泛函微分方程分析與設(shè)計中幾類關(guān)鍵問題研究成果

云南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院

1 創(chuàng)新點(diǎn)

項目研究突破了現(xiàn)有研究方法的局限性，降低了現(xiàn)有研究結(jié)論的保守性，為泛函微分方程的分析與設(shè)計提供了新的理論分析方法。主要創(chuàng)新點(diǎn)如下：

1.1 李雅普諾夫泛函的合理構(gòu)造

項目針對不同類型的泛函微分方程，根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其分析與設(shè)計要求，提出了幾類新的李雅普諾夫泛函構(gòu)造方法。具體如下：

一是Markov跳躍參數(shù)依賴的積分二次型李雅普諾夫泛函的構(gòu)造方法。

本項目提出了Markov跳躍參數(shù)依賴的積分二次型李雅普諾夫泛函的構(gòu)造方法。該方法中的正定矩陣依賴于方程參數(shù)的跳躍模態(tài)，不僅增加了矩陣變量的靈活度，而且降低了系統(tǒng)分析結(jié)果的保守性。

二是高階采樣時刻依賴型李雅普諾夫泛函的構(gòu)造方法。

項目利用自由矩陣零等式和輸入時滯的特性，建立了高階采樣時刻依賴型李雅普諾夫泛函的構(gòu)造方法。該方法蘊(yùn)含較多的采樣時刻信息，克服了傳統(tǒng)李雅普諾夫泛函因僅含一階采樣時刻信息帶來的局限性，降低了現(xiàn)有分析與設(shè)計結(jié)果的保守性。

1.2 參數(shù)依賴型矩陣系數(shù)多項式的定性判別方法

項目基于矩陣分析理論和凸優(yōu)化理論，結(jié)合參數(shù)依賴型矩陣系數(shù)多項式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立了參數(shù)依賴型矩陣系數(shù)多項式的定性判別方法。該方法克服了現(xiàn)有方法因難以獲得矩陣系數(shù)多項式的定性判據(jù)而導(dǎo)致的難以獲得理想的分析與設(shè)計結(jié)論的局限性，降低了現(xiàn)有分析與設(shè)計結(jié)果的保守性。

1.3 不等式的改進(jìn)與應(yīng)用

一是非正交多項式依賴型自由矩陣積分不等式。

項目基于泛函分析理論和矩陣分析理論，結(jié)合非正交多項式的積分特點(diǎn)，借助自由矩陣思想，建立了基于非正交多項式的自由矩陣積分不等式。該不等式降低了因正交多項式本身具有的局限性而導(dǎo)致所得結(jié)果存在的保守性。

二是參數(shù)依賴型廣義互凸組合不等式。

本項目基于矩陣分析理論和凸優(yōu)化理論，結(jié)合互凸參數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用參數(shù)變換方法和其他分析技巧，建立了參數(shù)依賴型廣義互凸組合不等式。該不等式解決了現(xiàn)有互凸組合不等式難以估計n階互凸組合二次項的界值，從而導(dǎo)致蘊(yùn)含異質(zhì)時滯因素的泛函微分方程的分析與設(shè)計受到阻礙的重大問題。

2 成果應(yīng)用情況

1）基于項目研究建立的參數(shù)依賴型矩陣系數(shù)多項式的定性判別方法，代表作[3]獲得了新的時滯依賴穩(wěn)定性判據(jù)。數(shù)值仿真結(jié)果（見表1）表明，基于本方法獲得的系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)（定理3.1）可允許的時滯最大可行上界遠(yuǎn)大于其他方法可允許的時滯上界，從而說明本項目提出的方法在降低理論結(jié)果保守性方面具有重要作用。

表1 不同方法允許的加性時滯最大可行上界

2）基于項目研究建立的非正交多項式依賴型自由矩陣積分不等式，代表作[13]獲得了新的穩(wěn)定性判據(jù)和擴(kuò)展耗散條件。數(shù)值仿真結(jié)果（見表2）表明，基于非正交多項式依賴型自由矩陣積分不等式獲得的系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)（推論1）可允許的時滯最大可行上界不僅優(yōu)于已有的結(jié)論，幾乎可以達(dá)到該系統(tǒng)可允許的時滯上界的解析值，從而說明該不等式在降低理論結(jié)果保守性方面具有重要作用。

表2 τ已知時h的最大可行上界

3）基于項目研究提出的Markov跳變參數(shù)依賴的積分二次型李雅普諾夫泛函的構(gòu)造方法，代表作[4]獲得了新的穩(wěn)定性判據(jù)和控制器設(shè)計方案。數(shù)值仿真結(jié)果（見圖1和圖2）表明，當(dāng)系統(tǒng)沒有控制輸入時，系統(tǒng)是發(fā)散的，而采用本項目設(shè)計的控制方案時，系統(tǒng)的狀態(tài)可以實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定，從而說明本項目提出的方法是切實(shí)可行的。

圖1 無控制輸入時，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

圖2 有控制輸入時，系統(tǒng)的狀態(tài)響

4）基于項目研究提出的高階采樣時刻依賴型李雅普諾夫泛函構(gòu)造方法，代表作[1]獲得了新的系統(tǒng)鎮(zhèn)定性判定條件和模糊采樣控制方案。數(shù)值仿真結(jié)果（見表3、圖3、圖4和圖5）表明，基于該方法獲得的系統(tǒng)鎮(zhèn)定性判據(jù)（推論1）可允許的最大采樣間隔優(yōu)于現(xiàn)有結(jié)論所允許的最大采樣間隔。不僅如此，由圖3、圖4和圖5不難發(fā)現(xiàn)，基于該方法設(shè)計的模糊采樣控制器可以非常有效地鎮(zhèn)定具有半Markov跳躍的混沌系統(tǒng)。

表3 不同方法允許的最大采樣間隔τ

圖3 無控制輸入時，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

圖4 半Markov過程的跳躍模態(tài)

圖5 有控制輸入時，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

5）基于項目研究提出的參數(shù)依賴型廣義互凸組合不等式，代表作[2]研究了轉(zhuǎn)移速率部分未知的半Markov跳躍中立型泛函微分方程的隨機(jī)穩(wěn)定性問題；代表作[12]研究了具有加性時滯的Markov跳躍泛函微分方程的隨機(jī)穩(wěn)定性問題；代表作[18]研究了不確定中立型半Markov跳躍泛函微分方程的隨機(jī)有限時間魯棒有界性問題。數(shù)值仿真（見表4、圖6和圖7）表明，基于該方法建立的分析與設(shè)計結(jié)果具有更低的保守性。

表4 不同方法允許的加性時滯最大可行上界

圖6 四槽反應(yīng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖7 系統(tǒng)狀態(tài)隨機(jī)有限時間有界