高考中平面向量問題的命題分析與變式研究

河南 石同民 徐慧霞

平面向量是一個好用的數學工具，把代數與幾何緊密地聯系在一起.應用平面向量可以在代數計算與幾何圖形性質之間靈活轉化，所以平面向量是高考的必考點.

一、舊高考重知識

舊高考中平面向量一直作為簡單題出現.導致各級各類考試命題對平面向量的研究不深入，平面向量試題千篇一律，缺少讓人眼前一亮的好題.

(2020·全國卷Ⅰ理·14)設a,b為單位向量，且|a+b|=1，則|a-b|=．

【命題分析】題目命制的中規中矩，主要考查向量的基本運算，基本公式的應用.結合方程與方程組思想分析問題，可以有明確的解題思路，思考量和計算量都不大，是簡單題.

(2021·全國乙卷理·14)已知向量a=(1,3),b=(3,4)，若(a-λb)⊥b，則λ=．

【命題分析】題目命制和2020年試題十分相似，主要考查平面向量坐標的基本運算，基本公式的應用.結合方程與方程組思想分析問題，可以有明確的解題思路，思考量和計算量都不大，是簡單題.

【變式研究】比較高考試題可以看到，關于平面向量的問題結構相同，考點相近，難度不大.可以預測此類試題仍然是近似的問題，考點可以輪換，可以考夾角公式，可以考平行，可以考平面向量基本定理，也可以考共線向量基本定理，不會有大的變化.基于此，給出以下兩道變式題：

變式1：(容易)已知向量a,b滿足|a|=2|b|=2，a·b=1，則a與b的夾角為.

變式2：(中等)已知向量a,b滿足a-b=(0，-3)，a+b=(2，λ)，若a⊥b，則λ=.

二、新高考重應用

隨著新高考改革對應用性和創新性考查的加強，平面向量的考查逐步向理解與應用層次轉化.隨著考查要求的逐步提高，很多體現平面向量強大功能的題目開始出現.命題以平面圖形為載體，結合平面圖形的性質應用向量的知識解決問題，重視數形結合能力的考查.

A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-2,4) D．(-4,6)

【命題分析】題目命制的巧妙之處是在概念的結合點處命題，可以很好地考查學生分析問題，應用知識的能力.體現了結合平面圖形的性質應用向量的知識解決問題的能力，重視數形結合能力的考查.能不能很好地分析問題的載體正六邊形，應用正六邊形的結構和數量關系是解題的關鍵，因此要順利解決此問題不僅要掌握平面向量的有關知識，還要能夠在平面圖形中加以應用，靈活應用相關知識.

(2021·新高考Ⅰ卷·10)已知O為坐標原點，點P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，則( )

故C正確；

【命題分析】從兩種解題思路對比可以看出幾何角度解決問題更簡潔明了，所以命題人延續了2020年的命題思路，結合平面圖形的性質應用向量的知識解決問題，重視數形結合能力的考查.能不能發現問題的載體單位圓，應用單位圓表示各個向量是解決問題的關鍵，因此要順利解決問題不僅要掌握平面向量的有關知識，還要能夠在平面圖形中加以應用，題目對知識的靈活應用要求更高.

【變式研究】比較新高考試題可以看到，試題結構有變化，考點也有調整.主要是2021年試題比2020年的試題難度有所提高，位置更靠后，由單選題變成了多選題.但是也有明顯的相同點，結合平面圖形的性質應用向量的知識解決問題，重視數形結合能力的考查.可以發現平面向量考題大方向不會發生改變，還應該是以平面幾何圖形為載體，考查平面向量的性質與應用.故給出三道變式題如下：

【解析】解法1：當點D在AC上時，

變式3：(困難)(多選題)在△ABC中，點D,E分別是BC,AC的中點，點O為△ABC內部一點，則下面結論成立的是( )

三、結束語