近年來活躍在強基、競賽中的遞推數列

李錦旭(特級教師)

(北京市育英學校)

本文針對近些年來在自主招生、強基計劃、競賽試題中出現的以遞推數列為背景的試題,擇要分類予以解析,并以點評的形式對其中典型試題的命制背景、引申推廣等基本命題特點和試題蘊含的規律進行初步探討.

1 通過簡單變形轉化為等差或等比數列型

例1(2019 年北京大學自主招生)已知數列ak＋ak＋1＝4k＋3(k＝1,2,…),則a2＋a2020＝( ).

解析由ak＋ak＋1＝4k＋3,可得

兩式相減可得ak＋2－ak＝4,所以

即a2020＝a2＋4036.因此

由于a2無法確定,所以a2＋a2020也無法確定,故選D.

顯然,當n＝4時,xn＝3∈Z,故n的最小值為4.

2 線性分式型

例3(2019年中國科學技術大學自主招生)數列{xn}滿 足:,則

點評對于線性分式型,若分子不含常數項,則可直接取倒數轉化為an＋1＝pan＋q型.若分子含常數項,則需適當換元再取倒數轉化.

例4(2019年福建省預賽)已知數列{an}滿足,2an＋1an－7an＋1－3an＋12＝0(n∈N*).

(1)記cn＝an－2,求數列{cn}的通項公式;

解析(1)將an＝cn＋2代入

化簡可得

又因為當n＝1 時,,所以[b1]＝1;當n≥2時,[bn]＝2(n－1).于是,當n≥2時,有

由n2－n＋1≤2019以及n∈N*,得n≤45,所以使[b1]＋[b2]＋[b3]＋…＋[bn]≤2019成立的最大正整數n的值為45.

3 線性交叉互動型遞推數列

例5(2017年清華大學自主招生與領軍試題)已知數列{xn},{yn},{zn}滿足

解析根據對稱特點,將①②③相加得

可得{xn＋yn＋zn}是以x1＋y1＋z1為首項,以為公比的等比數列.

即數列{xn＋yn＋zn}的各項均為0,不是等比數列,故A 錯誤.

對于D,若存在正整數m使得xm＝ym＝zm＝a,代入式①②③可得

一直遞推下去可得x1＝y1＝z1＝a,故D 正確.

綜上,故選BD.

點評本題改編于如下競賽原題,有興趣的讀者可嘗試證明:

設a,b,c＞0,數列{xn},{yn},{zn}中,x1＝a,y1＝b,z1＝c,且,yn＋1＝.試求證:若xn＞0,yn＞0,zn＞0,則a＝b＝c.

4 連續三項型遞推數列

例6(2019年浙江省預賽)設0≤x1≤x2,數列{xn}滿足xn＋2＝xn＋1＋xn,n≥1.若1≤x7≤2,則x8的取值范圍是________.

解析將后面的各項用前兩項表示,可得

因為1≤x7≤2,所以1≤5x1＋8x2≤2.結合0≤x1≤x2考慮線性規劃,在x1Ox2坐標系中所圍成的圖形為四邊形,其頂點坐標為,所以

例7(2011年清華大學等七校聯考自主招生)將一枚質量均勻的硬幣連續拋擲n次,以pn表示未出現連續3次正面的概率.

(1)求p1,p2,p3,p4;

(2)探究數列{pn}的遞推公式;

(3)討論數列{pn}的單調性及其極限,并闡述該極限的概率意義.

解析(1)顯然p1＝p2＝1,,下面求p4.投擲4 次連續出現3 次正面向上的情況只有“正正正正”“正正正反”“反正正正”,共3種.而投擲4次的所有可能的情況有16種,故

(2)分三種情況(第n次、第n－1次、第n－2次都出現正面的情況不包含在pn內).

如果第n次出現反面,那么前n次不出現連續3次正面與前n－1次不出現連續3次正面是相同的,此時不出現連續3次正面的概率為--

如果第n次出現正面,第n－1次出現反面,那么前n次不出現連續3次正面與前n－2次不出現連續3次正面是相同的,此時不出現連續3次正面的概率為

如果第n次出現正面,第n－1 次出現正面,第n－2次出現反面,那么前n次不出現連續3次正面與前n－3次不出現連續3次正面是相同的,此時不出現連續3次正面的概率為

(3)所以當n≥5時,數列{pn}單調遞減且p5＝,又易得p1＝p2＞p3＞p4,故當n≥2時,數列{pn}單調遞減.

當n≥2時,數列{pn}單調遞減且有下界,所以數列{pn}的極限存在,設為p.對兩邊取極限,得,解得p＝0.

其統計意義是:當投擲的次數足夠多時,未出現連續3次正面的概率非常小,趨近于零.

5 遞推數列與其他知識的交會融合

例8(2019年重慶市預賽)數列{an}滿足a1＝3,a2＝6,

(1)求證:數列{an}是正整數數列;

(2)是否存在m∈N*,使得2019|am? 并說明理由.又a1＝3,a2＝6,,所以an＞0,從而{an}是正整數數列.

(2)由于2019＝3×19×37,假設2019|am,則19|am;由a1＝3,a2＝6及an＋2＝3an＋1－an可得

an≡3,6,15,1,7,1,15,6,3,3,6,…(mod19).

即19不能整除an,當然2019|am也不成立.

例9(2016年清華大學自主招生與領軍)數列{an}滿足a1＝5,a2＝13,則( ).

A.an＋2＝5an＋1－6an

B.an都是整數

C.an＞4n

D.an與2015最接近的項是a7

解析因為難以由所給遞推公式直接求通項公式,故采用結合選項驗算(或驗證)的方法求解.對于選項A,根據特征根法可知an＝2n＋3n,代入,發現是成立的,而這個遞推數列確定的數列是唯一的,因此可以確定選項A 正確,顯然選項B正確.

對于選項C,顯然錯誤,因為a3＝35＜43.

對于選項D,an是單調遞增的,a7＝2315＞2015(相差200),a6＝793＜2015(相差1222),所以易知a7與2015最接近,故選項D 正確.

綜上,故選ABD.

例10(2021年中國科學技術大學創新班)已知g0(x)＝1,g1(x)＝x,證明:gn(x)為n次整系數多項式,并求gn(x)＝0的所有根.

所以gn(x)＝xgn－1(x)－2gn－2(x).又g0(x)＝1,g1(x)＝x為整系數多項式,所以則由數學歸納法可知,gn(x)為n次整系數多項式.

6 真題練習

1.(2021年北京大學強基計劃)已知實數x0∈[0,1),數列{xn}滿足:若,則xn＝2xn－1;若,則xn＝2xn－1－1(n＝1,2,3,…).現知x0＝x2021,則可能的x0的個數為_________.

2.(2021年北京大學強基計劃)已知數列{an}滿足a1＝2,an＋1＝2an;數列{bn}滿足b1＝2,bn＋1＝5bn.若正整數m滿足bm＞a25,則m的最小值為______.

3.(2019年清華大學領軍)對正整數n,設整數xn,yn滿足,則( ).

A.對每個正整數n,有xn＋1＝2xn＋3yn

B.對每個正整數n,有yn＋1＝xn＋2yn

C.存在正整數n,使得xn＝2019

(完)