當(dāng)韋達(dá)“套路”遭遇“卡殼”的破解策略
——以一道橢圓求斜率比值為定值問題為例

四川 張 兵 杜海洋

在解析幾何解題教學(xué)中，直線與圓錐曲線聯(lián)立時(shí)，韋達(dá)定理套路策略高頻出現(xiàn)，但也常常遭遇“卡殼”．通過剖析一道圓錐曲線綜合試題“套路卡殼”原因，以探索為契機(jī)，達(dá)到解決這類問題的“新套路”目的．

高三模擬試題中出現(xiàn)一道看似常規(guī)的解析幾何綜合試題，題目設(shè)直線方程為x=ty+1時(shí)，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生不能套用韋達(dá)定理而“卡殼”；有學(xué)生提出如設(shè)直線方程為y=k(x-1) 時(shí)，是否可以避免出現(xiàn)非對(duì)稱韋達(dá)，認(rèn)為是題目設(shè)置直線方程有“誘導(dǎo)”之嫌，但動(dòng)手去做時(shí)，卻再次被“卡殼”，說明出題者在兩條道路上都設(shè)置“關(guān)卡”，運(yùn)用常規(guī)方法到底 “卡”在哪兒？如何化解這道“關(guān)卡”？有沒有解決這類問題 的“新套路”呢？下面筆者還原這道試題解答過程.

一 、試題呈現(xiàn)

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線BM，AN的斜率分別為k1，k2，若k2=λk1，證明：λ為定值．

本試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系以及定值問題.考查了設(shè)而不求，化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，檢驗(yàn)了運(yùn)算求解、分析問題與解決問題的能力，試題解法多樣，平中見奇，內(nèi)涵豐富，為不同學(xué)生搭建了施展才能的舞臺(tái)，是一道具有研究性學(xué)習(xí)價(jià)值的好題.

二、試題求解過程

第(2)問：證法1:

可得(3t2+4)y2+6ty-9=0，

又A(-2,0)，B(2，0)，所以

將y1，y2代入①得

由于有證法1的思維啟迪，班上學(xué)生1提出他的想法：是否可以消掉一個(gè)變量保留兩個(gè)變量，然后分子分母也可進(jìn)行整體約分.

證法2:

證法3:

證法4：

證法5:

證法6:

就在此時(shí)班上一名學(xué)生4談到此題后續(xù)不能繼續(xù)運(yùn)用韋達(dá)定理是否是出題者提前設(shè)置的“坑”，即問題出現(xiàn)在直線方程x=ty+1的設(shè)法所致，本題明顯可以用點(diǎn)斜式表示直線方程，只是需要分類討論一下直線l斜率存在情況，后續(xù)或許直接可以用韋達(dá)定理，話音一落，大家動(dòng)手解答如下：

當(dāng)直線斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)，

可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，

到此時(shí)發(fā)現(xiàn)所得式子結(jié)構(gòu)形式更加復(fù)雜，但好在有前面證法2為鋪墊，大家很快想到消參，

證法7:

則(λ-1)x1x2+(2λ+1)x1+(2-λ)x2-2λ-2=0，

證法8:

三、解題反思

1.從以上解答可以體現(xiàn)出每種證法在思維上的層層遞進(jìn)，符合學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，當(dāng)遇到新問題出現(xiàn)“卡殼”時(shí)，解答思維應(yīng)回歸“原點(diǎn)”，尤其證法1雖運(yùn)算難度大，但思維最“實(shí)惠”.

2.探究破解方法始終圍繞問題的本質(zhì)“消元”，即多元變減元，逐步達(dá)到局部代換或整體代換.

3.解答過程應(yīng)以學(xué)生的想法為根本，尊重學(xué)生、讓學(xué)生的思維得以施展，真正把解題教學(xué)落實(shí)課堂，體現(xiàn)學(xué)生是課堂中真正的主體，而不是靠老師提供的“簡潔”“妙解”，甚至“秒殺”，達(dá)到捷徑，那樣其實(shí)并沒有展示其中的本質(zhì)．

四、總結(jié)提煉