第二屆命題征集活動優質創新試題選登

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【創新點分析】本題主要考查學生對三角公式、正余弦定理的靈活應用與三角函數恒等變換的能力，善于從“角”“名”“冪”“形”等方面，通過分析差異、建立聯系，對不同的已知條件實施變換與化簡，最后化歸為所求問題.第(2)問兩種方法實際上代表著解三角形的兩種主要策略的應用，即“化邊為角”與“化角為邊”，體現出等價轉化、整體代換等數學思想與方法.

【試題亮點】通過變換條件來考查化簡能力，通過幾種不同的轉化途徑來比較解法優劣，能有效地引導學生在限時的狀態下快速選擇最佳解決問題的辦法.

(作者單位 姓名：武漢市第十四中學 馮愛龍)

【原創試題2】在經濟生活中，市場如果不受外界干預，當商品的價格上升時，消費者對這種商品的需求量會受到抑制﹐從而對這種商品的購買量就下降，消費者需求量與商品價格構成函數關系；相反，商品的價格越高，生產者的生產積極性越高，從而對這種商品的供給量就上升，商品的供給量與商品的價格也構成函數關系．價格下降對需求和供給的影響正好相反.經濟學家在研究供求關系時，用縱軸P表示產品價格，用橫軸Q來表示產品數量，如圖將需求曲線與供給曲線放在同一坐標系中，一升一降的兩條曲線交于點E，這個點刻畫的是市場供需均衡點．下列說法錯誤的是( )

A．曲線D表示需求曲線，曲線S表示供給曲線

B．如果商品的價格P′>P*，需求量將由Q*減小到Q′D，而供給量將由Q*增大到Q′S，這就會造成供大于求，過剩量為Q′S-Q′D，市場壓力將迫使商品的價格下降

C．如果商品的價格P″

D．市場力量的調節作用會使商品的市場價格趨于P*

【解題思路】根據題意，曲線D表示需求曲線，曲線S表示供給曲線，故ABD正確；

根據圖形，如果商品的價格P″

故選C.

【創新點分析】本題的載體是供給需求曲線，是北師大必修一版本教材課后閱讀材料，這一素材往往被老師、學生所忽視.供給曲線(supplycurve)是以幾何圖形表示商品的價格和供給量之間的函數關系，是經濟社會生活的基本常識，但供給曲線其實展示的是兩個動態過程，對學生理解函數圖象、閱讀函數圖象、提取圖象信息能力有很高的要求，本題旨在讓學生學會用數學的眼光認識世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界，提升數學核心素養.

【試題亮點】以經濟學中供需關系與價格關系為背景，背景取材好，通過兩種曲線的變化考查學生讀圖、數據處理能力.

(作者單位 姓名：西安交通大學附屬中學 石鴻鵬)

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

選②:設∠BOF1=θ，則∠AOB=π-2θ，

所以e=4.

【創新點分析】1.題型選擇：本題為結構不良試題，題目所給的兩個可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個條件，都可解答題目，而且，在選擇的兩個條件中，并沒有哪個條件讓解答過程繁雜.而且，命題者有意設置無論選擇哪個條件，答案都是相同的.

2.題干材料設置：可選擇的兩個條件設置相似，都是兩點：一是兩條直線垂直；二是兩個共線向量的關系式.

3.設問形式：以往高考題中求離心率的問題都是結構良好問題，本題設問形式比較新穎，一反常態，在條件處設置選擇障礙，學生不可再定勢思維，所以加大了考查難度.

4.考查維度：

難度分析：本題的難度與高考題中的第16題相仿.

區分度分析：本題以山西省平遙中學高三年級學生為測試樣本，難度系數0.4，符合高考題16題的難度區間，區分度較好.

5.考查角度：本題看似考查雙曲線的離心率，其實考查知識點較多，綜合性較強.考查兩條漸近線的對稱關系，考查漸近線的傾斜角與離心率的關系，無論是選哪個條件，都涉及兩個解三角形問題，選①，兩次使用正弦定理；選②，兩次使用正切公式.且無論選擇哪個條件都會考查二倍角公式，選①，會用到正弦的二倍角公式；選②，會用到正切的二倍角公式的變形形式.

【試題亮點】離心率是圓錐曲線中的一個重要元素，它的變化會直接導致曲線形狀甚至類型的變化，同時它還是圓錐曲線統一定義中的三要素之一，近年來，離心率是高考常考知識點，涉及知識面廣，綜合性強，思路靈活，方法多樣，能較好地考查數學抽象、數學建模、數學運算等數學核心素養.

(作者單位 姓名：山西省平遙中學校 李小麗)

【原創試題4】光學中的費馬原理是“光永遠以時間最短的路徑行進”.由費馬原理可知，在同一均勻介質內，光行進的路徑一定是直線；在不同的均勻介質中，光速不相等.如圖，均勻介質甲和均勻介質乙的分界面m為直線，光從介質甲的A點出發，到達介質乙的B點.設光在介質甲與介質乙中的速度分別為c1,c2.點C為光路在兩種介質的分界面的交點，l為過點C且與分界面m垂直的直線，AC,BC與l的夾角分別為θ1,θ2.設AE⊥m于點E，BF⊥m于點F.

【解題思路】(1)設AE=h1，BF=h2，EF=d，EC=x，

可以證明，y取最小值的充要條件是y′=0，

(2)設EC=x(0

整理得(x-3)(x3-5x2+4x-24)=0,

設f(x)=x3-5x2+4x-24(0

則f′(x)=3x2-10x+4,

令f′(x)>0得x∈(0,x1)∪(x2,+∞)；

令f′(x)<0得x∈(x1,x2),

所以f(x)在(0,x1),(x2,4)上單調遞增，在(x1,x2)上單調遞減，極大值點為x=x1，而x1∈(0,1)，

當x∈(0,4)時，f(x)<0恒成立，

故x3-5x2+4x-24=0在x∈(0,4)上無解，

所以原方程有唯一解x=3，即點C在線段EF上且EC=3.

【創新點分析】本題受新教材人教B版選擇性必修第三冊第101頁拓展閱讀材料的啟發，考查了光的折射定律的證明和應用.折射定律是光學中的重要結論，但高中的物理課本中只給出折射定律的公式，并沒有解釋如何根據費馬原理推導折射定律.本題第(1)問為教材中拓展閱讀材料的內容，考查利用導數推導折射定律的過程，引導學生重視教材、重視基礎知識；第(2)問是第(1)問的應用和拓展，利用光的折射定律確定光路，在解方程組的過程中依然需要求導分析函數的單調性和最值.總之，本題融合了導數的應用、解三角形等知識點，跨學科命題，體現了數學的嚴謹性與應用價值，考查了學生數學建模、邏輯推理和數學運算的數學學科核心素養.

【試題亮點】光的折射定律在高中物理教材中有涉及但不證明，本題跨學科命題，考查光的折射定律的證明及簡單應用，將導數與函數的最值和解三角形綜合，屬于解答題中的較難題.