在平時的學習中,要有定義意識、轉化意識和數形結合意識.

(完)