滲透海床上矩形Bragg防波堤對波浪反射的研究

倪云林，龔倩，沈夢佳

(1. 浙江海洋大學 海洋工程裝備學院，浙江 舟山 316022)

1 引言

1913年Bragg父子在用X射線研究兩個平行晶體的結構時發現了Bragg共振反射現象[1]，即當晶體間距為入射光波波長一半的整數倍時，光波的反射達到最大。這一現象在波浪傳播過程中同樣存在。1982年，Davies[2]發現特定波長的波通過周期性變化的沙波地形時，波浪會與沙波產生共振，使波浪大幅反射，這就是波浪的Bragg共振反射。受此啟發，Mei等[3]在1988年首次提出了Bragg防波堤的概念，即在波浪破碎帶外通過修建與岸線平行且等間距排列的小規模、低高度的潛壩，實現對海岸的保護。此后Bragg防波堤對波浪反射的問題引起了越來越多科研人員的興趣。例如，Hsu等[4]、蔡立宏[5]、Wen和Tsai[6]、江鳴[7]分別研究了潛壩的形狀、高度、寬度、數量等參數對Bragg共振反射系數的影響，Liu等[8-10]、曾慧丹等[11-12]先后開展了水平海床上梯形Bragg防波堤和矩形Bragg防波堤對波浪共振反射的解析研究。

2 控制方程和求解方法

如圖1所示，將水域分為左、中、右3個區域。整個水域海床水平且可滲透，海床由無限厚、飽和、剛性多孔介質組成。左區域和右區域的水深為常數h0，中間區域總長為LM，在其上布置N個矩形潛壩，每個潛壩的寬度為w，堤頂水深為h1，兩個相鄰壩體之間的距離為d（含壩體寬度與壩體間距），并假設拋石潛壩和可滲透海床具有相同的滲透系數。取左、中區域交界面與靜水面的交點為坐標原點o，x軸位于靜水面，水平向右為正，z軸垂直向上，波浪從左區域入射沿x軸正方向傳播。

圖1 滲透海床上多孔矩形Bragg防波堤平面示意圖Fig. 1 Bragg breakwaters with porous rectangular bars on a permeable seabed

Dean和Dalrymple[13]在水域中采用微幅波理論，在海床內部利用達西定律推導得到了波浪在水平、無限厚、可滲透海床上傳播的速度勢為

利用Dean和Dalrymple[13]的研究成果，可以寫出左區域和右區域波浪運動的速度勢為

式中，AL、AR為待定系數。 φL(x) 、 φR(x)為應用分離變量法后含x的函數。

在地形變化的中間區域，水深h=h(x)。Ni和Teng[15-16]通過引入海底可滲透邊界條件，推導得到了一維修正型緩坡方程。該方程既包含了地形曲率項和坡度平方項，又考慮了海床可滲透因素，其表達式為

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式中，

根據相鄰兩個區域速度勢連續和速度連續的匹配條件：

（1）在左區域和中間區域的交界面處

（2）在中間區域和右區域的交界面處

采用中心差分格式對式（4）進行離散：

式（16）還可以寫為

式中， Δx為空間步長；下標i為節點編號；n表示節點總數。

再對匹配條件式（12）至式（15）進行離散可得：

綜合式（17）至式（21），可以得到n+2個線性方程，進而求解n+2個未知數（ φ1, φ2,···,φn,AL,AR）。

3 模型驗證與討論

3.1 模型驗證與收斂性分析

3.1.1 與不可滲透海床上矩形Bragg防波堤對波浪反射系數解析解的比較

Zeng等[17]采用解析方法研究了水平不可滲透海床上矩形Bragg防波堤對波浪的反射問題，相關參數選取如下：N=3，h0=4 m，h1=3 m，w=90 m，d=180 m。因Zeng等[17]假設海床不可滲透，所以在用本文有限差分模型計算時，令海床滲透性參數T=0 s，其他參數保持不變，并定義反射系數。同時，為了驗證模型的收斂性，空間步長Δx分別取10 m、5 m、2 m 和1 m。則不同空間步長情況下，計算得到的反射系數KR隨入射波相對波長2d/L在區間[0.3，4.5]的變化情況及其與Zeng等[17]解析解的比較如圖2所示。

圖2 不可滲透海上矩形Bragg防波堤對波浪反射本文數值解與Zeng等[17]解析解的比較Fig. 2 The comparison of the present numerical solutions with Zeng et al’s[17] analytical solutions for the wave reflection by the Bragg breakwater with rectangular bars on the impermeable seabed

從圖2可以看出，當空間步長 Δx取2 m和1 m時，本文有限差分模型計算得到的反射系數KR幾乎相同，并和Zeng等[17]的解析解完全吻合。這說明當空間步長 Δx=1 m時，模型收斂且計算結果正確。

同時，從圖2中還可以看到，在壩體數量N=3的情況下，隨著入射波長的減小，即2d/L的增大，反射系數KR呈現出振蕩變化。在2d/L=0.92時，反射系數KR達到最大值0.41，此時發生Bragg共振反射。而在2d/L=0.31、0.62、1.23等位置處，反射系數KR=0，說明波浪發生全透射。

3.1.2 與波浪在可滲透水平海床上傳播水槽實驗修正結果的比較

Savage和Fairchild[18]在1953年開展了波浪在可滲透水平海床上傳播的水槽實驗。在實驗中，水槽底部鋪有一層厚度為0.3 m的泥沙，滲透性參數T=4.49×10-3s，其上水深為常數，即h0=0.229 m；入射波浪圓頻率ω=4.9474 Hz，對應的入射波長L=1.7204 m。為了消除實驗中水槽邊壁摩阻的影響，Savage和Fairchild[18]還對實驗結果進行了修正。

應用本文考慮海底可滲透的一維修正型緩坡方程有限差分模型，計算了實驗工況，計算得到的相對振幅（定義為|A(x)/A0|，其中A(x)為x處的振幅）沿程變化情況及其與Savage和Fairchild[18]實驗修正結果的比較見圖3。可以看出，本文數值解與Savage和Fairchild[18]的實驗修正結果總體上吻合良好，但計算結果略小于實驗修正結果，這是因為實驗中的可滲透海床厚度為0.3 m，而本文模型假設可滲透海床無限厚。

圖3 波浪在可滲透水平海床上傳播相對振幅沿程變化本文數值解與Savage和Fairchild[18]實驗修正結果的比較Fig. 3 The comparison of the present numerical solutions with Savage and Fairchild’s[18] modified experimental results for the dimensionless wave amplitudes of waves propagation on the horizontal permeable seabed

3.2 討論與分析

本節將利用有限差分模型，研究海床可滲透情況下，海床的滲透性參數、壩體的相對寬度、數量和浸沒度對波浪共振反射系數KR的影響。

3.2.1 海床滲透性參數T的影響分析

如前所述，實際海床由砂礫、粗砂、細砂等不同類型的沉積物構成，防波堤由拋石和砂土組成，均具有不同的滲透性。根據已有的研究成果，相關可滲透物質的滲透性參數列于表1[19-21]。從表1可以看出，防波堤及可滲透海床的滲透性參數T數量級介于10-3～10-2s之間，因此，在本節計算中滲透性參數分別取T=0.005 s、0.010 s和0.030 s，其余參數h0=4 m，h1=3 m，w=90 m，d=180 m保持不變。則在壩體數量為N=3和N=4的兩種情況下，Bragg防波堤對不同周期入射波浪反射系數KR的計算結果見圖4和表2。

表2 海床不同滲透性參數下Bragg共振反射的特征值Table 2 Eigenvalues of Bragg resonance reflection under different permeability of seabed

圖4 海床滲透性參數T對Bragg共振反射的影響Fig. 4 Influence of the seabed permeability parameter T on Bragg resonance reflection

表1 不同多孔介質的滲透性參數T取值Table 1 Values of the permeability parameter T for different porous media

從計算結果可以看出，在不同壩體數量為N=3和N=4的情況下，無論海床是否可滲透，Bragg共振反射發生時反射系數KR都在2d/L=0.919處達到最大，說明海床的滲透性對Bragg共振反射的發生位置基本沒有影響，這是因為同一頻率的波浪在不可滲透海床和可滲透海床上傳播時，波長幾乎相等[22-23]，而波長又是Bragg共振反射的決定性參數。但是，隨著波能在可滲透海床和壩體中耗散，發生Bragg共振反射時的反射系數KR和帶寬均隨著海床滲透性參數的增加而減小，且全透射（KR=0）現象不再發生。當N=3時，在海床不可滲透（T=0 s）時，KR=0.416，而隨著海床滲透性參數從T=0.005 s增加到T=0.030 s，反射系數KR也從0.403減小到0.347；當N=4時，在海床不可滲透（T=0 s）時，KR=0.526，而隨著海床滲透性參數從T=0.005 s增加到T=0.030 s，反射系數KR同樣從0.504減小到0.415。

3.2.2 壩體相對寬度w/d的影響分析

本小節討論海床不可滲透（T=0 s）和可滲透（T=0.005 s）情況下，壩體相對寬度w/d對Bragg共振反射的影響。令N=3，h0=4 m，h1=3 m，d=180 m保持不變，w分別取18 m、54 m、90 m、126 m、162 m，則相對寬度w/d分別為0.1、0.3、0.5、0.7、0.9，計算結果如圖5所示。

從圖5a可以看到，當海床不可滲透時，在壩體相對寬度w/d從0.1增加到0.3再增加到0.5的過程中，在2d/L≈1時，發生Bragg共振反射，反射系數KR從0.155增加到0.367再增加到0.416，而隨著壩體相對寬度w/d從0.5增加到0.7再增加到0.9時，同樣在2d/L≈1附近發生Bragg共振反射，但是反射系數KR從0.416減小到0.339再減小到0.210。從圖5b也可以看到，當海床可滲透時，在壩體的相對寬度w/d從0.1增加到0.3再增加到0.5的過程中，Bragg共振反射系數從0.151增加到0.350再增加0.403，而隨著相對寬度w/d從0.5增加到0.7再增加到0.9時，發生Bragg共振反射時的反射系數KR從0.403減小到0.323再減小到0.203。這表明無論海床是否可滲透，都存在著一個特定的壩體相對寬度值可以使Bragg共振反射達到最大。

圖5 壩體相對寬度w/d對Bragg共振反射的影響Fig. 5 Influence of the bar width w/d on the Bragg resonance reflection

3.2.3 壩體數量N的影響分析

本小節討論在海床不可滲透（T=0 s）和可滲透（T=0.005 s）情況下，壩體數量N對Bragg共振反射的影響。保持參數h0=4 m，h1=3 m，w=90 m，d=180 m不變，壩體數量N從1增加到8，計算結果繪于圖6。

圖6 壩體數量N對Bragg共振反射的影響Fig. 6 Influence of the bar number N on the Bragg resonance reflection

從圖6a可以看出，在海床不可滲透時，隨著壩體數量N從1增加到8，反射系數KR從0.147增加到0.826；從圖6b中可以看出，在海床可滲透時，隨著壩體數量N從1增加到8，反射系數KR從0.146增加到0.772，小于海床不可滲透時的反射系數，同樣，全透射（KR=0）現象依舊不會發生。同時，隨著壩體數量的增加共振帶寬隨之減小。這與Guazzelli等[24]的實驗數據和Liu等[25-26]解析解所證實的Bragg反射強度隨著正弦形沙波個數的增加而增大，而共振帶寬隨之減小的結論相一致。

3.2.4 壩體浸沒度S的影響分析

本小節討論在海床不可滲透（T=0 s）和可滲透（T=0.005 s）的情況下，壩體浸沒度S對Bragg共振反射的影響（壩體浸沒度定義為S=h1/h0）。保持參數h0=4 m，w=90 m，d=180 m，N=3不變，h1先后取2.0 m、2.5 m、3.0 m、3.5 m，則S分別為0.5、0.625、0.75和0.875，計算結果見圖7和表3。

從圖7a中可以發現，對于不可滲透海床，隨著S從0.5增加到0.625、0.75再增加到0.875，Bragg共振發生時的反射系數從0.860減小到0.651、0.416再減小到0.201；從圖7b中也可以觀察到，對于可滲透海床，隨著S從0.5增加到0.625、0.75再增加到0.875，Bragg共振反射發生時的系數從0.842減小到0.634、0.403再減小到0.195。由此，我們可以得出Bragg共振反射系數隨著壩體的浸沒度S的增加而減小。從表3中還可以觀察到Bragg共振反射的峰值位置隨著壩體浸沒度S的增加會向高頻區移動。在海床不可滲透的情況下，隨著壩體浸沒度S從0.5增加到0.875，Bragg共振反射發生的位置從0.909增加到1.373，同樣的情況也發生在可滲透海床中。

圖7 壩體浸沒度S對Bragg共振反射的影響Fig. 7 Influence of bar submergence S on Bragg resonance reflection

表3 不同壩體浸沒度情況下Bragg共振反射的特征值Table 3 Characteristic values of Bragg resonance reflection under different bar submergence

4 結論

本文采用考慮海底可滲透的一維修正型緩坡方程有限差分模型，研究了可滲透海床上矩形Bragg防波堤對波浪反射的問題。詳細探討了在海床可滲透情況下，海床的滲透性、矩形壩體的相對寬度、數量以及浸沒度的變化對波浪Bragg共振反射的影響。計算結果表明：隨著壩體數量的增加，Bragg共振反射強度隨之增大；而隨著海床滲透性和壩體浸沒度的增大，Bragg共振反射的峰值隨之減小；并且，當壩體相對寬度等于0.5時，會使Bragg共振反射強度達到最大。此外，通過與不可滲透海床上Bragg共振反射的比較，發現可滲透海床上發生Bragg共振反射的波浪頻率幾乎相同，但反射系數小于海床不可滲透的情況，而且零反射（或全透射）現象在不再存在。