賞析數學核心素養視角下一道高考函數零點真題

王斌斌

(甘肅省靜寧一中)

函數的零點問題是函數與方程中的重要內容,主要涉及已知函數零點求參數范圍.若方程可解,則可以通過解方程求得參數的取值范圍,但有時會遇到方程難以求解甚至不可求解的情況,此時可以通過構造函數,將問題轉化為兩個函數圖像的交點問題.

母題(2020 年天津卷9)已知函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4個零點,則k的取值范圍是( ).

解析由g(0)＝0,結合已知將問題轉化為y＝|kx－2|與有3 個不同的交點,再分k＝0,k＜0,k＞0這三種情況討論即可得到答案.

注意到g(0)＝0,所以要使g(x)恰有4個零點,只需方程恰有3 個實根即可.令,則y＝|kx－2|與的圖像有3個不同的交點.

當k＝0 時,此時y＝2,如圖1 所示,y＝2 與有1個交點,不滿足題意.

圖1

當k＜0 時,如圖2 所示,此時y＝|kx－2|與有3個不同交點,滿足題意.

圖2

當k＞0時,如圖3所示,當y＝kx－2與y＝x2相切時,聯立方程得x2－kx＋2＝0.

圖3

令Δ＝0,得k2－8＝0,解得(負值舍去),所以

【數學建模】本題所設計的模型主要有兩個,一是函數的構造,這里需要根據方程的形式進行合理的轉化;二是考查了函數模型中的分段函數模型,分段函數作為中學的一個重要函數,能夠較好地考查學生的推理論證能力.

【數學運算】本題思維量較大,首先要討論題目中的參數,再對各類情況進行討論,要求學生能夠正確地進行相關運算.

【邏輯推理】在此問題的求解過程中,要能夠對k＝0,k＞0和k＜0這三種情況進行分析,正確地畫出函數圖像,從而準確地求出參數的取值范圍.

【空間想象】本題主要考查函數與方程的應用,考查數形結合思想、轉化與化歸思想,是一道中檔題.解題的關鍵就在于能夠正確地繪制函數圖像,這里間接地考查學生的空間想象能力.

其實,分析近年來的高考試題,不難發現,以分段函數為模型,以零點個數為載體考查參數的取值范圍是天津卷高考試卷中的常考試題,獨具特色.

例1(2021年天津卷9)設a∈R,函數

若f(x)在區間(0,＋∞)內恰有6個零點,則a的取值范圍是( ).

解析因為x2－2(a＋1)x＋a2＋5＝0最多有2個根,所以cos(2πx－2πa)＝0至少有4個根.由,可得(k∈Z).由,可得

若x≥a,則f(x)＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5,所以

當a＜2時,Δ＜0,f(x)無零點.

當a＝2時,Δ＝0,f(x)有1個零點.

當a＞2時,令f(a)＝a2－2a(a＋1)＋a2＋5＝－2a＋5≥0,則,此時f(x)有2個零點,若,f(a)＜0,則f(x)有1個零點.

本題的2020年天津卷的高考真題相類似,考點相同.首先由x2－2(a＋1)x＋a2＋5＝0最多有2個根,可得cos(2πx－2πa)＝0至少有4個根,分別討論當x＜a和x≥a時兩個函數零點的個數情況.

點評例2函數f(x)是定義在R 上的奇函數,且f(x－1)為偶函數,當x∈[0,1]時,,若函數g(x)＝f(x)－x－b有3個零點,則實數b的取值范圍是( ).

解析因為函數f(x)是定義在R 上的奇函數,且f(x－1)為偶函數,所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1),則f(x－1)＝f(x＋3),所以f(x)的對稱軸為x＝－1且周期為4,函數f(x)的圖像如圖4所示.

圖4

g(x)＝f(x)－x－b有3個零點,即函數f(x)與函數y＝x＋b有3個交點.當x∈[0,1]且直線y＝x＋b與函數f(x)在點(0,1)處相切時,有2個相等的實數根,即x2＋(2b－1)x－b2＝0有2個相等的實數根.

由Δ＝0,求得.由數形結合可得g(x)＝f(x)－x－b有3個零點時,實數b滿足,故求得b的取值范圍為

再根據函數f(x)的周期為4,可求得b的取值范圍為(k∈Z),故選C.

(完)