從2022年高考試題再看函數圖像的雙對稱問題

孫丕訓(特級教師) 王麗君

(北京陳經綸中學)

函數的性質是高中數學重要的學習內容,也是高考的必考內容.函數的對稱性是函數的重要性質,也是高考的考查熱點.從歷年高考試題來看,對函數對稱性的考查,題目越來越新穎,對思維能力的要求也越來越高.在2022年新高考Ⅰ卷和全國乙卷中,選擇題的最后一題都是函數對稱性問題,而這兩道題都可以轉化成函數圖像的雙對稱問題(即函數圖像關于兩條直線對稱,或關于兩個點對稱,或關于一條直線及一個點對稱).

首先,關于函數圖像的對稱性,有性質1、性質2.

性質1如果對于函數f(x)在定義域R 內的任意一個x,都有f(a＋x)＝f(a－x),則函數f(x)的圖像關于直線x＝a對稱;反之,若函數f(x)的圖像關于直線x＝a對稱,則有f(a＋x)＝f(a－x)(如圖1).

圖1

特別地,當a＝0時,函數f(x)為偶函數.

性質2如果對于函數f(x)在定義域R內的任意一個x,都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b,則函數f(x)的圖像關于點(a,b)對稱;反之,若函數f(x)的圖像關于點(a,b)對稱,則有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(如圖2).

圖2

特別地,當a＝0,b＝0時,函數f(x)為奇函數.

函數圖像的雙對稱問題,往往隱含著周期性,如性質3、性質4、性質5.

性質3如果函數f(x)的定義域為R,且函數f(x)的圖像既關于直線x＝a對稱,又關于直線x＝b對稱(a≠b),那么函數f(x)必為周期函數,其中一個周期為

證明因為函數f(x)的圖像關于直線x＝a對稱,所以f(a＋x)＝f(a－x),即

又因為f(x)的圖像關于直線x＝b對稱,所以f(b＋x)＝f(b－x),即

由①和②得f(2a－x)＝f(2b－x),將x換為2bx,則f(x＋2a－2b)＝f(x),所以f(x)為周期函數,其中一個周期為T＝2(a－b).

性質4如果函數f(x)的定義域為R,且函數f(x)的圖像既關于點(a,t)對稱,又關于點(b,t)對稱(a≠b),那么函數f(x)必為周期函數,其中一個周期為T＝2(a－b).

證明過程與性質3類似,在此不再贅述.

性質5如果函數f(x)的定義域為R,且函數f(x)的圖像既關于直線x＝a對稱,又關于點(b,t)(a≠b)對稱,那么函數f(x)必為周期函數,其中一個周期為T＝4(a－b).

證明因為函數f(x)的圖像關于直線x＝a對稱,所以f(a＋x)＝f(a－x),即

又因為函數f(x)的圖像關于點(b,t)(a≠b)對稱,所以f(b＋x)＋f(b－x)＝2t,即

由④和⑤得f(x)＝f(4a－4b＋x),所以函數f(x)為周期函數,其中一個周期為T＝4(a－b).

下面我們應用以上性質解決2022年高考中選擇題的壓軸題.

例1(2022年新高考Ⅰ卷12,多選題)已知函數f(x)及其導函數f′(x)的定義域為R,記g(x)＝f′(x).若,g(2＋x)均為偶函數,則( ).

由g(2＋x)為偶函數得g(2＋x)＝g(2－x),所以g(x)關于直線x＝2對稱.

由性質5,可知函數g(x)的一個周期為

由g(2＋x)為偶函數,則g(2＋x)＝g(2－x),所以f′(2＋x)＝f′(2－x),即(f(2＋x)＋f(2－x))′＝0,所以f(2＋x)＋f(2－x)＝t(t為常數),所以f(x)關于點對稱.同理可得,函數f(x)的一個周期為

綜上,函數f(x)與g(x)均是周期為2的周期函數,所以,常數t可取任意實數,A不正確.另外,對于選項A 的排除,也可根據已知條件知:若函數f(x)滿足已知條件,則函數f(x)＋C(C為常數)也滿足條件,所以無法確定f(0),故A 不正確.

綜上,故選BC.

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點評求解本題的關鍵是通過g(x)＝f′(x)的關系,對關于f(x)的等式兩邊求導、對g(x)的等式積分(導數的逆運算),得到f(x)與g(x)的另一組體現對稱性的關系式,進而得出函數的周期性,從而解決問題.

本題為多選題,正確的選項需推理得到,錯誤的選項可用排除法.在得到g(－1)＋g(2)＝0時,并不能排除選項D,這是因為當g(－1)＝g(2)＝0時,D仍可能正確,要排除D,需說明g(－1)不一定為0,根據函數f(x)的對稱性,不難舉出滿足條件的一個函數f(x)＝sinπx,此時,g(－1)≠g(2),故排除選項D.另外,f(x)＝sinπx＋C(C為常數)均符合條件,可迅速排除A 和D.

例2(2022年全國乙卷理12)已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)＋g(2－x)＝5,g(x)－f(x－4)＝7,若y＝g(x)的圖像關于直線x＝2對稱,g(2)＝4,則

解析因為g(x)關于直線x＝2對稱,所以g(2＋x)＝g(2－x).因為

將①中的x換成－x,得

①－②,得f(x)＝f(－x),即f(x)為偶函數,f(x)關于直線x＝0對稱;在g(x)－f(x－4)＝7中,將x換成x＋2,得

②－③,得f(－x)＋f(x－2)＝－2,即f(x)關于點(－1,－1)對稱,應用性質5,f(x)的一個周期為4.

在式①中,令x＝0,得f(0)＋g(2)＝5,又因為g(2)＝4,所以f(0)＝1,在f(－x)＋f(x－2)＝－2中,令x＝1,則f(－1)＝－1,再由f(x)＝f(－x),可得f(1)＝f(－1)＝－1,因為f(x)的周期為4,所以f(2)＝f(－2)＝－2－f(0)＝－3,f(3)＝f(－1)＝－1,f(4)＝f(0)＝1,所以

點評求解本題的關鍵是利用方程的思想,由g(2＋x)＝g(2－x)這個關系式,結合已知條件中的兩個等式,運用消元法得到f(x)的對稱軸和對稱中心,進而得出函數的周期,問題得以解決.

函數圖像的雙對稱性質能得出函數的周期性,把握這個本質在解決問題過程中能起到事半功倍的作用.最后,給出4個練習,均選自近幾年高考真題,都是抽象函數的雙對稱問題,題干簡潔,內容豐富,讀者可以利用以上性質試一試.

鏈接練習

1.(2021年新高考Ⅱ卷8)已知函數f(x)的定義域為R,f(x＋2)為偶函數,f(2x＋1)為奇函數,則( ).

2.(2021 年全國甲卷理12)設函數f(x)的定義域為R,f(x＋1)為奇函數,f(x＋2)為偶函數,當x∈[1,2]時,f(x)＝ax2＋b,若f(0)＋f(3)＝6,則

3.(2021年全國甲卷文12)設f(x)是定義域為R 的奇函數,且f(1＋x)＝f(－x).若

4.(2018年全國Ⅱ卷理11)已知f(x)是定義域為(－∞,＋∞)的奇函數,滿足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2,則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( ).

鏈接練習參考答案

1.B. 2.D. 3.C. 4.C.

(完)