教學考試雜志社“數學經典試題及變式”征集活動階段性成果展示

2022-08-30 05:27:20韓兆峰,彭長軍,趙偉娜等

教學考試(高考數學) 2022年4期

關鍵詞：拋物線素養

一、直線與圓的綜合應用

吉林韓兆峰

【母題1】(多選題)(2021·新高考Ⅰ卷·11)已知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點A(4,0)，B(0,2)，則( )

A．點P到直線AB的距離小于10

B．點P到直線AB的距離大于2

【試題分析】考查知識：直線與圓的位置關系及兩點間距離；解題方法：借助圖形分析建立“形”與“數”的聯系，采用數形結合的思想；綜合素養：數學運算及數學建模核心素養.

【答案】ACD

甘肅彭長軍

【變式1】(知識變式)求點到直線的距離的最值變為求三角形面積的最值

已知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點A(4,0)，B(0,2)，則△PAB的面積的最大值為________,最小值為________.

河北趙偉娜

【變式2】(知識變式)直線的方程含有參數，直線變為過定點的動直線

(2022·高三模擬試題·11)(多選題)已知圓C:x2+y2-6x-8y+21=0和直線l：kx-y+3-4k=0，則( )

A.直線l與圓C的位置關系無法判定

C.當圓C上有且僅有3個點到直線l的距離等于1時，k=0

D.如果直線l與圓C相交于M，N兩點，則M，N的中點的軌跡是一個圓

【答案】BC

吉林韓兆峰

【變式3】(知識變式)由求點到直線距離變為求圓的方程

(改編)已知圓M:(x-5)2+(y-5)2=16，若點A(4,0)，B(0,2)，那么與⊙M關于直線AB對稱的⊙N的方程是________.

吉林韓兆峰

【變式4】(方法變式)由求點到直線距離變為求參數的范圍

(改編)已知圓M:(x-5)2+(y-5)2=16，設點T(t,0)，圓M上存在一點P使∠MTP=30°,則t的取值范圍是________.

甘肅彭長軍

【變式5】(方法變式)求切線長變為求過圓內定點的最短弦長及最短弦所在直線的方程

已知圓C：(x-5)2+(y-5)2=16和直線l:(m+2n)x+(m-n)y-8m-10n=0(m,n∈R)，求直線l被圓C所截得的最短弦的長度及最短弦所在直線的方程.

河北趙偉娜

【變式6】(素養變式)曲線方程復雜化，落實邏輯推理的數學核心素養

A.曲線C表示兩條直線

B.當r=4時，曲線C與圓M有2個公共點

C.當r=2時，存在圓N，使得圓N與圓M相切且圓N與曲線C有4個公共點

D.當曲線C與圓M的公共點最多時，r的取值范圍是(4，+∞)

【答案】AC

安徽王玉佩張超

【母題2】(2020·全國卷Ⅰ理·11)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA,PB，切點為A,B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為( )

A.2x-y-1=0 B．2x+y-1=0

C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=0

【試題分析】考查知識：直線與圓的位置關系及面積相關知識;解題方法：數形結合、化歸與轉化思想;綜合素養：直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養.

【答案】D

江西葉新波

【變式1】(知識變式)求直線方程變為求長度、角度范圍及直線過定點問題

(多選題)已知圓M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l：2x+y+2=0,P為l上的動點，過點P作圓M的切線PA,PB，切點為A,B,則( )

B．存在點P，使得∠APB=90°

C．直線AB經過一個定點

D．線段AB的中點在一個定圓上

【答案】BCD

安徽王玉佩張超

【變式2】(方法變式)基于點到直線距離公式進一步求方程

已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA,PB，切點為A,B，當M到直線AB的距離最大時，直線AB的方程為( )

A．2x-y-1=0 B．2x+y-1=0

C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=0

【答案】D

甘肅彭長軍

【變式3】(方法變式)通過|PM|·|AB|取得最小值的條件進一步探尋切點弦，求△QAB的面積的最大值

已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0，直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點，Q為⊙M上的動點.過點P作⊙M的切線PA，PB,切點為A,B.當|PM|·|AB|最小時，△QAB的面積的最大值為________.

江西葉新波

【變式4】(素養變式)融入參數方程，處理數量積和面積問題

已知點A(2,0)，B(0,2)和點P(cosθ,sinθ)，θ∈R.給出下列四個結論：

其中所有正確結論的序號是________.

【答案】①②④

安徽王玉佩張超

【變式5】(素養變式)融入距離和絕對值函數

已知⊙M：x2+y2-4x-2y+1=0，直線l：2x+y+2=0，P為y軸上的動點，過點P作⊙M的切線PA,PB，切點為A,B，切線長為d1.設點P到直線l的距離為d2，當d1+d2取最小值時，P的縱坐標為( )

【答案】A

二、圓錐曲線的幾何性質

甘肅彭長軍

【試題分析】考查知識：橢圓的標準方程與性質，直線與圓的位置關系及簡單幾何性質，點到直線的距離公式以及點與曲線的位置關系等；解題方法：推理運算及數形結合思想；綜合素養：數學運算及邏輯推理核心素養.

甘肅彭長軍

【變式1】(知識變式)把圓換成拋物線

甘肅彭長軍

【變式2】(知識變式)把直線與圓相切變為直線被圓截得的弦長為c

甘肅彭長軍

【變式3】(知識變式)把橢圓換成雙曲線

甘肅彭長軍

【變式4】(素養變式)把直線與圓相切變為直線與圓相交，把求斜率及離心率的值變為求其范圍

安徽朱益

【試題分析】考查知識：圓錐曲線的幾何性質與平面幾何知識綜合；解題方法：數形結合思想；綜合素養：數學運算與邏輯推理核心素養.

【答案】D

安徽朱益

【變式1】(知識變式)定點變為動點

【答案】D

陜西韓紅軍

【變式3】(知識變式)“AF⊥BF”變成“MF1⊥MF2”

【答案】D

河北趙偉娜

【變式4】(知識變式)將垂直(90°)變為120°

【答案】C

安徽朱益

【變式5】(方法變式)巧用平面幾何知識，化繁為簡

【答案】A

河南趙先舉

【變式6】(方法變式)基于橢圓的定義融入橢圓的對稱性

陜西韓紅軍

【變式8】(素養變式)“AF⊥BF”變成“sin∠ABF1≤2sin∠BAF1”

安徽吳志勇

【母題3】(2016·全國卷Ⅲ理·20節選)已知拋物線C:y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A,B兩點，交C的準線于P,Q兩點.若點F在線段AB上，R是PQ的中點，證明：AR∥FQ.

【試題分析】考查知識：拋物線定義與性質、直線與拋物線位置關系；解題方法：過焦點弦直線AB滿足yAyB=-p2.將直線AR和直線FQ的斜率用A或B的坐標表示，證明斜率相等.綜合素養:考查邏輯思維能力、以及對設而不求解題思想的應用能力.

【答案】證明過程略

甘肅彭長軍

【變式1】(知識變式)基于拋物線的定義變式

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線l過點F與拋物線交于A,B兩點，A,B在準線上的射影分別為P,Q,連接PF,QF分別交y軸于G,H，連結AG并延長交準線于M,證明：M,H,B三點共線.

【答案】證明過程略

安徽吳志勇

【變式2】(知識變式)將向量知識與拋物線幾何性質相結合是本題的命題思想

【答案】3

安徽吳志勇

【變式3】(方法變式)光學與焦點弦性質探究

已知拋物線C:y2=2x的焦點為F，直線AB經過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A,B兩點，過A,B兩點分別作x軸的平行線交拋物線準線于P,Q兩點.若準線上存在一點R，滿足AR∥FQ，證明：AR⊥PF.

【答案】證明過程略

安徽吳志勇

【變式4】(素養變式)判別式法與復合函數求斜率相結合

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，過點F的直線l1與C交于A,B兩點，過點A的直線l2交C于另一點D，交x軸的正半軸于點E，且|FA|=|FE|.若拋物線C在點B處的切線為l3，證明：l2∥l3.

【答案】證明過程略

江西鄒榮華

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB

【試題分析】考查知識：橢圓的定義與性質；解題方法：通過直線與圓錐曲線聯立建立直線斜率關系，運用通性通法解決問題，綜合素養：數學運算與邏輯推理核心素養.

(2)證明過程略

河南趙先舉

【變式1】(知識變式)圓錐曲線變為拋物線

(1)求拋物線C的方程；

(2)當直線AB變動時，x軸上是否存在點Q，使得∠AQP=∠BQP，若存在，求出點Q坐標；若不存在，說明理由.

【答案】(1)y2=2x；

(2)x軸上存在點Q(-2,0)，使得∠AQP=∠BQP

江西鄒榮華

【變式2】(知識變式)由角相等問題變為圓錐曲線中面積問題

【答案】證明過程略

甘肅彭長軍

【變式3】(方法變式)由角相等問題變為存在性問題

江西鄒榮華

【變式4】(方法變式)條件與結論互換

【答案】存在M(2，0)，使∠OMA=∠OMB恒成立

河南趙先舉

【變式5】(素養變式)角度相等變為二倍角關系

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線y=kx+m(km≠0)與橢圓C交于A,B兩點，與y軸交于點P，線段AB的垂直平分線與AB交于點M，與y軸交于點N,O為坐標原點.如果∠MOP=2∠MNP成立，求k的值．

江西鄒榮華

【變式6】(素養變式)由角相等問題變為定值定點問題

三、圓錐曲線定點與定值問題

河北趙偉娜

【母題1】(原創)已知拋物線y2=16x，若不過原點O的動直線l與拋物線交于M，N兩點，且OM⊥ON，則直線l過定點________.

【試題分析】考查知識：直線與拋物線位置關系；解題方法：方程思想的應用；綜合素養：數學運算與邏輯推理核心素養.

【答案】(16，0)

江西鄒榮華

【變式1】(知識變式)類比母題更換已知條件進行變式

已知拋物線C:y2=16x，不過坐標原點O的動直線l與拋物線C交于M,N兩點，P在線段MN上，若OP⊥MN且|OP|2=|PM||PN|,直線MN是否過x軸上的定點？若是求出定點，若不是說明理由.

【答案】直線MN經過x軸上的定點(16,0)

河北趙偉娜

【變式2】(知識變式)先有定值再求定點

(原創)已知拋物線y2=16x，過原點O作兩條直線l1，l2，分別與拋物線交于M，N兩點，且l1，l2的斜率k1，k2滿足k1·k2=2，則直線MN過定點________.

【答案】(-8，0)

甘肅彭長軍

【變式3】(知識變式)先過定點再求定點

過拋物線C：y2=16x的焦點F的直線l交拋物線C于A，B兩點且直線l與x軸不垂直，若A關于x軸的對稱點為D，求證：直線BD過定點，并求出該點的坐標.

【答案】直線BD恒過點(-4，0)

河北趙偉娜

【變式4】(方法變式)先過定點再求定值

【答案】-48

廣東周艷祖

【變式5】(方法變式)換斜率積為和

【答案】證明過程略

遼寧蔡明天

【變式6】(素養變式)原點變式為拋物線上普通點

(改編)拋物線C的方程為：x2=8y,點P(4，2)，直線l與拋物線C交于異于點P的A,B兩點，以線段AB為直徑的圓經過點P．問：直線l是否過定點？若是，求出所過定點的坐標；若不是，請說明理由．

【答案】直線l過定點(-4,10)

遼寧蔡明天

【變式7】(素養變式)直線過定點隱含到其他(本題是面積比)問題

(1)求橢圓C1的標準方程；

廣東周艷祖

【變式8】(素養變式)拋物線拓展到橢圓

【解題策略】證明過程略

山東李俊嶺劉慧

(1)求橢圓C的方程和離心率；

(2)過點P(4，0)且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于A,B兩點，與直線x=1交于點Q，點M滿足MP⊥x軸，MB∥x軸，求直線MA的斜率與直線MQ的斜率的比值.

【試題分析】考查知識：橢圓的標準方程、離心率、直線與橢圓的位置關系、韋達定理、直線的斜率等知識；解題方法：坐標法、數形結合、化歸與轉化，由特殊到一般等數學思想方法的應用；綜合素養:直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學素養.

山東李俊嶺劉慧

【變式1】(知識變式)由橢圓背景到拋物線背景的變式

已知過點P(-1，0)且與x軸不重合的直線l與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點，與直線x=1交于點Q，過點B作BM⊥x軸，垂足為點M,求證:直線MQ與直線MA的斜率之比為定值.

山東李俊嶺劉慧

【變式2】(知識變式)基于調合線束變化的變式

【答案】kAM+kBM=-1

山東李俊嶺劉慧

【變式3】(方法變式)調換調和點列中的點確定點M

山東李俊嶺劉慧

【變式4】(素養變式)對原問題進行逆向思考

【答案】過定點(4，0)

山東李俊嶺劉慧

【變式5】(素養變式)對原問題換一種問法

【答案】證明過程略

山西李小麗

(1)求C的標準方程；

(2)過點P(0,1)的兩條直線分別和C交于不同兩點A，B(A，B異于點P且不關于坐標軸對稱)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，且k1k2=1，試問直線AB是否恒過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.

【試題分析】考查知識：本題為圓錐曲線中的定值定點問題，屬于綜合問題，幾乎考查圓錐曲線的所有知識；

解題方法：參數法(圓錐曲線的定點、定值問題會涉及到曲線上的動點及動直線，所以很常用的方法就是設動點或設動直線，即引入參數解決問題.設參數有兩種情況，一種是設點的坐標，另一種是設直線的斜率)；從特殊到一般法：(如果要解決的問題是一個定值或定點問題，而題設條件又沒有給出這個定值或定點，那么我們可以這樣思考：由于這個定值或定點對符合要求的特殊情況必然成立，那么我們可以根據特殊情況先找到這個定值或定點，明確了解決問題的目標，然后進行一般情況下的推理證明)；

綜合素養：本題考查數學抽象、邏輯推理、數學運算核心素養.